第五章 二元一次方程组 单元检测 2026-2027学年 北师大版八年级上册数学

**基本信息** 本试卷为初中数学二元一次方程组单元检测，涵盖方程（组）定义、解法、实际应用及与一次函数结合，注重基础巩固与综合应用，适配单元复习，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题/36分|二元一次方程定义（1题）、实际应用（6题铁皮做盒子）、一次函数与方程组（9题）|基础概念辨析，情境真实（如打折问题7题）| |填空题|4题/12分|代入求参数（13题）、复杂行程（15题）、几何动态（16题等腰直角三角形）|抽象能力与几何直观结合| |解答题|7题/52分|解方程（组）（17题）、古代问题（20题）、函数与几何综合（23题面积及等腰三角形）|模型意识与应用意识，如19题折叠问题培养空间观念|

第五章 二元一次方程组 单元检测 一.选择题：（每小题3分，共36分） 1．方程2x−=0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y−2x=0，−x+1=0中，二元一次方程的个数是(　　) A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个 2．下列方程组是二元一次方程组的是 （ ） A． B． C． D． 3．二元一次方程x+y=5有( )个解 A． 1 B． 2 C． 3 D． 无数 4．已解知是方程3mx+2y=10的解，则m的值为（　　） A． 2 B． 4 C． 6 D． 10 5．已知是二元一次方程组  的解，则 m-n的值是（   ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 6．现有190张铁皮做盒子，每张铁皮可做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子，设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 7．打折前购买A商品40件与购买B商品30件所花的钱一样多，商家打折促销，A商品打八折，B商品打九折，此时购买A商品40件比购买B商品30件少花600元，则打折前A商品和B商品每件的价格分别为( ) A． 75元，100元 B． 120元，160元 C． 150元，200元 D． 180元，240元 8．甲乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出发1小时追及乙，那么在乙出发后经4小时两人相遇，求甲、乙两人的速度．设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 9．若方程组的解为，则直线y=mx+n与y=﹣ex+f的交点坐标为（　　） A． （﹣4，6） B． （4，6） C． （4，﹣6） D． （﹣4，﹣6） 10．如图，过点Q（0，3）的一次函数与正比例函数y=2x的图象交于点P，能表示这个一次函数图象的方程是（　　） A． 3x﹣2y+3=0 B． 3x﹣2y﹣3=0 C． x﹣y+3=0 D． x+y﹣3=0 11．如图，以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是（　　） A． B． C． D． 12．已知A、B两点的坐标分别为（-2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，-1），半径为1，E是⊙C上的一动点，则△ABE面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 二.填空题（每小题3分 共12分） 13．已知，x=3、y=2是方程组的解，则a=_____，b=_____ 14．在方程2x+y=5中，用x的代数式表示y，得y=_____． 15．在一条街AB上，甲由A向B步行，乙骑车由B向A行驶，乙的速度是甲的速度的3倍，此时公共汽车由始发站A开出向B行进，且每隔x分发一辆车，过了一段时间，甲发现每隔10分有一辆公共汽车追上他，而乙感到每隔5分就碰到一辆公共汽车，那么在始发站公共汽车发车的间隔时间x=_____分钟． 16．如图，直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A作匀速运动，运动时间为t秒，连接CQ．若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为_____． 三.解答题（共7题；共52分） 17．解下列方程（组）： （1） （2） （3） 18．某商场经销水杯，电热水壶两种商品，水杯每个进价15元，售价20元；电热水壶每个进价35元，售价45元． （1）若该商场同时购进水杯、电热水壶共100件，恰好用去2700元，求能购进水杯、电热水壶各多少个？ （2）商场要求小明用1050元的钱（必须全部用完）采购水杯、电热水壶（或其中一种商品），且还要求总利润不少于340元（假设商品全部卖完），请你确定所有的进货方案． 19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求AB的长和点C的坐标； （2）求直线CD的解析式； （3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB=，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（中国古代问题）设马四匹，牛六头，共价四十八两；马三匹，牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？ 21．根据一家文具店的账目记录，某天卖出15个笔袋和5支钢笔，收入240元，另一天，笔袋加价1元和钢笔打8折，卖出同样的12个笔袋和8支钢笔，收入276元，求笔袋和钢笔的单价． 22．从A城到B城，水路比陆路近40千米，上午11时，一只轮船以每小时24千米的速度从A城向B城行驶，下午2时，一辆汽车以每小时40千米的速度从A城向B城行驶，轮船和汽车同时到达B城，求A城到B城的水路和陆路各多长？ 23．如图，直线y=2x+m(m>0)与x轴交于点A(-2，0)，直线y=-x+n(n>0)与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线y=2x+m(m>0)相交于点D，若AB=4． （1）求点D的坐标； （2）求出四边形AOCD的面积； （3）若E为x轴上一点，且△ACE为等腰三角形，直接写出点E的坐标． （解析卷） 一.选择题：（每小题3分，共36分） 1．方程2x−=0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y−2x=0，−x+1=0中，二元一次方程的个数是(　　) A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个 【答案】A 【解析】 【分析】 根据二元一次方程的定义进行分析判断即可. 【详解】 在方程2x−=0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y−2x=0，−x+1=0中，属于二元一次方程的有：3x+y=0，3x+y−2x=0，共计2个. 故选A. 2．下列方程组是二元一次方程组的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分析：根据二元一次方程组的定义逐项判断即可. 详解：A. 含有三个未知数，故不正确； B. 含分式，故不正确； C. 含二次项，故不正确； D. 是二元一次方程组，故正确； 故选D. 3．二元一次方程x+y=5有( )个解 A． 1 B． 2 C． 3 D． 无数 【答案】D 【解析】试题分析：二元一次方程x+y=5的解有无数个． 故选D． 4．已解知是方程3mx+2y=10的解，则m的值为（　　） A． 2 B． 4 C． 6 D． 10 【答案】A 【解析】 【分析】 将x与y的值代入方程即可求出m的值． 【详解】 解：将x=1，y=2代入方程得：3m+4=10， 解得：m=2． 故选：A． 5．已知是二元一次方程组  的解，则 m-n的值是（   ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【答案】D 【解析】 【分析】 将x，y的值代入方程组求得m，n的值即可. 【详解】 解：把代入二元一次方程组， 得：， 解得：m=7，n=3， 则m-n=7-3=4， 故选D. 6．现有190张铁皮做盒子，每张铁皮可做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子，设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意可得，题中等量关系有①共有190张铁皮；②做的盒底数等于盒身数的2倍时才能正好配套． 【详解】 根据共有190张铁皮，得方程x+y=190； 根据做的盒底数等于盒身数的2倍时才能正好配套，得方程2×8x=22y． 列方程组为. 故选：A. 7．打折前购买A商品40件与购买B商品30件所花的钱一样多，商家打折促销，A商品打八折，B商品打九折，此时购买A商品40件比购买B商品30件少花600元，则打折前A商品和B商品每件的价格分别为( ) A． 75元，100元 B． 120元，160元 C． 150元，200元 D． 180元，240元 【答案】C 【解析】 【分析】 设打折前A商品价格为x元，B商品为y元，根据题意列出关于x与y的方程组，求出方程组的解即可得到结果. 【详解】 设打折前A商品价格为x元，B商品为y元， 根据题意得：， 解得：， 则打折前A商品价格为150元，B商品为200元. 故选：C. 8．甲乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出发1小时追及乙，那么在乙出发后经4小时两人相遇，求甲、乙两人的速度．设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由同时出发相向而行，经2小时相遇可列方程2x+2y=18; 由同向而行，且甲比乙先出发1小时追及乙，那么在乙出发后经4小时两人相遇 可列方程5x-4y=18. ∴可列方程组 .故选B. 9．若方程组的解为，则直线y=mx+n与y=﹣ex+f的交点坐标为（　　） A． （﹣4，6） B． （4，6） C． （4，﹣6） D． （﹣4，﹣6） 【答案】B 【解析】 【详解】 原方程组可化为，∵方程的解为， ∴直线y=mx+n与y=﹣ex+f的交点坐标为（4，6）. 故选B. 10．如图，过点Q（0，3）的一次函数与正比例函数y=2x的图象交于点P，能表示这个一次函数图象的方程是（　　） A． 3x﹣2y+3=0 B． 3x﹣2y﹣3=0 C． x﹣y+3=0 D． x+y﹣3=0 【答案】D 【解析】 【分析】 设这个一次函数的解析式为y=kx+b，根据这条直线经过点P（1,2）和点Q（0,3）,用待定系数法即可得出此一次函数的解析式． 【详解】 设一次函数的解析式为：y=kx+b， ∵点P、Q在y=kx+b的图像上， ∴ ， 解方程组得： ， 所以一次函数的解析式为：y=-x+3，即x+y-3=0, 故选D 11．如图，以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组方程组的解．因此本题需先根据两直线经过的点的坐标，用待定系数法求出两直线的解析式．然后联立两函数的解析式可得出所求的方程组． 【详解】 直线l1经过（2，3）、（0，﹣1），易知其函数解析式为y=2x﹣1； 直线l2经过（2，3）、（0，1），易知其函数解析式为y=x+1； 因此以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是：， 故选C． 12．已知A、B两点的坐标分别为（-2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，-1），半径为1，E是⊙C上的一动点，则△ABE面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图,过点C作CD⊥AB，延长DC交C于E，此时△ABE面积的最大值， 设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)， ∵A(−2,0),B(0,1)， ∴{−2k+b=0b=1， ， ∴直线AB的解析式为y=12x+1①， ∵CD⊥AB,C(0,−1)， ∴直线CD的解析式为y=−2x−1②， 联立①②得, ， ∵C(0,−1)， ， ∵C的半径为1， ， ∵A(−2,0),B(0,1)， ， ∴S△ABE面积的最大值为： ， 故选A. 二.填空题（每小题3分 共12分） 13．已知，x=3、y=2是方程组的解，则a=_____，b=_____ 【答案】 6； 7 【解析】 【分析】 把x与y的值代入方程组计算即可求出a与b的值． 【详解】 把x=3、y=2代入中得： 解得： 故答案是：6,7. 【点睛】 考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 14．在方程2x+y=5中，用x的代数式表示y，得y=_____． 【答案】5-2x 【解析】 【分析】 要把二元一次方程2x+y=5中的y用含x的式子表示，首先要移项，把y放在左边，并使其系数为1． 【详解】 2x+y=5，将2x移到等式的右边得， y=5-2x． 故本题答案为：5-2x． 15．在一条街AB上，甲由A向B步行，乙骑车由B向A行驶，乙的速度是甲的速度的3倍，此时公共汽车由始发站A开出向B行进，且每隔x分发一辆车，过了一段时间，甲发现每隔10分有一辆公共汽车追上他，而乙感到每隔5分就碰到一辆公共汽车，那么在始发站公共汽车发车的间隔时间x=_____分钟． 【答案】8 【解析】 【分析】 设公共汽车的速度为v1，甲的速度为v2.因为两辆车间隔距离相等,汽车与甲是追及问题,即甲与汽车之间距离为.汽车与乙是相遇问题,即乙与汽车之间的距离为.根据上面两式可得到v1=5v2.再代入①即可求得的值.至此问题得解. 【详解】 设公共汽车的速度为v1，甲的速度为v2． 由题意得 由①﹣②得 0=5v1﹣25v2，即v1=5v2③ 将③代入①得， s=10（v1﹣v1） ∴=8 故答案为8． 16．如图，直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A作匀速运动，运动时间为t秒，连接CQ．若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为_____． 【答案】2或4 【解析】 【分析】 先求出点C坐标，然后分为两种情况，画出图形，根据等腰三角形的性质求出即可. 【详解】 ∵由，得， ∴C（2，2）； 如图1，当∠CQO=90°，CQ=OQ， ∵C（2，2）， ∴OQ=CQ=2， ∴t=2； 如图2，当∠OCQ=90°，OC=CQ， 过C作CM⊥OA于M， ∵C（2，2）， ∴CM=OM=2， ∴QM=OM=2， ∴t=2+2=4， 即t的值为2或4， 故答案为：2或4. 三.解答题（共7题；共52分） 17．解下列方程（组）： （1） （2） （3） 【答案】（1）x=30；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）根据解一元一次方程的步骤依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）利用加减消元法求解可得； （3）由第①个方程得出，代入第②个方程得出，据此联立得到关于X、Y的二元一次方程组，进一步求解可得. 【详解】 （1）去分母，得：2x-3（30-x）=60， 去括号，得：2x-90+3x=60， 移项，得：2x+3x=60+90， 合并同类项，得：5x=150， 系数化为1，得：x=30； ， ②×2-①，得：5x=10， 解得：x=2， 将x=2代入②，得：6+y=8， 解得：y=2， ∴方程组的解为； （3）， 由①，得③， 将③代入②，得， 整理，得：3x+4y=4, 则， 解得：. 18．某商场经销水杯，电热水壶两种商品，水杯每个进价15元，售价20元；电热水壶每个进价35元，售价45元． （1）若该商场同时购进水杯、电热水壶共100件，恰好用去2700元，求能购进水杯、电热水壶各多少个？ （2）商场要求小明用1050元的钱（必须全部用完）采购水杯、电热水壶（或其中一种商品），且还要求总利润不少于340元（假设商品全部卖完），请你确定所有的进货方案． 【答案】（1）能购进水杯40个，电热水壶60个（2）进货方案共有3种，即购进水杯56个，电热水壶6个；或购进水杯63个，电热水壶3个；或购进水杯70个 【解析】 【分析】 （1）设能购进水杯x个，电热水壶y个，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，然后求解方程组即可； （2）设小明采购水杯m个，电热水壶n个，根据题意列出关于m，n的方程与不等式，然后求得m的取值范围，再根据m，n都为正整数或0，确定m，n的值即可. 【详解】 （1）设能购进水杯x个，电热水壶y个， 依题意，得, 解得， 答：设能购进水杯40个，电热水壶60个； （2）设小明采购水杯m个，电热水壶n个， 依题意，得15m+35n=1050， ① 并且（20﹣15）m+（45﹣35）n≥340， ② 由①得：n=30﹣m， ③ ③代入②，得5m+10（30﹣m）≥340， 解得m≥56， ④ 由③④知，要使n为0或正整数，m的值只能为56，63，70，n对应的值为6，3，0． 答：进货方案共有3种，即购进水杯56个，电热水壶6个；或购进水杯63个，电热水壶3个；或购进水杯70个． 19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求AB的长和点C的坐标； （2）求直线CD的解析式； （3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB=，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）AB=5；C（8，0）．（2）y=x﹣6；（3）P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）． 【解析】 【分析】 （1）先求得点A和点B的坐标，则可得到OA、OB的长，然后依据勾股定理可求得AB的长，然后依据翻折的性质可得到AC的长，于是可求得OC的长，从而可得到点C的坐标； （2）设OD=x，则CD=DB=x+4．，Rt△OCD中，依据勾股定理可求得x的值，从而可得到点D（0，﹣6），然后利用待定系数法求解即可； （3）先求得S△PAB的值，然后依据三角形的面积公式可求得BP的长，从而可得到点P的坐标． 【详解】 解：（1）令x=0得：y=4， ∴B（0，4）． ∴OB=4 令y=0得：0=﹣x+4，解得：x=3， ∴A（3，0）． ∴OA=3． 在Rt△OAB中，AB==5． ∴OC=OA+AC=3+5=8， ∴C（8，0）． （2）设OD=x，则CD=DB=x+4． 在Rt△OCD中，DC2=OD2+OC2，即（x+4）2=x2+82，解得：x=6， ∴D（0，﹣6）． 设CD的解析式为y=kx﹣6，将C（8，0）代入得：8k﹣6=0，解得：k=， ∴直线CD的解析式为y=x﹣6． （3）∵S△PAB=， ∴S△PAB=××6×8=12． ∵点Py轴上，S△PAB=12， ∴BP•OA=12，即×3BP=12，解得：BP=8， ∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）． 20．（中国古代问题）设马四匹，牛六头，共价四十八两；马三匹，牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？ 【答案】马价6两，牛价4两 【解析】 【分析】 设马价x两,牛价y两, 根据马四匹,牛六头,共价四十八两可得: ,再根据马三匹,牛五头,共价三十八两,可得:, 将两个二元一次方程联立成二元一次方程组,解方程组即可求解. 【详解】 设马价x两,牛价y两, 根据题意可得: , 解得:, 答:马价6两,牛价4两. 21．根据一家文具店的账目记录，某天卖出15个笔袋和5支钢笔，收入240元，另一天，笔袋加价1元和钢笔打8折，卖出同样的12个笔袋和8支钢笔，收入276元，求笔袋和钢笔的单价． 【答案】每个笔袋的价格为6元，每支钢笔的价格为30元． 【解析】 【分析】 等量关系为：15个笔袋总价+5支钢笔总价=240元；12个笔袋总价+8支钢笔总价=276元，把相关数值代入后看求得的单价是否符合实际情况即可． 【详解】 设每个笔袋的价格为x元，每支钢笔的价格为y元． 根据题意，得 ， 解得． 答：每个笔袋的价格为6元，每支钢笔的价格为30元． 22．从A城到B城，水路比陆路近40千米，上午11时，一只轮船以每小时24千米的速度从A城向B城行驶，下午2时，一辆汽车以每小时40千米的速度从A城向B城行驶，轮船和汽车同时到达B城，求A城到B城的水路和陆路各多长？ 【答案】水陆240千米，陆路280千米． 【解析】 【分析】 设水路a千米,陆路b千米,根据行程问题中的等量关系可得: ,解得:. 【详解】 设水路a千米,陆路b千米,根据题意可得: ,解得:, 答:水路240千米,陆路280千米. 23．如图，直线y=2x+m(m>0)与x轴交于点A(-2，0)，直线y=-x+n(n>0)与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线y=2x+m(m>0)相交于点D，若AB=4． （1）求点D的坐标； （2）求出四边形AOCD的面积； （3）若E为x轴上一点，且△ACE为等腰三角形，直接写出点E的坐标． 【答案】（1）D点坐标为（， ）；（2）；（3）点E的坐标为（2-2，0）、（-2-2，0）、（2，0）、（0，0）． 【解析】试题分析：（1）先把A点坐标代入y=2x+m得到m=4，则y=-2x+4，再利用AB=4可得到B点坐标为（2，0），则把B点坐标代入y=-x+n可得到n=2，则y=-x+2，然后根据两直线相交的问题，通过解方程组得到D点坐标； （2）先确定C点坐标为（0，2），然后利用四边形AOCD的面积=S△DAB-S△COB进行计算即可； （3）先利用A、C两点的坐标特征得到△ACO为等腰直角三角形，AC=2，然后分类讨论：当AE=AC=2时，以A点为圆心，以2画弧交x轴于E1点和E2点，再写出它们的坐标；当CE=CA时，E3点与点A关于y轴对称，即可得到它的坐标；当EA=EC时，E4点为坐标原点． 试题解析： （1）把A（-2，0）代入y=2x+m得-4+m=0，解得m=4， ∴y=-2x+4， ∵AB=4，A（-2，0）， ∴B点坐标为（2，0）， 把B（2，0）代入y=-x+n得-2+n=0，解得n=2， ∴y=-x+2， 解方程组，得， ∴D点坐标为（， ）； （2）当x=0时，y=-x+2=2， ∴C点坐标为（0，2）， ∴四边形AOCD的面积=S△DAB-S△COB=×4×-×2×2=； （3）如图所示， ∵A（-2，0），C（0，2）， ∴AC=2， 当AE=AC=2时，E1点的坐标为（2-2，0），E2点的坐标为（-2-2，0）； 当CE=CA时，E3点的坐标为（2，0）， 当EA=EC时，E4点的坐标为（0，0）， 综上所述，点E的坐标为（2-2，0）、（-2-2，0）、（2，0）、（0，0）． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $