第7天 等差数列与等比数列每日专项练习 - 2027届新高考高三数学第一轮复习

**基本信息** 聚焦等差与等比数列核心考点，通过分层题型系统覆盖基本量计算、性质应用及综合拓展，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|5题（如S₃、S₅求S₆）|紧扣定义公式，侧重首项、公差（比）求解|从基本量到前n项和公式的直接应用| |性质应用|4题（如等比中项、S₃=S₉）|结合中项性质、和的对称性，考查灵活转化|性质推导与公式应用的逻辑关联| |综合拓展|3题（如绝对值数列求和、证明等比）|融合函数思想与递推关系，强调模型构建|从单一数列到交叉问题的应用延伸|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 第7天 等差数列与等比数列 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ 一、单选题(每小题5分,共35分) 1.(2025·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S3=6,S5=-5,则S6=(　　) A.-20 B.-15 C.-10 D.-5 2.(2025·苏、锡、常、镇调研)已知Sn为等比数列{an}的前n项和,若a4=4a3-4a2,则=(　　) A.5 B.9 C.-9 D.-5 3.(2025·湖北七市联调)在正项等比数列{an}中,a3,a7是方程x2-10x+16=0的两个根,则=(　　) A.2 B.4 C.8 D.16 4.(2025·长春二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=S9=6,则S12的值为(　　) A.0 B.3 C.6 D.12 5.(2025·南京、盐城一模)已知数列{an}为等比数列,公比为2,且a1+a2=3.若ak+ak+1+ak+2+…+ak+9=214-24,则正整数k的值是(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 6.(2025·天津卷)已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+8n,则{|an|}的前12项和为(　　) A.48 B.112 C.80 D.114 7.(2025·海南诊断)已知{an}是递增的等比数列,若a3-2a2+a1=1,则当a11取得最小值时,a1=(　　) A. B.1 C.4 D.16 二、多选题(每小题6分,共12分) 8.(2025·广东模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=9,a3是a1与a4的等比中项,则下列说法正确的是(　　) A.a2=3 B.d=-1 C.数列是递增数列 D.当Sn>0时,n的最大值为8 9.(2025·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和,q为{an}的公比,q>0.若S3=7,a3=1,则(　　) A.q= B.a5= C.S5=8 D.an+Sn=8 三、填空题(每小题5分,共15分) 10.(2025·南昌模拟)已知等差数列{an}各项不为零,前n项和为Sn,若Sn=anan+1,则a13=　　　　.  11.(2025·新高考Ⅰ卷)若一个等比数列的各项均为正数,且前4项的和等于4,前8项的和等于68,则这个数列的公比等于　　　　.  12.(2025·沈阳一监)已知等比数列{an}的前n项的积为Tn,即Tn=a1a2a3…an-1an,又已知a1=4,q=,则Tn的最大值为　　　　.  四、解答题(13题13分,14题15分) 13.(2025·呼和浩特一模)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,满足S5=25,a4=7,数列{bn}满足bn=. (1)求{an},{bn}的通项公式; (2)将{an}和{bn}的项由小到大进行排列组成数列{cn},设{cn}的前n项和为Tn,求T100. 14.(2025·厦门二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn+an=n+3. (1)证明:数列{an-1}是等比数列; (2)记数列的前n项和为Tn,求满足Tn>2 025的最小正整数n的值. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 第7天 等差数列与等比数列 1.答案　B 解析　由S3=3a2=6,S5=5a3=-5, 得a2=2,a3=-1, 所以{an}的公差d=a3-a2=-3, 所以a6=a3+3d=-10, 所以S6=S5+a6=-5-10=-15.] 2.答案　A 解析　设等比数列{an}的公比为q,显然an≠0, 由a4=4a3-4a2,即a2q2=4a2q-4a2, 则q2=4q-4,解得q=2, 所以==5.故选A. 3.答案　B 解析　因为a3,a7是方程x2-10x+16=0的两个根,所以a3a7=16, 又因为在等比数列{an}中, a2a8==a3a7=16, 又因为{an}是正项等比数列,所以a5=4, 所以==4,故选B. 4.答案　A 解析　因为{an}是等差数列,所以S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列,又S3=S9=6, 所以6,S6-6,6-S6,S12-6成等差数列,则6+S12-6=S6-6+6-S6, 则S12=0.故选A. 5.答案　B 解析　因为数列{an}为等比数列,公比为2,且a1+a2=3,所以a1+2a1=3,解得a1=1, 故an=2n-1,因为ak+ak+1+ak+2+…+ak+9=ak(1+2+22+…+29) =2k-1·=2k+9-2k-1=214-24,解得k=5,故选B. 6.答案　C 解析　当n=1时,a1=S1=-1+8=7, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+8n-[-(n-1)2+8(n-1)]=-2n+9, 显然a1=7也符合该式,所以an=-2n+9, 所以当n≤4时,an>0,当n≥5时,an<0, 所以{|an|}的前12项和为 |a1|+|a2|+|a3|+…+|a12| =a1+a2+a3+a4-(a5+a6+…+a12) =2(a1+a2+a3+a4)-(a1+a2+…+a12) =2S4-S12 =2(-16+32)-(-122+8·12)=80, 故选C.] 7.答案　D 解析　设{an}的公比为q,由a3-2a2+a1=1得,a1(q-1)2=1,故a1>0, 又因为{an}是递增的数列,所以q>1, 因为a11=a1q10=,所以a11取得最小值等价于函数f(q)=取得最小值, 求导得f'(q)==, 令f'(q)>0得q>, 令f'(q)<0得1<q<, 所以f(q)=上单调递减,在上单调递增, 故当q=时,f(q)取得最小值,即a11取得最小值. 此时,a1===16.故选D. 8.答案　ABD 解析　设等差数列{an}的公差为d(d≠0), 由S3=9,a3是a1与a4的等比中项, 得 即 解得d=-1,故AB正确; 则an=a2+(n-2)d=-n+5,a1=4, Sn==, 所以=,又随n的增大而减小,所以数列{}是递减数列,故C错误; 当Sn=>0时,n<9,所以n的最大值为8,故D正确. 故选ABD. 9.答案　AD 解析　由已知,得S3=a1+a2+a3=++a3=++1=7, 即6q2-q-1=(2q-1)(3q+1)=0, 因为q>0,所以q=,A正确; a5=a3q2=1×=,B错误; S5=S3+q+q2=,C错误; an=a3qn-3=23-n, Sn===8-23-n, 所以an+Sn=8,D正确.] 10.答案　 解析　在等差数列{an}中,an不为零,设公差为d,因为Sn=anan+1, 令n=1时,S1=a1=a1a2,所以a2=1, 令n=2时,S2=a2a3,则1+a1=a3=a1+2d,所以d=, 则a13=a2+11d=1+=. 11.答案　2 解析　法一　设等比数列为{an},其公比为q,前n项和为Sn, 因为等比数列{an}的各项均为正数,所以q>0, 又S4=4,S8=68,所以q≠1. 由S4=4得=4, ① 由S8=68得=68, ② =, 即=1+q4=17, 所以q4=16,又q>0,所以q=2. 法二　设等比数列为{an},其公比为q,前n项和为Sn, 因为等比数列{an}的各项均为正数,所以q>0, 又S4=4,S8=68, 所以q4===16, 又q>0,所以q=2.] 12.答案　8 解析　因为{an}为等比数列,且a1=4,q=,所以Tn=a1a2a3…an-1an=a1·a1q·a1q2…a1qn-1==4n·=,当n=2或3时,取最大值,故Tn的最大值为=8. 13.解　(1)在等差数列{an}中,S5==5a3=25,解得a3=5,而a4=7, 则数列{an}的公差d=a4-a3=2, an=a3+(n-3)d=2n-1, 由bn=,得bn=2n, 所以数列{an},{bn}的通项公式分别为an=2n-1,bn=2n. (2)由(1)知,a100=199,b7=128,b8=256,而数列{an},{bn}都是递增数列, 则数列{cn}前100项由数列{an}的前93项和数列{bn}的前7项组成, 所以T100=S93+bi=93+×2+=8 903. 14.(1)证明　由Sn+an=n+3, ① 当n=1时,a1+a1=1+3,即a1=2; 当n≥2时,Sn-1+an-1=n+2, ② 则①-②得,2an-an-1=1, 则2(an-1)=an-1-1,即=, 所以数列{an-1}是等比数列,首项为1,公比为. (2)解　由(1)得,an-1=1·, 即an=+1, 则==1+2n-1, 则Tn=1+20+1+21+…+1+2n-1 =n+=2n+n-1, 因为y=2x,y=x-1在[1,+∞)上为增函数, 则数列{2n+n-1}为递增数列, 又T10=210+10-1=1 033<2 025, T11=211+11-1=2 058>2 025, 所以满足Tn>2025的最小正整数n的值为11. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $