河北省承德市双滦区实验中学2025-2026学年高一下学期暑假数学专项测试卷（4）平面向量及其应用

**基本信息** 高一数学平面向量专项测试，覆盖向量运算、解三角形等核心知识，解答题融入研学实践情境（如净月潭塔楼测量），注重数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量夹角、投影向量、模的最值|基础概念辨析，梯度合理| |多选题|3/18|向量平行垂直、解三角形性质|多维度考查，区分度高| |填空题|3/15|坐标运算、数量积、实际测量|结合研学情境，体现应用| |解答题|5/77|向量综合运算、解三角形、动态问题|分层设问（如19题求表达式与最值），注重逻辑推理与数学语言表达|

河北省承德市双滦区实验中学 2025- -2026学年第二学期暑假高一数学专项测试卷（4） 范围：平面向量及其应用 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知向量，，满足．若，则与夹角的大小是（     ） A． B． C． D． 2．在中，点满足，点满足，则（ ） A． B． C． D． 3．已知是单位向量，向量满足，则的最大值为（     ） A．2 B．4 C．3 D．1 4．已知，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知在平面直角坐标系中，点在直线上．点，若向量在向量方向上的投影向量的模为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 7．在边长为1的正三角形中，设，，，则等于（   ） A．1.5 B． C．0.5 D． 8．在△中，角，，的对应边分别为，，，若，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．已知向量，，则下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若， D．若，则 10．已知向量，，则（    ） A． B．与夹角为 C． D．在上的投影向量为 11．已知，，分别为内角，，的对边，下面四个结论正确的是（     ） A．若，则为等腰三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，，且有两解，则的取值范围是 D．若，则为锐角三角形 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知，，，，且，则点的坐标是________． 13．已知向量，满足，，向量，的夹角为，则______． 14．长春净月潭国家森林公园是知名研学实践基地，景区标志性建筑碧松净月塔楼矗立在观潭山上，某高中数学研学小组开展实地测量活动，选取与塔楼底部位于同一水平面的地面三点，，，且，，三点在同一直线上，米．若在，，三处分别测得塔楼顶端的仰角为，，，则碧松净月塔楼的竖直高度________米．（结果保留一位小数，参考数据：取） 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）已知向量． (1)若，求的值； (2)若，求向量与的夹角的余弦值． 16．(本小题15分）已知平面向量满足 (1)若求的值； (2)若． （i）求的值； （ii）求 的值. 17．(本小题15分）如图，在中，已知，，，，N为AC中点，AM交BN于点P. (1)求BN的长； (2)求的值； (3)求的余弦值. 18．(本小题17分）已知，，分别为三个内角，，的对边，. (1)求角A； (2)若，的面积为，求； (3)若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围. 19．(本小题17分）如图，在中，，，与的交点为M，过M作动直线分别交线段，于E，F两点. (1)用，表示. (2)设，. ①求的值， ②求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B A B D C A AC BCD 题号 11 答案 BC 1．A 【分析】利用，两边平方可得，从而可得，即可计算. 【详解】由得.所以，即. 又因为，所以.因为，所以. 2．A 【分析】根据题意结合平面向量基本定理即可求解. 【详解】已知且，所以，则. 3．B 【分析】方法一：把向量的起点看成坐标原点，说明点在以为圆心，3为半径的圆上，原点到圆上点的最远距离即为圆心距加上半径，从而得的最大值；方法二：变形，由向量模长三角不等式代入即可求解. 【详解】方法一：设，，因为，即， 即，所以点在以为圆心，3为半径的圆上，    又是单位向量，则，故的最大值为，即的最大值为4. 方法二：因为，所以，所以的最大值为4. 4．A 【详解】由题意得投影向量公式为，其中，， 所以，故 5．B 【详解】因为点S在直线上，故设，,由得，, 所以在方向上的投影向量的模为， 代入已知条件得： ，两边平方化简得： ， 得，展开整理得，解得，则，故点S的坐标为. 6．D 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算列式求出最小值. 【详解】建立平面直角坐标系，由，得，令， 设，由，得，因此， 解得，当且仅当时取等号，而， 则，所以当时，取得最小值.    7．C 【分析】应用平面向量的数量积公式计算求解. 【详解】∵在边长为的正三角形中，设， ∴且，∴由向量数量积的定义可得 . 8．A 【分析】展开已知等式，利用余弦定理可求得，利用同角三角函数的平方关系求得，利用诱导公式与二倍角的正余弦公式可求得. 【详解】由，得， 所以，所以， 所以，因为，所以， 所以. 9．AC 【详解】选项 A：若，则，而，所以，A正确. 选项 B：若，则，即且， 此时，不只是，B 错误.选项 C：若，则， ，所以，C 正确.选项 D：若，则， 此时，不只是，D 错误. 10．BCD 【详解】对于A选项，由题意可得，，则，故A错误； 对于B选项，， 又因为，故，即与夹角为，故B正确； 对于C选项，，故，故C正确； 对于D选项，在方向上的投影向量为，故D正确. 11．BC 【分析】对于A：利用正弦定理结合倍角公式可得，进而分析判断；对于B：由锐角三角形可得，结合正弦函数单调性分析判断；对于C：根据题意结合正弦定理分析求解；对于D：整理可得，利用正、余弦定理可得，进而分析判断. 【详解】对于A，若，由正弦定理得，即， 因为，可得或，即或， 所以为等腰三角形或直角三角形，所以A不正确； 对于B，由为锐角三角形，可得，可得， 因为，可得，所以， 即，所以B正确； 对于C，若，，可得， 要使得有两解，则满足，即的取值范围为，所以C正确； 对于D，若，可得， 可得，由正弦定理得， 又由余弦定理得，且，所以， 但不确定，所以无法判定为锐角三角形，所以D错误. 12． 【详解】由，，得， ，得，而，所以点的坐标是. 13． 【详解】，，向量，的夹角为，. .. 14． 【分析】设碧松净月塔楼的竖直高度米．结合仰角的正切值计算可得，在两个三角形中根据余弦定理的推论计算可得答案； 【详解】设碧松净月塔楼的竖直高度米．结合仰角的正切值计算可得： ，，， 因为，所以 在两个三角形中根据余弦定理的推论可得 ，即 化简得，解得（米） 15．【详解】（1）因，，则，从而； （2），因，则，从而. 则向量与的夹角的余弦值为. 16．【详解】（1）若，则， 则． （2）(i) 由，得，， ，即，故； (ii)． 17．【详解】（1）由已知得，所以. 因为N为AC中点，所以， 所以； （2）， 则 （3）， ， 由（1）得，所以， 又因为，所以. 18．【详解】（1）由正弦定理可得， 又， 所以， 即，也即， 因为，所以，所以， 即，即， 又，则，所以，则. （2）由的面积为，得，即，所以. 由余弦定理得，，即，所以. 联立整理得，所以，又，所以. （3）因为为的中点，所以， 则， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，， 则，解得， 所以，则， 所以，即，所以， 所以中线的取值范围是. 19．【详解】（1）因为三点共线，所以可设，又， 所以.因为三点共线，所以，解得. 所以. （2）设，，则.由（1）知，， 所以.又三点共线，所以， ① ②， 当且仅当，即，时，等号成立. 所以当时，取得最小值，最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $