河北省承德市双滦区实验中学2025-2026学年高一下学期暑假数学专项测试卷（3）正弦定理 余弦定理

**基本信息** 高一数学正弦定理、余弦定理专项测试，通过基础应用、综合判断及实际情境题（如游客下山路径），考查数学推理与模型应用能力，体现文化传承（秦九韶公式）与实际价值。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|正弦定理应用、面积计算、三角形解的个数|基础巩固，梯度分布| |多选题|3/18|综合判断（等腰/直角三角形、锐角三角形性质）|能力提升，多维度辨析| |填空题|3/15|外接圆半径、余弦定理变形、秦九韶公式|文化传承，公式灵活应用| |解答题|5/77|实际情境（游客下山）、几何综合、面积最值|创新应用，数学建模与推理|

河北省承德市双滦区实验中学 2025- -2026学年第二学期暑假高一数学专项测试卷（3） 范围：正弦定理、余弦定理 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．在中，角，，的对边分别为，，，并且，，，则（     ） A．或 B． C． D．或 2．已知的三边长分别为，且面积，则等于（   ） A． B． C． D． 3．在中，，，边，的夹角为，且，则（     ） A． B． C． D． 4．在中，，，，则△ABC的面积为（    ） A．12 B．6 C． D． 5．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则面积的最大值为（     ） A． B． C． D． 6．在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 7．在中，角，，的对边分别为，，，若满足，的有两个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有两解，则b的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．在中，角的对边分别是，已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．的面积为 C． D． 10．在中，，，所对的边分别为，，，下列命题正确的有（   ） A．若，则为等腰直角三角形 B．若是锐角三角形，则不等式成立 C．若，则是钝角三角形 D．是所在平面内任意一点，若动点满足（），则动点的轨迹一定通过的重心 11．中，角，，所对的边分别为，，，且，则（    ） A． B．若且有两解，则 C．若，则 D．若，则面积最大值为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知，，分别为三个内角，，的对边，若，，则的外接圆的半径为__________． 13．已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则______． 14．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积．根据此公式，若，且，则的面积为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. (1)求角A的大小： (2)设的面积为，外接圆的面积为，求. 16．(本小题15分）如图，已知中，，，，延长至点，连接． (1)求的长； (2)若，求的面积． 17．(本小题15分）在中，角，，的对边分别为，，，ΔABC的面积为，若，且有. (1)求； (2)若的面积为=，求，； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 18．(本小题17分）在凸四边形中，对角线平分，，，，． (1)证明：； (2)求； (3)求； (4)点为的中点，线段的垂直平分线交于点，求的面积． 19．(本小题17分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长为1260米，经测量，，其中A，C均为锐角． (1)求索道AB的长； (2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B B B D A ABD BCD 题号 11 答案 BCD 1．C 【详解】因为在中，，，， 由正弦定理，得，且，所以或. 当时，，符合题意；当时，，不符合题意，舍去；因此. 2．A 【分析】应用余弦定理和三角形面积公式，结合已知等量关系列方程得，即可得. 【详解】由，且，又， 所以，得，即，因为，则. 3．B 【分析】首先求角，再根据余弦定理求边. 【详解】已知，则．由，得，解得． 由余弦定理：，． 4．B 【详解】，，， 三角形的面积公式为：，已知，，， 代入得：. 5．B 【分析】利用，代入已知条件，得到与的关系，再利用和均值不等式求出的最大值，进而求出和三角形面积的最大值. 【详解】因为面积，只需求的最大值， 因为，，所以，A为钝角，B，C为锐角， ，代入已知条件得： ，， 所以，令，则，, , ,而由均值不等式，，时取等号，此时，，所以，由于B为锐角，所以， 所以，所以. 6．B 【详解】因为，由余弦定理可知 即， 所以，所以， 所以，所以或，所以是等腰或直角三角形. 7．D 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解. 【详解】在中，，所以， 由有两个解，得， 即，解得，即的取值范围为. 8．A 【详解】若有两解，则，又因为，，所以，所以， 所以b的取值范围是. 9．ABD 【详解】对于A，由余弦定理得：，（负值舍掉），A正确； 对于B，，B正确； 对于C，由正弦定理得：，C错误； 对于D，由余弦定理得：，，D正确. 10．BCD 【分析】利用正弦定理并结合题意可得，即，从而得到或；利用锐角三角形得，从而得，同理有，可得不等式成立；由正弦定理可得，从而，得到是钝角三角形；利用正弦定理，可得，从而将转化为，再利用与边上中线共线的性质可得点的轨迹过的重心即可. 【详解】对于选项A，由，得， 由正弦定理得，所以，即，得. 又因为，所以或， 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于选项B，因为是锐角三角形， 所以.则，即. 因为在区间上单调递增，所以，即. 同理可得，所以，故B正确； 对于选项C，由题意得，由正弦定理得. 所以，因为，所以， 即是钝角三角形，故C正确； 对于选项D，由正弦定理得，令. 因为， 所以， 因为是与边上中线共线的向量，所以点在边的中线上. 因为三角形三条中线的交点为重心，所以点的轨迹过的重心，故D正确. 11．BCD 【分析】先由正弦定理及三角恒等变换求出判断A，应用解的个数列式计算求解判断B，应用正弦定理及余弦定理计算判断C，利用余弦定理结合基本不等式得到，再利用面积公式计算判断D即可. 【详解】因为，所以由正弦定理，得， 得，由，，又，则， 对于A， ，故错误；对于B，因为有两解，则，得，得，故正确；对于C，因为，所以， 由余弦定理得，得， 所以，故正确；对于D，由余弦定理得，，得， 所以，当且仅当时等号成立， 则的面积为，故正确； 12．2 【分析】应用正弦定理计算求解. 【详解】因为，且，所以，设的外接圆的半径为， 由正弦定理得，所以． 13． 【详解】根据正弦定理，已知，. 设，根据余弦定理，已知， 代入得，，，. 14． 【分析】首先根据正弦定理化简已知，求得，再根据余弦定理求，最后代入面积公式求解. 【详解】由正弦定理边角互化可知化简为 ， 即 ，, ，解得：， 根据面积公式可知 15．【详解】（1）由余弦定理得,又，∴. （2）∵的面积为，则， 又外接圆的面积为，设外接圆的半径为， 由正弦定理得，即，则，. 16．【详解】（1）在中，由正弦定理得：， 又，，．所以． （2）在中，由余弦定理得：， 代入得，（负数舍）， 故的面积为． 17．【详解】（1）已知，由正弦定理得， 即，由余弦定理得，因为，所以. （2）由三角形面积公式，得①， 由余弦定理知，即，得②， 由①②解得，. （3）因为，，所以，则，即， ， 又 ，所以， 因为为锐角三角形，， 所以，解得，则， 所以，所以，即的取值范围是. 18．【详解】（1）证明：在中，因为，设，． 由三角函数定义得． 在中，由于平分，故． 由正弦定理，得，整理得，即． （2）在中，由内角和定理得． 则． 由题意，代入得， 整理得． 将代入上式得，， 整理得． 由于，上式变为，提取公因式得．因为，故，即． 由于四边形为凸四边形，则，故． （3）由（1）（2）知，则．由得，， 所以．在中，由余弦定理， 解得．因为，故． （4）以为原点，射线为轴正方向建立如图平面直角坐标系，则点坐标为，点坐标为．因为点为的中点，则点坐标为．设点坐标为．因为在的垂直平分线上，则， 即，解得，故．   19．【详解】（1）在中，因为，，所以，，从而： ， 由正弦定理，得． （2）设乙在D处时，与E处的甲距离最近： 假设乙出发后，甲、乙两游客距离为， 此时，甲行走了，乙走了， 所以由余弦定理得： ， 即， 因为乙还在缆车上，故，即， 故当时，甲、乙两游客距离最短． （3）由正弦定理，得． 乙从出发时，甲已走了，还需走710才能到达． 设乙步行的速度为，由题意得， 即，解得， 所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过， 乙步行的速度应控制在（单位：）范围内． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $