河北省承德市双滦区实验中学2026年暑假高一数学专项测试卷（8）---空间直线、平面的垂直

**基本信息** 高一数学空间直线与平面垂直专项测试，通过单选、多选、填空及解答题（含5道综合大题），全面考查线面垂直判定、面面垂直性质、线面角等核心知识，注重空间观念与推理能力培养，如解答题融入“阳马”文化情境。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|面面垂直对数、线面平行判定|以三棱锥、正方体为模型，基础巩固| |多选题|3/18|面面垂直判定、体积计算|结合矩形、正方体，能力提升| |填空题|3/15|线面角正弦值、点面距离|矩形折叠、立方体模型，空间想象| |解答题|5/77|线面垂直证明、二面角计算、外接球体积|融入“阳马”文化情境，综合推理与应用|

河北省承德市双滦区实验中学 2025- -2026学年第二学期暑假高一数学专项测试卷（8） 范围：空间直线 平面的垂直 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．在三棱锥中，若平面，，则平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 2．如图，平面，为正方形，下列结论不正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．已知m，l为空间中不重合的直线，，，为空间中不重合的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．在正四面体中，异面直线，所成角的大小为（     ） A． B． C． D． 5．在多面体中，底面为矩形，，，，平面，则直线与底面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 6．在正方体中，二面角的正切值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在正方体中，M是的中点．若点P满足：平面与平面交于直线l，且平面，则点可以位于（    ） A． B． C． D． 8．如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，则三棱锥的表面积为（     ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．如图，四边形是矩形，平面，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 10．如图，正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点，则下列说法正确的有（    ） A．三棱锥的体积为 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等 11．在三棱锥中，平面，，，，则（   ）   A．异面直线与所成的角为 B．点到平面的距离为 C．二面角的正弦值为 D．三棱锥各顶点均在半径为4的球的球面上 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．在矩形中，，，平面，且，E为上一点，，则的长为______________． 13．在棱长为4的立方体中，是的中点，则点到平面的距离是___________；点与点到平面的距离之比是___________． 14．如图，三棱锥中，，，为的中点，于点，连接，则二面角的大小为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）如图，几何体中，平面，，于，于． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)证明：平面平面； (4)证明：． 16．(本小题15分）我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”．现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面是正方形，底面，，，分别为线段，的中点． (1)证明：平面平面； (2)记面与面的交线为，求二面角的平面角的大小； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 17．(本小题15分）如图，在棱长为4的正方体中，O为侧面的中心．  (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求三棱锥的外接球的体积． 18．(本小题17分）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，，分别为，的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若，，求PA与平面PCD所成角的正弦值． 19．(本小题17分）如图，正三棱柱中，是的中点． (1)求证：平面⊥平面； (2)求证：平面； (3)若，求二面角的大小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B D D B C A ABD BC 题号 11 答案 AC 1．C 【详解】因为平面，平面，平面平面； 因为平面，平面，平面平面； 因为平面，平面，所以，又，平面， 所以平面， 平面，平面平面； 所以平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有3对. 2．C 【详解】因为平面，平面， 所以，，，故D正确； 因为为正方形，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以，故A正确； 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以，故B正确； 假设， 则由平面，得平面， 因为平面，所以，显然不成立，故假设不成立，故C错误. 3．B 【详解】A选项，根据线面平行的判定定理可知，平面外一条直线与平面内一条直线平行，则线面平行，选项中未强调平面外的直线，故A错误； B选项，根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行可判断，B选项正确； C选项，线面平行，则这条直线与平面内的直线没有公共点，可能平行可能异面，故C错误； D选项，垂直于同一个平面的两个平面可以相交，可以平行，故D错误． 4．D 【详解】如图所示， 取的中点，连接，易知、都是正三角形， 所以，. 因为，且平面， 所以平面. 又平面，所以， 故异面直线与所成角的大小为. 5．D 【详解】设中点为，连接， 因为，所以， 因为，所以四边形是平行四边形，， 又因为平面，所以即为直线与底面所成角的平面角， 因为底面为矩形，，，所以， 因为平面，所以，， 所以， 即直线与底面所成角的正弦值为. 6．B 【详解】如图，在正方体中，连接交于， 由为正方体，从而，， 又，平面， 平面，因为平面， 从而，从而为二面角的平面角， 设正方体的边长为，则，，， 从而. 即二面角的正切值为 7．C 【详解】根据题意，延长交延长线于点， 因为平面与平面交于直线l，且平面， 则直线l为过点平行于的直线， 又因为，则，所以与共面，即平面， 所以点P可以位于，而点、和都不在平面上，故C正确. 8．A 【详解】取中点，连接，由，得，又平面平面， 平面平面，平面，则平面， 而平面，于是，由平面，平面， 得，又平面，因此平面， 而平面，则，又，则， 所以三棱锥的表面积为. 9．ABD 【详解】因为平面，平面，所以平面平面，故A项正确; 因为平面，平面，所以， 因为四边形为矩形，所以，因为，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面， 同理可证得平面平面，故B项正确， 对于C，若平面平面，由B选项分析知平面平面， 所以平面平面平面，显然不垂直平面，所以C错误; 因为平面，平面，所以，因为四边形为矩形， 所以，因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故D项正确. 10．BC 【详解】对于A，， 三棱锥的体积为，A错误； 对于B，取中点，连接， 因为，，分别为，，中点， 所以，， 可得平面，平面，， 可得平面平面， 因为平面，所以平面，故B正确； 对于C，连接，，因为，为，的中点， 所以，所以平面截正方体的截面为，， 故C正确； 对于D，连接交于点，延长交的延长线于点， 因为，为，的中点， 所以，， 又，所以， 为的三等分点，不是的中点， 所以点和点到平面的距离不相等，故D错． 11．AC 【详解】对于A选项，因为平面平面，所以， 又，所以平面， 因为平面，所以，故异面直线与所成的角为，故A正确； 对于B选项，三棱锥的体积， 因为平面，平面，所以， 因为，，， 所以， ， 所以，是等腰三角形， 记为中点，连接，由等腰三角形得 所以， 故， 设 到平面 的距离为 ，则， 解得，故B错误； 对于C选项，连接，则，又因为平面，平面， 所以为二面角的平面角， 因为，，所以， 所以，即是直角三角形， 所以，故C正确； 对于D选项，由两两垂直，可将三棱锥补成长方体， 其长宽高分别为，三棱锥外接球与长方体外接球相同， 外接球直径等于长方体体对角线：，故D错误．    12． 【详解】连接，因为平面，平面， 所以，又，， 所以平面，又平面，则， 由矩形可知. 因为， 所以,解得， 则， 故答案为：. 13． 【详解】正方体中，平面， 所以三棱锥的体积为. 中，， 所以的面积为. 设点到平面的距离为， 则由，得， 解得. 连接，交于点， 连接，则为平面与平面的交线， 因为平面， 所以与平面的交点就是与的交点，记作点. 正方形中，，所以. 又，所以四边形为平行四边形. 所以，所以. 所以， 所以点与点到平面的距离之比是.    14．/ 【详解】因为，为中点，所以； 又因为，为中点，所以， 因为，平面，因此平面， 因为平面，所以， 又，且，平面，因此平面， 因为平面，且平面，而平面是平面的一部分， 因此平面平面，故二面角为直二面角，大小为. 15．【详解】（1）平面，平面， ，又，，平面，平面； （2）平面，平面，， 又，，平面， 平面，又平面，则， 又，,平面；平面； （3）平面，平面，平面平面． （4）平面，平面，． 16．(1)因为底面，底面，故； 又底面是正方形，故. 由，，，平面，所以平面. 又平面，所以. 因为，是中点，所以； 因为，，，平面，故平面. 又因为平面，所以平面平面. （2）因为，平面，平面，故平面. 又平面，平面平面，由线面平行性质得. 由（1）知平面，且，所以平面， 又因为，得平面，故且，因此就是二面角的平面角. 在中，，，故. 因此二面角的平面角大小为. （3）设. 因为是中点，底面，故到底面的距离为. 又因为是中点，，. 三棱锥的体积. 由（1）知平面，且平面，所以. 在直角三角形中，，所以，，.​ 在直角三角形中，，，所以. 在直角三角形中，. 设点到平面的距离为，由，代入得. 因为在平面上，设直线与平面所成角为，则. ​​​因此直线与平面所成角的正弦值为. 17．(1)证明：连接，与交于点E，连接， 因为O为侧面的中心，所以O为的中点， 连接OE，因为，，且，， 所以，且， 则四边形为平行四边形， 因为E为的中点，易知， 又平面，平面， 故平面． （2）连接，则，则， 易知四边形为平行四边形， 在正方体中，平面， 又平面，所以， 因为， 故平面，即平面， 所以为直线与平面所成的角， 在中，易求，， 所以， 则． 故直线与平面所成角的大小为． （3）设三棱锥的外接球的球心为M，半径为R， 因为的外接圆的圆心为E，所以平面， 由（1）可知，，平面，所以平面， 因此球心M在线段上， 易求，，由，解得， 故三棱锥的外接球的体积为． 18．(1)连接交于点，连接． 因为四边形是平行四边形，所以是中点． 又是中点，所以． 因为平面平面， 所以平面． (2)由题知，在中，，， 由余弦定理，得，所以． 在中，，，所以是等边三角形，所以， 所以，即． 因为平面平面，所以． 又，，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （3）因为平面平面，所以，． 由（2）知，所以． 设点到平面的距离为． 因为，，所以， 等腰底边上的高为，所以， 所以． 又点到的距离为，所以， 所以，解得． 记与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为． 19．(1)是正三棱柱， 平面，平面,则． 是正三角形，是的中点， ． 平面， 平面． 又平面， ∴平面平面． (2)连结，设． 是正三棱柱，∴四边形是矩形，是的中点． 是的中点，． 又平面，平面，平面． （3）作于点，于点，连结． ∵平面平面，且两平面的交线为，平面， 平面． 故是在平面上的射影． 根据三垂线定理得，．于是是二面角的平面角． 设，由，则． 在中，． 在中，． 在中，，所以． 于是二面角的大小是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $