第06讲 等式性质与不等式性质 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦等式性质与不等式性质核心知识点，先通过实数大小比较（作差法）建立基础，衔接等式基本性质，再系统梳理不等式的对称性、传递性等性质，形成从基础概念到应用的学习支架。 资料以情境化题型（如高速公路车高限制、矩形场地面积）培养数学眼光，通过作差法比较大小、逻辑推理判断命题真假训练数学思维，规范的证明与取值范围求解过程提升数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过经典例题查漏补缺。

第06讲 等式性质与不等式性质 目录 一、两个实数大小的比较 1 二、等式的基本性质 1 三、不等式的性质 1 题型1 列不等式（组） 2 题型2 作差法、作商法比较两数（式）的大小 3 题型3 利用不等式的性质判断命题的真假 5 题型4 利用不等式的性质证明 6 题型5 利用不等式的性质求代数式的取值范围 8 01 学习新知 一、两个实数大小的比较 如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为:. 从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小. 二、等式的基本性质 性质1.如果,那么; 性质2.如果,那么; 性质3.如果,那么; 性质4.如果,那么; 性质5.如果,那么 三、不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 02 经典题型 题型1 列不等式（组） 1. 用不等式或不等式组表示下面的不等关系. (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4 m； (2)实数a与b的和是非负实数； (3)如图，在一个面积小于350 m2的矩形场地中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍. 2. 京沪线上，复兴号列车的速度为350 km/h，该速度的2倍再加上100 km/h不超过民航飞机的最低时速，该速度超过了普通客车速度的3倍，请你用不等式表示这三种交通工具的速度关系. 3. 高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于50 m，用不等式表示为(　　) A.v≤120 km/h且d≥50 m B.v≤120 km/h或d≥50 m C.v≤120 km/h D.d≥50 m 4. 某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的型汽车和型汽车，根据需要，型汽车至少买5辆，型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式（组）. 题型2 作差法、作商法比较两数（式）的大小 5. 比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小. 6. 比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小. 7. 已知x≤1，比较3x3与3x2-x+1的大小. 8. 已知x∈R，比较3x3与3x2-x+1的大小 9. 设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 10. 已知，试比较和的大小. 题型3 利用不等式的性质判断命题的真假 11. 对于实数a，b，c，下列命题中是真命题的为(　　) A.若a<b，则ac2<bc2 B.若a>b>0，则 C.若a<b<0，则 D.若a>b则a>0，b<0 12. 下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若,，则 13. （多选）已知，则下列结论成立的是（） A． B．若．则 C．若，则 D． 题型4 利用不等式的性质证明 14. 已知a>b>0，c<0，求证. 15. 已知c>a>b>0，求证：. 16. 已知c>a>b>0，求证：. 17. 设，求证：是的充要条件． 题型5 利用不等式的性质求代数式的取值范围 18. 已知-6<a<8，2<b<3，求2a+b，a-b及的取值范围. 19. 已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 20. 已知，则的取值范围是 . 21. 已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，则3a+2b的取值范围是　　　　　　　　　　　　. 22. 若变量x，y满足约束条件，，则的最小值为（    ） A．-7 B．-6 C．-5 D．-4 23. 已知求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 等式性质与不等式性质 目录 一、两个实数大小的比较 1 二、等式的基本性质 1 三、不等式的性质 1 题型1 列不等式（组） 2 题型2 作差法、作商法比较两数（式）的大小 3 题型3 利用不等式的性质判断命题的真假 5 题型4 利用不等式的性质证明 6 题型5 利用不等式的性质求代数式的取值范围 8 01 学习新知 一、两个实数大小的比较 如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为:. 从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小. 二、等式的基本性质 性质1.如果,那么; 性质2.如果,那么; 性质3.如果,那么; 性质4.如果,那么; 性质5.如果,那么 三、不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 02 经典题型 题型1 列不等式（组） 1. 用不等式或不等式组表示下面的不等关系. (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4 m； (2)实数a与b的和是非负实数； (3)如图，在一个面积小于350 m2的矩形场地中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍. 解　(1)0<h≤4.(2)a+b≥0. (3) 2. 京沪线上，复兴号列车的速度为350 km/h，该速度的2倍再加上100 km/h不超过民航飞机的最低时速，该速度超过了普通客车速度的3倍，请你用不等式表示这三种交通工具的速度关系. 解　设复兴号列车的速度、民航飞机的最低时速和普通客车的速度分别为v1，v2，v3. 则有 3. 高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于50 m，用不等式表示为(　　) A.v≤120 km/h且d≥50 m B.v≤120 km/h或d≥50 m C.v≤120 km/h D.d≥50 m 答案　A 解析　v的最大值为120 km/h， 即v≤120 km/h， 车间距d不得小于50 m，即d≥50 m. 4. 某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的型汽车和型汽车，根据需要，型汽车至少买5辆，型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式（组）. 【答案】 【详解】设购买型汽车和型汽车分别为辆，辆， 根据题意可得. 题型2 作差法、作商法比较两数（式）的大小 5. 比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小. 解　因为(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4) =(x2+5x+6)-(x2+5x+4)=2>0， 所以(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4). 6. 比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小. 解　(2x2+5x+3)-(x2+4x+2) =x2+x+1=. ∵≥0， ∴>0， ∴(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)>0， ∴2x2+5x+3>x2+4x+2. 7. 已知x≤1，比较3x3与3x2-x+1的大小. 解　3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1) =3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1). 由x≤1得x-1≤0，而3x2+1>0， ∴(3x2+1)(x-1)≤0，∴3x3≤3x2-x+1. 8. 已知x∈R，比较3x3与3x2-x+1的大小 解　3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1) =(3x2+1)(x-1). ∵3x2+1>0， 当x>1时，x-1>0，∴3x3>3x2-x+1； 当x=1时，x-1=0，∴3x3=3x2-x+1； 当x<1时，x-1<0，∴3x3<3x2-x+1. 9. 设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【详解】∵，即. 又，.故答案为：>. 10. 已知，试比较和的大小. 【答案】 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 题型3 利用不等式的性质判断命题的真假 11. 对于实数a，b，c，下列命题中是真命题的为(　　) A.若a<b，则ac2<bc2 B.若a>b>0，则 C.若a<b<0，则 D.若a>b则a>0，b<0 答案　D 解析　方法一　当c=0时，有ac2=bc2，故A为假命题；由a>b>0，有ab>0⇒故B为假命题； a<b<0⇒-a>-b>0⇒->->0，则故C为假命题； a>b⇒b-a<0，又>0⇒>0，则ab<0， ∵a>b，∴a>0，b<0，故D为真命题. 方法二　(特殊值排除法) 取c=0，则ac2=bc2，故A为假命题；取a=2，b=1，则=1，有故B为假命题；取a=-2，b=-1，则=2，有故C为假命题. 12. 下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若,，则 【答案】D 【详解】对于A，若，当时，则，故A错误； 对于B，若，满足，但，故B错误； 对于C，因，，由，可得，故C错误； 对于D，由，得，因，则，故D正确． 故选：D． 13. （多选）已知，则下列结论成立的是（） A． B．若．则 C．若，则 D． 【答案】AC 【详解】对于,因为,所以, 即,，即故，故正确; 对于,若则,故错误; 对于,即,故正确; 对于,,故错误. 故选:. 题型4 利用不等式的性质证明 14. 已知a>b>0，c<0，求证. 证明　因为a>b>0，所以ab>0，>0. 于是a·，即， 由c<0，得. 15. 已知c>a>b>0，求证：. 证明　方法一　因为c>a>b>0，所以0<c-a<c-b，所以(c-a)(c-b)>0， 所以0<·(c-a)<·(c-b)， 即0<即>0， 又因为a>b>0，所以. 方法二　因为a>b>0，所以 因为c>0，所以所以-1<-1，即 因为c>a>b>0，所以c-a>0，c-b>0.所以. 方法三　= 因为c>a>b>0，所以a-b>0，c-a>0，c-b>0，所以. 16. 已知c>a>b>0，求证：. 证明　方法一　因为c>a>b>0，所以0<c-a<c-b，所以0<(c-a)2<(c-b)2， 所以(c-a)2(c-b)2>0，所以0<·(c-a)2<·(c-b)2， 即0<所以>0， 又因为a>b>0，所以. 方法二　== = 因为c>a>b>0，所以a-b>0，c2>ab，c-a>0，c-b>0，所以(a-b)(c2-ab)>0， 所以>0，所以>0，因此. 17. 设，求证：是的充要条件． 【答案】证明见详解 【详解】①证明充分性，已知：， ，求证：， 证明：因为，所以， 则不等式两边同时乘以，不等号的方向不变， 即，即，故充分性得证； ②证明必要性，已知：，，求证：， 证明：因为， 所以不等式两边同时乘以，不等号的方向不变， 即，即，故必要性得证； 综上，若，则：是的充要条件． 题型5 利用不等式的性质求代数式的取值范围 18. 已知-6<a<8，2<b<3，求2a+b，a-b及的取值范围. 解　因为-6<a<8，2<b<3，所以-12<2a<16，所以-10<2a+b<19. 又因为-3<-b<-2，所以-9<a-b<6. 又 ①当0≤a<8时，0≤<4；②当-6<a<0时，0<-a<6， 所以0<-<3，所以-3<<0.由①②得-3<<4. 19. 已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 【答案】B 【详解】因为，， 所以，，， 所以的取值范围为，的取值范围为，故A正确，B错误； 因为，， 所以，，， 所以的取值范围为，的取值范围为，故C正确，D正确. 故选：B 20. 已知，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可知，， ，，则，所以. 故答案为： 21. 已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，则3a+2b的取值范围是　　　　　　　　　　　　. 答案　2≤3a+2b≤11 解析　设3a+2b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b， 则解得 所以3a+2b=(a+b)+(a-b)， 因为1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2， 所以(a+b)≤10，-(a-b)≤1， 因此，2≤3a+2b≤11. 22. 若变量x，y满足约束条件，，则的最小值为（    ） A．-7 B．-6 C．-5 D．-4 【答案】B 【详解】设，故且， 所以，故， 由于，，所以，， 故最小值为，此时， 故选：B. 23. 已知求的取值范围． 【答案】 【详解】根据题意知且， 所以，则， 所以故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $