1.2直线与圆的综合问题课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线与圆的综合问题，涵盖位置关系判断、范围与最值及实际应用等核心知识点。通过典型例题（含高考真题）导入，从基础方法到综合应用，搭建递进式学习支架。 其亮点在于融合几何法与代数法，以数学思维（推理、运算）和数学语言（模型意识）为核心，如用斜率几何意义求最值、台风问题建模。采用“例题精研析+通性通法总结+跟踪训练”模式，助力学生提升解题能力，为教师提供系统教学资源。

培优课　 直线与圆的综合问题 典型例题·精研析 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 直线与圆的位置关系的判断及应用 【例1】　（1）（多选）（2021·新高考Ⅱ卷11题）已知直线 l ： ax ＋ by － r2＝0与圆 C ： x2＋ y2＝ r2，点 A （ a ， b ），则下列说法正确的是 （　ABD　） ABD A. 若点 A 在圆 C 上，则直线 l 与圆 C 相切 B. 若点 A 在圆 C 内，则直线 l 与圆 C 相离 C. 若点 A 在圆 C 外，则直线 l 与圆 C 相离 D. 若点 A 在直线 l 上，则直线 l 与圆 C 相切 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：选项A，∵点 A 在圆 C 上，∴ a2＋ b2＝ r2，圆心 C （0，0）到直线 l 的距离 d ＝ ＝ r ，∴直线 l 与圆 C 相切， A正确.选项B，∵点 A 在圆 C 内，∴ a2＋ b2＜ r2，圆心 C （0， 0）到直线 l 的距离 d ＝ ＞ r ，∴直线 l 与圆 C 相离，B正 确.选项C，∵点 A 在圆 C 外，∴ a2＋ b2＞ r2，圆心 C （0，0）到 直线 l 的距离 d ＝ ＜ r .∴直线 l 与圆 C 相交，C错误.选项 D，∵点 A 在直线 l 上，∴ a2＋ b2＝ r2，圆心 C （0，0）到直线 l 的距离 d ＝ ＝ r .∴直线 l 与圆 C 相切，D正确.故选A、 B、D. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）曲线 y ＝1＋ 与直线 l ： y ＝ k （ x －2）＋4有两个交点， 则实数 k 的取值范围是 ⁠. 解析：直线 l 过点 A （2，4），又曲线 y ＝1＋ 的图 象为以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，当直线 l 与半圆相 切， C 为切点时，圆心到直线 l 的距离 d ＝ r ，即 ＝2， 解得 k ＝ .当直线 l 过点 B （－2，1）时，直线 l 的斜率为 ＝ ，则直线 l 与半圆有两个不同的交点时， 实数 k 的取值范围为 . 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 1. 判断点、直线与圆的位置关系的一般思路 （1）代数法：将点的坐标代入圆的方程，根据运算结果确定点与 圆的位置关系；将直线方程与圆的方程联立组成二元二次方 程组，消元后将其变为只含一个未知数的一元二次方程，用 判别式判断方程解的个数，从而确定直线与圆的位置关系； （2）几何法：用圆心与已知点或已知直线间的距离与半径大小的 关系确定点或直线与圆的位置关系. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 利用直线与圆的位置关系的三种不同的几何特征，可以确定参数或 参数的取值范围，也可数形结合求圆（直线）的方程以及有关最值 问题. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 （2021·北京高考9题）已知圆 C ： x2＋ y2＝4，直线 l ： y ＝ kx ＋ m ， 当 k 变化时， l 截得圆 C 弦长的最小值为2，则 m ＝（　　） A. ±2 D. ±3 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：　由题可得圆心为（0，0），半径为2，则圆心到直线的距 离 d ＝ ，则弦长为2 ，则当 k ＝0时，弦长取得最小 值为2 ＝2，解得 m ＝± .故选C. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型二 范围与最值问题 【例2】　已知点 P （ x ， y ）在圆 C ： x2＋ y2－6 x －6 y ＋14＝0上. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （1）求 的最大值和最小值； 表示圆上的点 P 与原点连线所在直线的斜率，如图①， 显然 PO （ O 为坐标原点）与圆相切时，斜率最大或最小.设切线 方程为 y ＝ kx （由题意知，斜率一定存在），即 kx － y ＝0，由 圆心 C （3，3）到切线的距离等于半径2，可得 ＝2， 解得 k ＝ ，所以 的最大值为 ，最小值为 . 解：方程 x2＋ y2－6 x －6 y ＋14＝0可化 为（ x －3）2＋（ y －3）2＝4. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）求 x2＋ y2＋2 x ＋3的最大值与最小值； 解： x2＋ y2＋2 x ＋3＝（ x ＋1）2＋ y2＋2，它表示圆上的点 P 到 E （－1，0）的距离的平方再加2，所以当点 P 与点 E 的距离最 大或最小时，所求式子取得最大值或最小值.如图②，显然点 E 在圆 C 的外部，所以点 P 与点 E 距离的最大值为｜ CE ｜＋2，点 P 与点 E 距离的最小值为｜ CE ｜－2.又｜ CE ｜＝ ＝5，所以 x2＋ y2＋2 x ＋3的最大 值为（5＋2）2＋2＝51，最小值为（5－2）2＋2＝11. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （3）求 x ＋ y 的最大值与最小值. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：设 x ＋ y ＝ b ，则b 表示动直线 y ＝－ x ＋ b 在 y 轴上的截距，如图③，显然当动直线 y ＝－ x ＋ b 与圆（ x－3）2＋（ y －3）2＝4相切时， b 取得最大值或最小值.此时圆心 C （3，3）到切线 x ＋ y ＝ b 的距离等于圆的半径2，则 ＝2，即｜ b －6｜＝2 ，解得 b ＝6±2 ，所以 x ＋ y 的最大 值为6＋2 ，最小值为6－2 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 　　若 P （ x ， y ）是定圆 C ：（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2上的 一动点，则 mx ＋ ny 和 的最值，一般都有两种求法，分别是几何 法和代数法. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （1）几何法：① mx ＋ ny 的最值：设 mx ＋ ny ＝ t ，圆心 C （ a ， b ） 到直线 mx ＋ ny ＝ t 的距离 d ＝ ，由 d ＝ r 即可解得 两个 t 值，一个为最大值，一个为最小值； ② 的最值： 即点 P 与原点连线所在直线的斜率，数形结合可 求得斜率的最大值和最小值. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）代数法：① mx ＋ ny 的最值：设 mx ＋ ny ＝ t ，与圆的方程联立， 化为一元二次方程，由判别式等于0，求得 t 的两个值，一个为 最大值，一个为最小值； ② 的最值：设 t ＝ ，则 y ＝ tx ，与圆的方程联立，化为一元二 次方程，由判别式等于0，求得 t 的两个值，一个为最大值，一 个为最小值. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　已知点 A （－2，0）， B （0，2），若点 C 是圆 x2－2 x ＋ y2＝ 0上的动点，求△ ABC 面积的最小值. 解：设圆上点 C 到直线 AB 的距离为 d ，圆心到直线 AB 距离为 d'，易得直线 AB 的方程为 y ＝ x ＋2，则 dmin＝d'－1＝ －1， 所以（ S△ ABC ）min＝ ｜ AB ｜· dmin＝ ×2 ×（ －1）＝3 － . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型三 直线与圆的方程的实际应用 【例3】　一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预 报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的 圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改 变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为 x 轴建 立直角坐标系（如图所示）， 其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域 所对应的圆的方程为 x2＋ y2＝9， 港口所对应的点的坐标为（0，4），轮船的初始位 置所对应的点的坐标为（7，0）， 则轮船航线所在直线 l 的方程为 ＋ ＝1，即4 x ＋7 y －28＝0， 圆心（0，0）到 l ：4 x ＋7 y －28＝0的距离 d ＝ ＝ ， 因为 ＞3，所以直线与圆相离. 故轮船不会受到台风的影响. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 　如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为 　 　m. 2 【跟踪训练】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点 的竖直直线为 y 轴，建立平面直角坐标系.设圆心为 C ，圆的方程设为 x2＋（ y ＋ r ）2＝ r2（ r ＞0），水 面所在弦的端点为 A ， B ，则 A （6，－2）.将 A （6， －2）代入圆的方程，得 r ＝10，则圆的方程为 x2＋ （ y ＋10）2＝100.当水面下降1 m后，可设点A'（ x0， －3）（ x0＞0），将A'（ x0，－3）代入圆的方程，得 x0＝ ，所以当水面下降1 m后，水面宽为2 x0＝2 （m）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $