河北省承德市双滦区实验中学2025-2026学年高一下学期暑假数学专项测试卷（10）三角函数与解三角形

**基本信息** 暑假高一数学三角函数与解三角形专项测试，通过分层题型考查核心知识，解答题融合实际测量（如第8题两山顶距离测量）与综合应用（如第19题面积取值范围），培养数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|三角函数定义、图像变换|基础巩固，如第3题图像平移变换| |多选题|3/18|函数性质、三角形判定|能力辨析，如第10题正弦定理应用判断| |填空题|3/15|零点问题、三角恒等变换|中档应用，如第12题函数零点范围求解| |解答题|5/77|解三角形综合、函数图像|分层创新，如第19题结合面积公式与锐角三角形条件求取值范围，体现推理能力|

河北省承德市双滦区实验中学 2025- -2026学年第二学期暑假高一数学专项测试卷（10） 范围：三角函数与解三角形 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．在中，角，，所对的边分别为，，，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知，，若，，则（     ） A． B． C． D． 3．将的图象向右平移个单位，向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 4．在中，角的对边分别为，已知，，，则等于（   ） A．1 B．2 C． D． 5．已知函数，则下列关于该函数说法正确的是（     ） A．图像通过纵坐标不变横坐标变为原来的，再向右平移个单位变换得到该函数图像 B．该函数图像的一个对称中心为 C．函数的最小正周期为 D．该函数的定义域为 6．在中，，，若点满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．函数，的图像与直线有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内.测得到，的俯角和分别为，，到，的俯角分别为，，同时测得.则山顶，之间的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．已知函数，则（     ） A．函数的最大值为2 B．函数的最小正周期为 C．函数的图象关于点对称 D．将函数的图象向左平移个单位长度，可得到的图象 10．在中内角的对边分别为，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，，且有两解，则的取值范围是 11．已知函数的部分图象如图所示，则（     ）． A．函数的最小正周期是 B．函数的解析式为 C．函数的单调递减区间是 D．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．函数在上有三个零点，则的取值范围是______． 13．已知，若，，则_____． 14．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）记的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长． 16．(本小题15分）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)在中，，，分别是角，，的对边，，且，求面积S的最大值． 17．(本小题15分）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 18．(本小题17分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A； (2)若的面积为，内角A的平分线交边于点E，，求的长； (3)若，边上的中线，设点O为的外接圆圆心，求的值． 19．(本小题17分）在中，角的对边分别是，已知S为的面积，且． (1)求角C的大小； (2)若，判断的形状； (3)若为锐角三角形，且，求S的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B B D A D BD ACD 题号 11 答案 ACD 1．C 【详解】在中，，则， 因为，则. 2．D 【详解】，因为， 所以，， ，，则，， 因此. 3．A 【详解】的图象向右平移单位，得： ， 由诱导公式，化简得：， 向上平移1个单位，整体加1得：， 再由二倍角公式化简得：，对比选项，只有A符合. 4．B 【详解】由余弦定理及已知，得，则（舍去）. 5．B 【分析】利用正切函数的图像与性质依次判断选项即可. 【详解】对于A，图像通过纵坐标不变横坐标变为原来的，再向右平移个单位变换得到函数解析式为,得不到的函数图像，故A错误； 对于B，令，解得：，令，解得：，所以函数图像的一个对称中心为,故B正确； 对于C，函数的最小正周期为,故C错误； 对于D，令，解得：， 所以该函数的定义域为,故D错误. 6．D 【分析】建立平面直角坐标系，根据设出点坐标，根据向量的数量积及辅助角公式求解即可. 【详解】由题意知，为等边三角形. 以点为原点，以为轴建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以点在以点为圆心，1为半径的圆上，设， 则，， 所以 . 因为，所以的最小值为. 7．A 【详解】∵ 当时，，∴ ，∴ ，此时. ∵ 当时，，∴ ，∴ ，此时. 画出的大致图像如图所示： 观察图象可得，要想有且仅有两个交点，则. 8．D 【分析】先在中利用角度关系求得 ，再在中利用正弦定理求得 ，最后在中由已知夹角 及两边 、，用余弦定理求出 ． 【详解】在中，，，所以． 由余弦定理，得，即， 在中，，由正弦定理，得， 所以． 在中，，由余弦定理得，， 即，即． 所以，之间的距离为． 9．BD 【分析】根据正弦函数的值域即可判断A选项；由正弦型函数最小正周期公式和对称中心判断B，C选项；根据图象平移变换（左加右减）判断D选项. 【详解】正弦函数的值域为,因此的最大值为1，A选项错误； 的最小正周期，B选项正确； 因为，所以不是的对称中心，C选项错误； 函数的图象向左平移个单位长度, 得到的图象，D选项正确. 10．ACD 【分析】根据题意，利用正弦定理和正弦函数、余弦函数的单调性，结合选项，逐项分析、判断，即可求解. 【详解】设外接圆的半径为， 对于A，若，由正弦定理得，则，所以A正确； 对于B，若，可得， 因为，可得或， 即或，所以是直角三角形或钝角三角形，所以B不正确； 对于C，若为锐角三角形，可得，所以， 因为，可得， 则且， 所以，所以C正确； 对于D，若，，可得， 要使得有两解，则满足，即的取值范围是，所以D正确. 11．ACD 【详解】A选项：由图可知，函数最大值为，可得，可知，解得，所以A正确； B选项：可知，因为，解得，可得， 函数图像过点，则，可得， 因为，所以，可得，所以B错误； C选项：函数单调递减区间为， 解得，所以C正确； D选项：函数的图象向右平移个单位长度得到，所以D正确. 12． 【分析】利用辅助角公式得到的最简表达式，令，得到关于的三角方程，求解三角方程的通解；根据，，求出的取值范围，将零点个数转化为对应的三角方程的解在的取值范围上的个数问题；根据三角函数的周期性和取值特点，结合三个解的条件，列出关于的不等式，求解不等式取得取值范围. 【详解】. 令，得，即. 或，. ，，. 要使在上有三个零点，则，解得. 综上，的取值范围为. 13． 【分析】根据已知有、，再由平方关系及差角余弦公式求，即可得角的大小. 【详解】，，，， ，， ，又，. 14． 【分析】由余弦定理化角为边，结合锐角三角形得出，根据锐角三角形确定的范围，再用换元法：令，化待求式为二次函数形式，从而可得取值范围. 【详解】因为，所以，整理得，所以或， 若，即，与是锐角三角形矛盾，所以不成立， 所以，则，，由得， ， 设，， 因为，所以，，所以， 所以. 15．【详解】（1）由，得，即， 由，得，则，所以. （2）由（1）知，由及的面积为， 得，解得， 在中，由余弦定理，可得 ，所以的周长为. 16．【详解】（1）由图像可知，，所以，，     所以，将代入可得，， 解得，，因为，所以，故． （2）由得，，故， 又因为，所以，故，解得， 因为，即， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 所以，即，当且仅当时取得“”号， 所以． 17．【详解】（1）， 所以的最小正周期， 令，，得，， 所以的单调递增区间为（）． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得， 再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得， 因为，所以． 令，得；令，得. 所以在区间单调递增，在区间单调递减． 所以，，， 因为关于的方程在区间上有两个不同的实数解， 所以直线与在区间上的图象有两个不同的交点， 所以，即实数的取值范围为． 18．【详解】（1）由及正弦定理，得. 又因为， 代入整理得.因为，所以， 则，即，解得或， 由，则； （2）由，解得. 又因为，所以.因为角A的平分线交边于点E，所以. 由，可得，解得. （3）在中，由余弦定理，得①， 由边上的中线，则，两边平方得， 则，即②，联立①和②，解得， 设边的中点分别为，由点为的外接圆圆心， 则，，， ， 所以. 19．【详解】（1）根据余弦定理：， 三角形面积公式：，代入已知条件可得： ，解得，又，故. （2）由正弦定理，代入得： ， 当，即，结合，得，为等边三角形； 当，即，则，与(1)中矛盾，舍去，故为等边三角形. （3）已知，，由正弦定理，得，， 且.因为为锐角三角形，所以， 面积，代入， ， 由得，故， 代入得：， 故的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $