精品解析：湖南省常德市武陵区2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】图①，数据点呈正线性相关，且相关性很强，所以接近1； 图②，数据点呈负线性相关，且相关性很强，所以接近； 图③，数据点呈正线性相关，且相关性比图①弱，所以； 图④，数据点呈负线性相关，且相关性比图②弱，所以； 所以. 2. 已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的方程可得圆心坐标，根据反射光线经过圆心和关于轴对称的点，可利用两点式整理得到所求直线方程. 【详解】由圆的方程得：圆心为， 反射光线恰好平分圆的圆周，反射光线经过点； 关于轴对称的点为，反射光线所在直线经过点， 反射光线所在直线方程为，即. 故选：A. 3. 在三棱柱中，设，，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合几何图形，利用给定的基底表示向量. 【详解】在三棱柱中，. 故选：B 4. 城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到，两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中中学至少需要安排1位数学老师，那么有（ ）种不同的安排方式 A. 9 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【详解】情况1：中学安排1位数学老师，2位英语老师的方式：， 情况2：中学安排2位数学老师，1位英语老师的方式：， 所以中学至少需要安排1位数学老师的方式为：（种）. 5. 设随机变量，则条件概率的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布和条件概率计算即可. 【详解】因为随机变量，所以， ， 故. 6. 已知，则的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求得的零点为，再由对数函数性质判断即可. 【详解】令的值即的零点． 而，即，， 而，所以， 所以函数的零点就是，． 要比较与的大小，等价于比较2与的大小，等价于比较与大小， 显然，，． 7. 有两组数据，，…与，，…，满足，其中，．记与另一组样本数据，，…的样本相关系数为，与同一组数据的样本相关系数为（样本相关系数的公式为：），则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用样本相关系数的定义公式，结合与的线性变换关系，化简的表达式后与对比即可得结论． 【详解】， 由， ， 即． 8. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. ． B. 在上单调递增 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断函数的周期，判断A，再结合函数的周期性，以及奇函数的性质，判断BCD. 【详解】A.由函数是奇函数，所以，且， 即，即，故A错误； B.由A可知，，即是周期的函数， 所以在区间的单调性和区间的单调性一致， 设，，， ，所以，在区间上单调递减，故B错误； C.因为函数是定义在上的奇函数，所以，由，，可知， ，，所以， ，故C错误； D. ，故D正确. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二项分布的期望及性质计算判断AB；利用正态分布的对称性计算判断CD. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，由，得，B错误； 对于C，由，，得，C正确； 对于D，由，得，D正确. 10. 如图，在平行六面体中，已知，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 与平面所成角的正弦值为 【答案】AD 【解析】 【分析】设，，，将问题转化为基向量求解. 【详解】设，，， 由题意知，，则，，， ， ，， 即，选项正确； ，选项错误； ， ，选项错误； 设平面的一个法向量为，则的坐标为，而， 则即即，令，解得，， 所以， ， ， ， ， 设与平面所成角为， ，选项正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则存在极值点 B. 若是增函数，则 C. 曲线是中心对称图形 D. 存在，使得有三个不同的零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，将代入，求导判断函数是否存在极值点；对于B，求导，根据是增函数得到在上恒成立，分离参数，令，求出的最大值，进而得到的取值范围；对于C，根据函数的对称性进行判断；对于D分两种情况讨论极值点个数，对于，利用导数求出函数的极大值，求出极大值的取值范围进行判断. 【详解】函数的定义域为， 对于A， 当时，， 所以， 所以当时，，当时，， 当时，，所以存在极值点，A正确； 对于B，， 若是增函数，则在上恒成立， 即在上恒成立，令， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且在上恒成立， 所以，所以，故B正确； 对于C，， 所以， 所以函数关于点对称，C正确； 对于D，由B选项可知，当时，函数单调递增，最多有一个零点， 当时，令，则，等价于， ， 所以方程有两个不同的实数根， 由韦达定理，故， 所以在上单调递增，在 上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为 又是极值点，所以，即， 所以， 令，则， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增，所以， 即，所以在上恒小于0，故最多两个不同的零点， 即不存在使有三个不同的零点，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机事件，，若，，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由条件概率公式可得，再由，再结合条件概率的公式即可得到结果. 【详解】由题意可得，，且，则， 又因为，则， 且，所以. 故答案为:. 13. 已知（）的展开式中第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为1，则展开式中的系数为_____． 【答案】240 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质及所有项的系数和求出，再求出展开式中项系数. 【详解】因为（）的展开式中第4项的二项式系数最大，所以可能为或, 又因为所有项的系数和为1， 令，得，则为偶数，所以,, 则有展开式的通项为， 令，解得，故展开式中的系数为. 14. 已知函数，，对任意的，总存在，使，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】只需要满足在上恒小于等于在上的最大值，导根据导函数得出，再分离参数得出，令，求导判断单调性即可. 【详解】由已知可知，只需满足对任意的，总存在， 只需要满足在上恒小于等于在上的最大值. ，令，即，解得或（舍去）， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故在单调递减，， ，化简得，即 对任意的恒成立， 令，即，令，解得或， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故的最大值为， . 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用排列数计算公式，即可求出结果； （2）利用排列数计算公式及阶乘公式，即可求出结果. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表： 零件的个数x（个） 2 3 4 5 加工的时间y（小时） 2.5 3 4 4.5 参考公式：， （1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； （2）求出关于的线性回归方程； （3）预测加工10个零件需要多少小时？ 【答案】（1）作图见解析 （2） （3）8.05 【解析】 【分析】（1）由数据表可得四个点的坐标，在坐标系中描点作图； （2）利用最小二乘法求得回归直线方程得系数，再求系数，得回归直线方程； （3）把代入回归直线方程，求得预报变量的值. 【小问1详解】 【小问2详解】 ，， ，， ， 由公式得， 所以所求回归方程为. 【小问3详解】 当时，，所以预测加工个零件需要小时. 17. 人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 15 35 非优秀 10 5 15 总计 30 20 50 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ （2）从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. （2） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）先作出零假设，根据列联表计算出，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. （2）先写出的可能取值为，再根据题目算出对应的概率，列出概率分布列，求出数学期望即可. 【小问1详解】 零假设 : 这次成绩是否优秀与性别无关. 根据表中数据，计算得到 根据小概率值的独立性检验，推断成立，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. 【小问2详解】 的可能取值为. ; ; ; 的分布列为： 0 1 2 数学期望. 18. 某地2022年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，每个环节相互独立.现M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置A、B两个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过A、B科目的概率分别为、，乙通过A、B科目的概率分别为、，丙通过A、B科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为. （1）求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率； （2）该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确； （3）记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）不正确 （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试，结合独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解； （2）根据题意，分别求得三人都未进入面试和三人都进入了面试的概率，比较大小，即可求解； （3）根据题意，分别求得甲、乙、丙被录取的概率，得到随机变量的可能取值，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【小问1详解】 解：设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试， 则， 则甲乙丙三人中恰有一人笔试合格的概率为. 【小问2详解】 解：若这三名同学获得180元的总奖金，则说明三人都未进入面试， 所以对应概率为， 若这三名同学获得总奖金为480元，则三人都进入了面试， 所以对应概率为， 因，所以丁同学的说法错误. 【小问3详解】 解：由题意得，甲被录取的概率为， 乙被录取的概率为， 丙被录取的概率为， 根据题意，随机变量的可能取值为， 则， , 故的分布列如下所示： 0 1 2 3 所以数学期望. 19. 某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金，且抽到0元，10元，20元的概率均为． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． （1）游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为X元，求； （2）游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为Y元，求Y的分布列； （3）试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 【答案】（1） （2）分布列： 0 10 20 30 40 50 60 （3）游客选择网上购票更划算【解析】 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式计算即可； （2）利用排列组合和古典概型的概率公式求分布列； （3）先求出的分布列，再计算两个随机变量的期望，比大小即可. 【小问1详解】 ，即两次都抽到20元的红包，或1次抽到10元的红包，1次抽到20元的红包，每次抽到任意红包的概率均为， 所以． 【小问2详解】 由题意得的可能取值为0，10，20，30，40，50，60， ， ， ，， 所以的分布列为： 0 10 20 30 40 50 60 【小问3详解】通过景点购票，由（2）得， 的可能取值为0，10，20，30，40， ， ， ， 所以， 故， 所以游客选择网上购票更划算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（    ） A. B. C. D. 3. 在三棱柱中，设，，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到，两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中中学至少需要安排1位数学老师，那么有（ ）种不同的安排方式 A. 9 B. 12 C. 14 D. 16 5. 设随机变量，则条件概率的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 7. 有两组数据，，…与，，…，满足，其中，．记与另一组样本数据，，…的样本相关系数为，与同一组数据的样本相关系数为（样本相关系数的公式为：），则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. ． B. 在上单调递增 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 如图，在平行六面体中，已知，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 与平面所成角的正弦值为 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则存在极值点 B. 若是增函数，则 C. 曲线是中心对称图形 D. 存在，使得有三个不同的零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机事件，，若，，，则_________. 13. 已知（）的展开式中第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为1，则展开式中的系数为_____． 14. 已知函数，，对任意的，总存在，使，则实数m的取值范围是______． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 计算： （1） （2） 16. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表： 零件的个数x（个） 2 3 4 5 加工的时间y（小时） 2.5 3 4 4.5 参考公式：， （1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； （2）求出关于的线性回归方程； （3）预测加工10个零件需要多少小时？ 17. 人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 15 35 非优秀 10 5 15 总计 30 20 50 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ （2）从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18. 某地2022年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，每个环节相互独立.现M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置A、B两个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过A、B科目的概率分别为、，乙通过A、B科目的概率分别为、，丙通过A、B科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为. （1）求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率； （2）该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确； （3）记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望. 19. 某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金，且抽到0元，10元，20元的概率均为． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． （1）游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为X元，求； （2）游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为Y元，求Y的分布列； （3）试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $