精品解析：湖南株洲市第一中学2025-2026学年高二下学期6月教学质量检测数学试题

2026年上学期高二6月教学质量检测 数学 本试题卷共4页，时间为120分钟，满分150分 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上． 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在试题卷上的作答一律无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据并集的定义计算可得. 【详解】由，即，即，解得， 所以， 又，所以. 故选：C 2. 已知，均为实数，复数，，，则（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的四则运算直接计算. 【详解】由， 得， 所以，，， 故选：C. 3. 已知，若与的夹角为，则（ ） A. 10 B. C. 15 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量数量积定义及乘法分配律，结合模长坐标运算公式计算即可. 【详解】因为，所以， 因为，与的夹角为， 所以， 则. 故选：B 4. 一次歌唱比赛中，由10位评委的打分得到一组样本数据：，去掉一个最高分，去掉一个最低分后，与原始数据相比，一定不变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 标准差 D. 极差 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、标准差、极差的概念进行分析判断，可得结果. 【详解】对于A：不妨设这组数据为， 则初始的平均数，去分后的平均数， 此时不相等，故A不符合； 对于B：不妨设这组数据为， 则初始中位数，去分后的中位数，中位数不变，故B符合； 对于C：不妨设这组数据为， 则初始的平均数，去分后的平均数， 故初始的标准差， 去分后的标准差，此时二者不相等，故C不符合； 对于D：不妨设这组数据为， 则初始的极差，去分后的极差， 此时极差不相等，故D不符合. 故选：B. 5. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 与m，r的取值有关 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到直线恒过圆心，即可得到直线与圆的位置关系. 【详解】由直线，可化为，可得直线恒过定点， 又由圆，可得圆心为， 所以直线过圆心，此时直线与圆一定相交. 故选：C. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式和诱导公式直接求解即可. 【详解】，， . 故选：B. 7. 已知，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，，，得到 设和，利用导数求得和的单调性，结合函数的单调性，比较大小，即可得到答案. 【详解】令，，， 可得， 设，其中， 可得，所以在上单调递减， 所以，即，即， 故，所以； 设，其中， 可得，令， 可得，故在上单调递增， 所以，可得，所以在上单调递增， 所以，可得， 故，所以，所以. 故选：A. 8. 已知正方体的棱长为1，为平面内动点，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，求出点关于平面的对称点，再利用两点间线段最短求解. 【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，连接， 三棱锥是正四面体，令正的重心为，则， 因点即正的中心，则平面， 设，即点，则点与点关于平面对称， 由为平面内动点，得， 则， 当且仅当是线段与平面的交点时取等号， 所以的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 镇海中学在新的一年举行了首届教职工歌手大赛，共有位男教师，位女教师参加．现通过抽签决定出场顺序，记事件表示“第一位出场的是男教师”，事件表示“第二位出场的是男教师”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用独立事件的乘法公式和条件概率公式，以及概率的加法公式求解即可. 【详解】事件表示第一位出场和第二位出场的都是男教师，，A错误； 表示第一位出场是男教师的情况下，剩余男女，第二位出场是男教师的概率为， 故，B正确； ，有两种情况， 第一种：第一位出场的男教师，且第二位出场的是男教师，概率为， 第二种：第一位出场的女教师，第二位出场的是男教师，概率为， 故，，C选项正确； ，D选项正确. 故选：BCD 10. 已知自点发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，则入射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】化简圆的方程为标准方程，求出关于轴对称的圆的方程，设的斜率为，利用相切求出的值即可得到的方程． 【详解】已知圆的标准方程是， 它关于轴的对称圆的方程是， 可知入射光线所在的直线的斜率存在，设光线所在直线的方程是， 由题设知对称圆的圆心到这条直线的距离等于1， 即．整理得：，解得：或, 故所求的直线方程是或，即或． 故选：AD． 11. 数列满足，，记，，则（ ） A. B. 是递减数列 C. D. 存在使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】由递推式可得，则可得数列为等差数列，设出其公差，可表示出数列的通项公式，再利用裂项相消法计算可表示出，再利用可解出，则可得数列的通项公式，再逐项计算并判断即可得. 【详解】由，则， 即，故， 又，故数列是以为首项的等差数列，设其公差为， 则，故， 则， 则 ， 则，解得，故； 对A：由，则，， 则，，故，故A正确； 对B：由，则， 故是递减数列，故B正确； 对C：由，则，故C错误； 对D：，令，解得， 故存在，使得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由诱导公式计算可得. 【详解】，所以， 因为，所以 所以， 故答案为：. 13. 双曲线的左右焦点分别为，双曲线右支上一点满足，则直线的斜率为______． 【答案】或2 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及勾股定理求出，结合双曲线的对称性及直线的倾斜角与的关系求解即可. 【详解】设，， 由双曲线的定义及勾股定理得，可得， ，设，则，. 又，即，解得或（舍去）， 所以直线的斜率为， 结合双曲线对称性可知，直线的斜率为或2． 14. 若函数的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数具有性质．若函数具有性质，其中，，为实数，且满足，则实数的最大值是_____． 【答案】 【解析】 【详解】求导得，令，则. 由，可设，，则， ，其值域为. 性质要求存在不同的两点，其切线斜率乘积为，即存在使得. 由于乘积为负，与异号，故区间必须包含正数和负数，即，解得. 存在异号两数乘积为等价于存在使得且，即且， 结合得，即，所以，故. 因此性质成立当且仅当，此时，由柯西不等式，得， 当时取等，于是，故的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正方体的棱长为分别为正方体的棱的中点． （1）求证：平面； （2）求线段到平面的距离． 【答案】（1）取的中点，连接，， 因为点是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 由于，分别为正方体的棱，的中点， 所以，，所以四边形为平行四边形，即， 因为平面，平面，所以平面，   由于，平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由面面平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系， 则、、，， 所以，，， 设平面的法向量为，所以， 所以，令，则，所以， 设点到平面的距离为，则， 由（1）知，∥平面， 则线段到平面的距离即为点到平面的距离， 故线段到平面的距离为． 16. 设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知． （1）求B； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理角化边，再由余弦定理求解即可； （2）由正弦定理求出，再由诱导公式以及两角和的正弦公式求出，最后由面积公式求解即可. 【小问1详解】 已知在中，， 由正弦定理可得：，即， 整理可得：，则， ， . 【小问2详解】 由得，由（1）知， 由正弦定理得：， 则， ． 17. 已知椭圆（）的焦距为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上一点，过点作圆的两条切线分别交椭圆于，两点，若直线，的斜率都存在，且分别记为，. ①求的值： ②试问：的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②是， 【解析】 【分析】（1）法一利用椭圆的定义求，得出椭圆的标准方程；法二利用待定系数法代入点求椭圆方程； （2）①根据圆心到直线的距离为2，得到方程，由根与系数的关系求出，再利用在椭圆上化简即可求解； ②根据不同的方法求出三角形面积的表达式，化简即可得出三角形面积为定值. 【小问1详解】 法一： 由题意椭圆的焦点在轴上，且，则， 由椭圆的定义得， 解得，则， 则椭圆方程为； 法二： 因为，所以，即椭圆方程为（）， 又在椭圆上，所以，解得 则椭圆方程为. 【小问2详解】 易知圆的圆心为，且原点在圆外，即，如下图： ①令，，则直线方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，即， 化简得，同理得， 则是方程的两根，显然， 由韦达定理可知， 因为点在椭圆上，所以，则 则，即 ②法一： 设，， 则，，，点到直线的距离为， 因为，所以，则， ， 由，得，同理， 则，则， 所以. ②法二： 设，，则， 因为，所以直线方程为， 所以， 因为，两点在椭圆上，所以，， 则， 所以， 又， 所以 ， 则. ②法三： 设， （i）若直线与轴平行，由对称性，，， 因为，所以不妨设有，则， 则，解得，即， 则，. （ii）若直线不与轴平行，设直线方程为，（），直线与轴交点为, 则, 由，得， 由，得， ， 所以, 因为,所以, 即，得， 显然，即， . 综上 18. 某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量的分布列为 其中，． （1）当时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值； （2）已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为，每个盲盒是否为封面款相互独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户．现从顾客中随机选取一人． （i）求该顾客为幸运客户的概率； （ii）若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i），；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由分布列的性质得出，再利用期望公式求解即可； （2）（i）设事件“一次性购买个文创盲盒”，事件“顾客为幸运客户”，求出、，利用全概率公式可得出的表达式及的取值范围； （ii）设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”， 求得，利用全概率公式求出的值，利用条件概率公式结合可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围. 【小问1详解】 由题可知，， 化简可得 ， 当时，，则， 即顾客一次性购买文创盲盒数量的平均值为． 【小问2详解】 （i）设事件“一次性购买个文创盲盒”，事件“顾客为幸运客户”， 则，，，． 依题意，得，， 因为每个盲盒是否为封面款相互独立， 所以，， 又由题意知，，且、、、两两互斥， 所以， 由（1）得，，代入化简可得， 所以，； （ii）设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”， 依题意，得，且，、、两两互斥， 所以， 由（i）得，， 所以幸运客户中，一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为 ， 由题意，可得，解得， 又因为，所以． 19. 已知函数． （1）证明：； （2）已知函数恰有两个极值点（）． （i）求实数a的取值范围； （ii）若方程有三个解（），请在下面两个结论中选择一个加以证明，若两个都选，以第一个结论的解答为准． ① ②． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过求导找到函数的最小值，证明其大于0； （2）（i）化简函数后求导，将极值点问题转化为直线与函数图像的交点问题，通过分析函数单调性和极限确定参数范围； （ii）①②通过构造辅助函数，利用导数判断单调性，结合函数的单调性证明不等式. 【小问1详解】 化简，定义域为， ， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故在处取得最小值， ，因此. 【小问2详解】 （i）由于 所以 . 令，即. 设（），则方程等价于. 求导，令，则. 令，得，此时取得最大值，故恒成立. 当时，，故，单调递增； 当时，，故，单调递减. ，时，时，时. 直线与有两个不同交点，需，即. （2）（ii）由的单调性：递增，递减，递增， 故的解满足，，且. 若选①： 构造（），则. 由得，代入并化简： 因，且，故， 因此，在单调递增. 故，即.令，得 . 又，故.因在单调递减， 故，即. 若选②： 由，，可知且， 直接相加得，结论成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期高二6月教学质量检测 数学 本试题卷共4页，时间为120分钟，满分150分 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上． 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在试题卷上的作答一律无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，均为实数，复数，，，则（  ） A. B. C. D. 3. 已知，若与的夹角为，则（ ） A. 10 B. C. 15 D. 4. 一次歌唱比赛中，由10位评委的打分得到一组样本数据：，去掉一个最高分，去掉一个最低分后，与原始数据相比，一定不变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 标准差 D. 极差 5. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 与m，r的取值有关 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为1，为平面内动点，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 镇海中学在新的一年举行了首届教职工歌手大赛，共有位男教师，位女教师参加．现通过抽签决定出场顺序，记事件表示“第一位出场的是男教师”，事件表示“第二位出场的是男教师”，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知自点发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，则入射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 11. 数列满足，，记，，则（ ） A. B. 是递减数列 C. D. 存在使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则的值为______. 13. 双曲线的左右焦点分别为，双曲线右支上一点满足，则直线的斜率为______． 14. 若函数的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数具有性质．若函数具有性质，其中，，为实数，且满足，则实数的最大值是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正方体的棱长为分别为正方体的棱的中点． （1）求证：平面； （2）求线段到平面的距离． 16. 设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知． （1）求B； （2）若，，求的面积． 17. 已知椭圆（）的焦距为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上一点，过点作圆的两条切线分别交椭圆于，两点，若直线，的斜率都存在，且分别记为，. ①求的值： ②试问：的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由. 18. 某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量的分布列为 其中，． （1）当时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值； （2）已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为，每个盲盒是否为封面款相互独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户．现从顾客中随机选取一人． （i）求该顾客为幸运客户的概率； （ii）若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）证明：； （2）已知函数恰有两个极值点（）． （i）求实数a的取值范围； （ii）若方程有三个解（），请在下面两个结论中选择一个加以证明，若两个都选，以第一个结论的解答为准． ① ②． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $