河北省承德市双滦区实验中学2026年暑假高一数学专项测试卷（7）-空间直线、平面的平行

**基本信息** 高一暑假数学专项测试卷聚焦空间直线与平面平行，通过基础判定、动态轨迹及存在性探究，考查空间观念与逻辑推理能力，适配假期巩固提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|线面平行判定（第1题）、垂直关系辨析（第3题）|基础概念与空间直观结合| |多选题|3/18|线面平行性质（第9题）、推理规则判断（第10题）|多角度辨析易错点| |填空题|3/15|面面平行性质（第12题）、截面面积计算（第14题）|空间几何量计算| |解答题|5/77|线面与面面平行证明（第15题）、存在性探究（第19题）|综合应用与逻辑推理，贴合高考立体几何命题趋势|

河北省承德市双滦区实验中学 2025- -2026学年第二学期暑假高一数学专项测试卷（7） 范围：空间直线、平面的平行 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．在三棱锥中，E，F分别是棱，的中点，则与平面的位置关系为（    ） A．异面 B．平行 C．相交 D．无法判断 2．如图，，直线与分别交于点和点，且，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 3．给出下列4个命题，其中正确的命题个数是（   ） ①垂直于同一直线的两条直线平行    ②垂直于同一平面的两条直线平行 ③垂直于同一直线的两个平面平行    ④垂直于同一平面的两个平面平行 A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，A是所在平面外一点，M，N分别是和的重心，若，则MN的长为（    ）   A．2 B． C．1 D． 5．三棱柱中，是棱上靠近的三等分点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在正三棱柱中，为棱的中点，，则和所成角的余弦值等于（     ） A． B． C． D． 7．在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，若平面，则三棱锥与三棱柱的体积之比为（     ） A． B． C． D． 8．已知正方体中，，点为线段上靠近的三等分点，为底面正方形内的动点，平面，点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．如图，为矩形所在平面外一点，是的中点，是线段上的点，平面，则下列说法正确的是（　　） A． B．平面 C．平面 D．平面 10．已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理错误的是（    ）. A．，， B．， C．，且 D．，，， 11．如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，E，F分别为，AB的中点，则（   ） A．四点共面 B．点E，F到平面的距离相等 C．三棱锥的表面积为12 D．三棱锥的体积为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．如图所示，，是的另一侧的点，，线段分别交于，若，则________，________． 13．如图，在多面体中，平面平面，，，且，，则下列说法中正确的是_________．（填序号） ①平面； ②平面； ③； ④平面平面． 14．如图，在棱长为6的正方体中，分别为的中点，则平面截正方体所得截面的面积为_____ 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）如图，三棱柱中，分别是棱的中点，求证： (1)平面； (2)平面平面． 16．(本小题15分）如图，在正三棱柱中，分别是的中点． (1)求正三棱柱的表面积； (2)证明：平面； (3)求三棱锥的体积． 17．(本小题15分）如图是一个棱长为2的正方体被平面截去一部分后，剩余的部分为多面体，是的中点. (1)证明：； (2)证明：平面平面； (3)过点C，E，的平面与该多面体的表面相交，交线围成一个多边形，求该多边形的面积. 18．(本小题17分）如图，已知在正三棱柱中，为棱的中点，． (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：直线平面． (3)平面平面，请在图上作出直线，并说明作图理由． 19．(本小题17分）如图，在正方体中，，，分别为棱，，的中点.   (1)求证：四点共面. (2)设平面平面，求证：. (3)棱，上是否分别存在点，，使平面平面？若存在，求与的值；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B A D C B D AB BCD 题号 11 答案 ABD 1．B 【详解】因为，分别是棱，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. 2．A 【分析】过点作直线，使得，通过平行线分线段成比例定理得出的比值，再结合，得到的值. 【详解】因为，直线与分别交于点和点， 过点作直线，使得，交于点，所以， 所以，故. 3．B 【详解】对于①：在空间范围内，垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面，故①错误； 对于②：由线面垂直的性质定理可知，垂直于同一平面的两条直线平行，故②正确； 对于③：由线面垂直的性质与面面平行的判定定理可得，垂直于同一直线的两个平面平行，故③正确； 对于④：垂直于同一平面的两个平面可能平行，也可能相交，例如墙角处的两个竖直墙面均垂直于地面，但两墙面相交，故④错误; 综上，正确的命题为②③，共2个，故选B. 4．A 【分析】若为的中点，连接，根据重心的性质，且，即可得. 【详解】由M，N分别是和的重心，则为三角形中线的交点， 若为的中点，连接，则分别在上，， 而，，故.故选：A    5．D 【分析】连接交于点，连接，根据得出，可求出的值，利用线面平行的性质得出，可得出，即可得出的值. 【详解】连接交于点，连接， 在三棱柱中，，所以，， 所以，所以，故， 因为平面，平面，平面平面， 所以，故，故. 6．C 【详解】取的中点，连接，因为为棱的中点，所以， 所以（或其补角）为和所成的角， 因为三棱柱为正三棱柱，且， 所以，， ，在中，由余弦定理可得. 7．B 【分析】连接，交于点，连接，由线面平行的性质定理得，进而得，利用相似得，进而得，利用体积公式即可求解. 【详解】连接，交于点，连接， 由平面，平面，平面平面， 所以，所以，又，是棱的中点，所以， 所以，所以，所以，所以， 所以，，又， 所以. 8．D 【分析】通过面面平行得到线面平行，从而找到点的轨迹，再计算长度. 【详解】 过作交延长线于，连接交于， 因为，平面，平面，所以平面， 连接，取使得， 则，所以，因为平面，平面， 所以平面，,所以平面平面， 为底面正方形内的动点，平面，所以在上， 过作交于，因为，所以， ，,，所以，， 所以，所以.故轨迹长度为 9．AB 【分析】根据线面平行的性质可知，由此可得A正确；根据线面平行的判定定理可得B正确；对于C，运用反证法即可排除；对于D，根据条件从线面有公共点即可排除. 【详解】对于A，平面，平面平面，平面， ，四边形为矩形，为中点，为中点， 为中点，即，A正确； 对于B，平面，平面，，平面，B正确； 对于C，假设平面，因，则平面或平面， 平面，平面，平面且与平面不平行， 故假设错误，即不平行于平面，C错误；对于D，因是的中点，平面，则点平面，故平面不成立，故D错误.故选：AB. 10．BCD 【分析】对A，利用面面平行的性质定理可判断；对BCD，由线面平行，面面平行的定义和线线的位置关系可判断. 【详解】对于A，因为，由面面平行的性质定理可得，故A正确； 对于B，由，则与可能相交，平行，故B错误； 对于C，由，，则还可能在面或面内，故C错误； 对于D，由，当与平行时，与可能相交，故D错误. 故选：BCD. 11．ABD 【分析】可证，平面，即可判断AB；求相应长度，进而可得三棱锥的表面积，即可判断C；利用转换顶点法可得，结合锥体体积公式判断D. 【详解】对于选项AB：连接， 因为E，F分别为，AB的中点，则， 又因为，且，可知为平行四边形，则， 可得，所以四点共面，故A正确； 且平面，平面，可得平面， 所以点E，F到平面的距离相等，故B正确； 对于选项C：由题意可得：，， 在三角形中，， 可得， 所以三棱锥的表面积，故C错误； 对于选项D：因为， 因为三棱锥的高， 所以三棱锥的体积，故D正确. 12． 9 【分析】根据点的位置关系求出线段 AC 的长度；利用线面平行的性质定理得到，利用对应边成比例即可求出 EG 的长度. 【详解】在平面的下方，是与平面的交点，在直线上，因此线段， 因,，故三点可确定平面 ，平面 ,且，平面与平面,故. 则有，即有 ，代入，解得 . 13．① 【分析】根据线面平行、线线平行、面面平行有关定理对四个说法进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为，平面，平面，所以平面. 因为，平面，平面，所以平面. 因为，，平面，所以平面平面． 因为平面，所以平面，故①正确；由于， 则四边形是梯形，的延长线必与直线相交，故④错误； 由于的长度不确定，所以与平面的位置关系不确定，②错误. 由于的长度不确定，所以与的位置关系不确定，③错误. 14． 【分析】找到平面截正方体的截面为正六边形，求出正六边形面积即可. 【详解】延长交于点，交于点，连接并延长交于点， 过点在平面内作，连接，交于点， 因为，，所以，所以， 同理可证，，故为的中点，因为，，， 所以，所以为中点，因为，，， 所以，故为的中点， 所以截面为正六边形，其边长为， 所以正六边形的面积为. 15．【详解】(1)因为，分别是，的中点， 所以， 又因为在三棱柱中，，所以.所以B、C、G、H四点共面. 在三棱柱中，为的中点，是的中点， 所以，，即四边形为平行四边形.所以. 又因为平面，平面，所以平面. (2)因为，分别是，的中点，所以. 又因为平面，平面，所以平面， 由（1）得平面，,平面所以平面平面. 16．【详解】（1）．． （2） 证明：法一：连接，交于点，连接．易得四边形是矩形，故是的中点． 又是的中点，则．又因平面平面故平面． 法二：连接．因分别是的中点 则．因平面，平面, 则平面，同理平面又，平面，            故平面平面．又平面，故平面． （3）由（2）知平面，所以． ． 17．【详解】（1）证明：因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，因为四边形为正方形，所以⊥，故； (2)证明：由（1）得，因为平面，平面，所以平面， 又，，故四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面平面； （3）取的中点，连接， 因为为的中点，所以， 又，，故四边形为平行四边形，故，故， 所以过点C，E，的平面与该多面体的表面相交，交线围成一个多边形为四边形， 正方体棱长为2，故，， 又，同理，不平行，故四边形为等腰梯形， 高为， 所以等腰梯形的面积为. 18．【详解】（1）正三棱柱中，平面，为等边三角形，且.又为棱的中点，所以，. 在中，，. 在中，，，. 在中，，. 在中，，所以为直角三角形，. 故三棱锥的表面积为. （2）连接，交于，连接. 正三棱柱中，侧面为矩形，则为，的中点， 又为棱的中点，所以. 因为平面，平面，所以直线平面. (3)在平面内，过点作，交于点，则即为直线. 在平面内，过点作，交于点，则. 所以直线与可确定一个平面，与平面重合， 直线与可确定一个平面，与平面重合， 故直线是平面与平面的交线. 又因为两个平面的交线唯一，所以即为直线 19．【详解】(1)因为分别是​的中点，所以是​的中位线，得​. 在正方体中，且，所以四边形是平行四边形，得， 因此由平行公理得，两条平行直线确定唯一平面， 所以共面，故四点共面. (2)由（1）分析知​，平面，平面​， 所以平面.又平面，平面平面， 根据线面平行的性质定理，得，结合（1）中，得. （3）存在 点，且时，平面 平面 .理由如下： .   若，由线段成比例，所以. 又（1）分析知，得 ， 平面 ， 平面 ， 由线面平行的判定定理得 平面 . 设 分别为 的中点，连接 ，所以 . 又 分别是的中点，所以且. 因为 分别是的中点，所以，即， 又，所以，由线段成比例，所以且. 由平行公理得 且 ，所以四边形 是平行四边形， 所以 ，且 ，因此 . 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 因为 平面 ， 平面 ，且 ， 平面 ， 由面面平行的判定定理得平面 平面 . 因此，存在 点，且时，平面 平面 . 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $