河北省承德市双滦区实验中学2025-2026学年高一下学期暑假数学专项测试卷（6）空间点、直线、平面间的位置关系

**基本信息** 以空间位置关系为核心，融合校园体育情境（足球门抽象直四棱柱），通过分层设问（基础判断到综合证明）考查空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空间平面分空间（1）、异面直线判断（2）|正方体展开图还原（8）| |多选题|3/18|正三棱柱异面直线（9）、空间直线命题（10）|图形辨析与逻辑推理结合| |填空题|3/15|异面直线成角（12）、动点截面形状（13）|动态几何问题设计（13）| |解答题|5/77|空间四边形中点性质（15）、足球门几何模型（17）|多问综合（15四问）与实际情境应用（17）|

河北省承德市双滦区实验中学 2025- -2026学年第二学期暑假高一数学专项测试卷（6） 范围：空间点、直线、平面的位置关系 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．若平面平面β，平面平面β，则α，β，γ将空间分成（    ） A．4个部分 B．5个部分 C．6个部分 D．7个部分 2．在正方体中，与直线异面的直线可以是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．正方体中，棱长为2cm，则点与点的距离为（   ） A． B． C．2 D． 4．“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号语言表述是（   ） A． B． C． D． 5．如果空间四点，，，不共面，那么下列判断正确的是（   ） A．直线与平行 B．直线与相交 C．，，，四点中可以有三点共线 D．，，，四点中不存在三点共线 6．已知，，是空间中三个不同的平面，a，b，c是空间中三条不同的直线，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 7．在正三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过点，，的截面一定是（    ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 8．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在线段，，，所在的直线中，互为异面直线的有（     ）   A．与 B．与 C．与 D．与 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．如图所示，G､H､M､N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线、是异面直线的图形有（    ） A．  B．  C．   D．   10．已知表示空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若共面，共面，则共面 11．如图，在长方体中，分别为，的中点，分别为的中点，则（    ） A．四点在同一平面内 B．三条直线有公共点 C．直线与直线相交 D．直线上存在点使三点共线 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．在长方体中，，则异面直线和所成角的大小是___________． 13．已知正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为．则下列命题中正确的是______． ①当时，为四边形；②当时，为等腰梯形； ③当时，与的交点满足；④当时，为六边形； ⑤当时，的面积为． 14．在正四棱柱中，，点是棱的中点，平面截正四棱柱所得截面的面积为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）设E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，P、Q分别是这个空间四边形两条对边BD、AC的中点． (1)求证：； (2)若，，求的值； (3)若，，，求异面直线AC与BD所成的角的大小； (4)求证：EG、FH、PQ相交于同一点． 16．(本小题15分）在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是边上的点，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)若四面体为棱长为6的正四面体，且，求四边形的周长； (3)若平面截四面体所得的五面体的体积占四面体的，求的值． 17．(本小题15分）2026年4月20日，太原师范学院附属中学“青春附中杯”第一届班级足球超级联赛正式启幕，师生齐聚绿茵场，共赴这场以青春为名､以足球为媒的体育盛会.如图1为操场的足球门，下面将该物体抽象为一个直四棱柱，如图2，底面为直角梯形，，为的中点，在上且. (1)求证：四点共面； (2)求直四棱柱的表面积； (3)求三棱锥外接球的体积. 18．(本小题17分）如图，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．点在线段上． (1)求异面直线与所成的角的大小． (2)求三棱锥的体积． (3)求的最小值． 19．(本小题17分）如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，，分别是，的中点． (1)证明：四点共面． (2)证明：直线，，经过同一点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D C D B B A BD AC 题号 11 答案 BD 1．C 【详解】如图所示，将空间分成6个部分，C正确.    2．A 【详解】对于A，在正方体中，平面，平面，平面， 点直线，点直线，因此直线与直线互为异面直线，A是； 对于B，，直线与直线是相交直线，B不是； 对于C，连接，由，得四边形是平行四边形，直线与直线是相交直线，C不是； 对于D，由选项C，同理得直线与直线是相交直线，D不是. 3．D 【详解】 连接，，则．又平面，所以，所以． 4．C 【详解】由题意，∵平面内有一条直线，∴， ∵点在这条直线上，∴， ∵得出这条直线上的一点必在这个平面内，∴，∴. 5．D 【详解】若直线与平行，则空间四点A，B，C，D共面，故A不正确； 若直线与相交，则空间四点A，B，C，D共面，故B不正确； 若A，B，C，D四点中有三点共线，则空间四点A，B，C，D共面，与题设矛盾，故C错误，D正确. 6．B 【详解】在空间中垂直于同一条直线的两条直线可能的位置关系：平行、相交、异面，A错误；垂直于同一条直线的两平面互相平行，B正确； 根据面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.C选项中缺少条件或，所以C错误； 若，，，则两条直线可能的位置关系：平行、相交、异面，D错误. 7．B 【详解】如图，取的中点，连接，，，.因为棱的中点为，棱的中点为，所以.同理，所以， 所以四边形为经过点，，的截面. 因为棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，所以，， 所以，所以四边形是平行四边形. 因为三棱锥是正三棱锥，所以，所以， 所以四边形是矩形，即经过点，，的截面一定是矩形. 8．A 【详解】还原为正方体，如下：    A选项，直线和直线是异面直线，A正确； B选项，直线与是相交直线，不是异面直线，B不正确； C选项，直线和直线是相交直线，不是异面直线，C不正确； D选项，直线和直线是平行直线，不是异面直线，D错误. 9．BD 【详解】对于A，由G，M均为所在棱的中点，根据三棱柱的性质易得，不为异面直线；对于B，在题图中， 三点在同一个平面内，直线显然与确定的平面相交，故直线，是异面直线； 对于C，连接，由N，H均为所在棱的中点，所以，且， 易得四边形GMNH为梯形，则GH与MN相交，不是异面直线．    对于D，在题图中， 三点在同一个平面内，直线显然与确定的平面相交， 故直线，是异面直线.故选：BD． 10．AC 【详解】已知表示空间中三条不同的直线，若，则，A选项正确； 若，则可以相交，平行或异面，B选项错误； 若，则，C选项正确； 若共面，共面，则可能是异面直线，D选项错误. 11．BD 【详解】根据题意，如图所示 对于A，假设四点在同一平面内，根据题意，则有或与相交， 因为，而与相交，则不平行，矛盾，说明与是异面直线， 因此，四点不在同一平面内，故A错误； 对于B，延长，，则，相交于点， 又平面，平面，则平面，平面， 且平面平面，所以，即三条直线有公共点，故B正确； 对于C，直线为长方体的体对角线，为的中点，为的中点， 由于不在平面内，在平面内，所以不在平面内， 而直线和点在平面内，假设直线与直线相交，则交点只能是，即在直线上， 由于在底面上，交底面于，所以不在直线上，矛盾， 因此直线与直线不相交，故C错误； 对于D，直线上存在点使三点共线，等价于交于点， 由题意知，，，，均在平面内，连接， 由于分别为，的中点，为的中点，则关于对称，因此在上， 因为为的中点，所以是的中点，即在上，所以直线平面， 因为直线平面，如图所示，设交于点， 所以直线上存在点使三点共线，故D正确. 12．/ 【详解】由知为异面直线和所成的角． 在Rt中，，则， 即异面直线和所成角的大小是. 13．①②③⑤ 【详解】设截面与交于点，则，且，所以． 当时，则，所以截面为四边形，且为梯形，故①为真． 当时，，与重合，截面为四边形， 所以，即截面为等腰梯形，故②为真． 当时，如图，延长至，使得, 连接交于，连接交于，连接，则， 由，可得得，故③为真． 当时，点向上移动，截面仍是如图所示的五边形，不是六边形，故④为假． 当时，点与点重合，截面与线段相交于的中点， 所以菱形的对角线长分别为和，所以的面积为，故⑤为真． 故答案为：①②③⑤ 14． 【详解】 在正四棱柱中， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，同理可证，所以四边形是平行四边形， 在中，，， 同理，截面是边长为的菱形， ，， 所以截面面积． 15．【详解】（1）因为，，分别是，，的中点， 所以，．在中，，所以；    （2）因为，，，， 所以,，所以四边形为平行四边形， 所以， 即，所以；    （3）因为，，，所以为等边三角形， 所以，因为，，分别是空间四边形的边，..，的中点，所以，， 所以直线与所成的角即为异面直线与所成的角，即异面直线与所成的角为；    （4）由（2）可知四边形为平行四边形，则与相交于一点，且为它们的中点，因为，，，， 所以,，所以四边形为平行四边形，则与相交于一点，且为它们的中点，而的中点只有一个，故三线相交于同一点．    16．【详解】（1）连接，因为H、G分别是AD、CD的中点， 所以，又，所以，所以， 所以E、F、G、H四点共面； （2），为三等分点，又是中点，所以， 由余弦定理可得：，得：，同理 ，、分别是、的中点，所以，， 所以四边形的周长. （3）延长，则必交于点，证明如下：设， 因为平面，所以平面，同理平面， 又平面平面，所以，所以，则必交于点， 取的中点，连接，因为，所以， 又，所以，所以， 又，所以， 所以， 所以，即， 所以，， 所以， ， 所以，即， 所以，即，所以， 解得或，又因为，所以 17．【详解】（1）， 又，，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为，所以，所以四点共面. （2）过作的垂线交于，，， 直四棱柱的表面积由六个面构成， （3） 由题可知将三棱锥补为长方体，此时三棱锥外接球恰好是长方体的外接球， 于是三棱锥外接球的半径等于长方体的外接球的半径， 设半径为，则，解得，所以外接球体积. 18．【详解】（1）连接，由正方体可得， 故四边形为平行四边形，故，而分别为的中点，故， 故或其补角为异面直线所有成的角， 由正方形可得，故异面直线所成的角为. （2）到平面的距离为，故. （3）将和矩形展平到同一平面，如图， 则，而 ， 故，故的最小值为. 19．(1)证明：连接，因为是的中位线，所以 ． 因为，是两个全等的矩形， 所以 ， 所以 ，则四边形为平行四边形，从而． 又因为，所以 ，故四点共面． (2)证明：为梯形，设 ， 因为平面 平面，所以平面 平面． 又因为 ，所以，即直线经过同一点 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $