暑假作业11 平面的性质及空间直线、平面的平行（巩固培优,5知识8题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高一数学人教A版

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业11 平面的性质与空间直线、平面的平行 【知识点1 与平面有关的基本事实】 1.与平面有关的基本事实及推论 (1)与平面有关的基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本 事实1 过 的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α (1)确定一个平面； (2)判断两个平面是否重合； (3)证明点、线共面 基本 事实2 如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 ⇒l⊂α 判断直线在平面内 基本 事实3 如果两个不重合平面有 公共点，那么它们有且只有 过该点的公共直线 ⇔α∩β＝l，且P∈l (1)证明“三点共线”“三线共点”； (2)确定两平面的交线 基本 事实4 平行于同一条直线的两条直线 ⇒m∥n 证明线线平行 两角相等或互补的定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 ⇒∠A＝∠A'或∠A＋∠A'＝π 判断或证明两角相等或互补 (2)基本事实2的三个推论 推论 内容 图形 作用 推论1 一条直线和该直线外 确定一个平面 确定平面的依据 推论2 两条 直线确定一个平面 推论3 两条 直线确定一个平面 注意：　三点不一定能确定一个平面.当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面. 【知识点2 空间点、直线、平面之间的位置关系】 类别 位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数 直线与直线 共面 平行 a∥b 个 相交 a∩b＝A 个 异面 a，b异面 个 直线与平面 直线a在 平面α内 a⊂α 无数个，就是直线a上的所有点 直线在平面外 直线a与平面α平行 a∥α⇔ a∩α＝⌀ 个 直线a与平面α相交 a∩α＝A 个 平面与平面 平面α与平面β平行 α∥β⇔ α∩β＝⌀ 个 平面α与平面β相交 α∩β＝l 无数个，就是交线l上的所有点 【知识点3 异面直线判定及异面直线所成的角】 1. 异面直线的判定定理 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线. 2.异面直线所成角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)范围：. 【知识点4 直线与平面平行的性质定理与判定定理】 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面 ，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒l∥a 判定定理 如果平面外一条直线与 的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒l∥α 注意：应用判定定理时，要注意“外”“内”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可. 【知识点5 平面与平面平行的性质定理与判定理】 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面 ，那么 线平行 ⇒a∥b 判定定理 如果一个平面内的两条 与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 注意　三种平行关系的转化 【题型1 平面的基本性质】 1．（25-26高一下·广东茂名·期中）下列条件一定能确定一个平面的是（    ） A．空间三个点 B．空间一条直线和一个点 C．两条相互垂直的直线 D．两条相交的直线 2．（25-26高一下·广西南宁·期中）如果空间四点，，，不共面，那么下列判断正确的是（   ） A．直线与平行 B．直线与相交 C．，，，四点中可以有三点共线 D．，，，四点中不存在三点共线 3．（21-22高一·全国·课后作业）已知为平面，为点，为直线，下列推理中错误的是（    ） A．，则 B．，则直线，直线 C．，则 D．，且不共线，则重合 4．（25-26高一·北京）与正四面体的4个顶点的距离都相等的平面个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．前三个答案都不对 【题型2 异面直线的判断】 1．（25-26高一下·江西）设是正方体的一条对角线，则这个正方体中，面对角线与异面的有（   ） A．0条 B．4条 C．6条 D．12条 2．（25-26高一下·黑龙江牡丹江·阶段检测）如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（    ） ①；②CD与EF是共面直线；③；④GH与EF是异面直线． A．①② B．②③ C．③④ D．①②④ 3．（25-26高一下·浙江嘉兴·期中）如图，在正方体中，分别为棱的中点，有以下四个结论：①直线与是相交直线；②直线与是平行直线；③直线与是异面直线；④直线与是异面直线.其中正确的结论为（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 4．（2025高三·全国·专题练习）在底面半径为1的圆柱中，过旋转轴作圆柱的轴截面，其中母线，是的中点，是的中点，则（    ） A．，与是共面直线 B．，与是共面直线 C．，与是异面直线 D．，与是异面直线 【题型3 异面直线所成的角】 1．（25-26高一下·河南·阶段检测）在正四棱锥中，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·湖南益阳·期中）在正三棱柱中，，设和所成的角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）《几何原本》中称轴截面为正三角形的圆锥为等边圆锥，如图，若，都是等边圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·云南昆明·期中）已知正三棱台的体积为，，，，分别是和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【题型4 四点共面、三点共线、三线共点问题】 1．（19-20高一下·全国·课后作业）如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 2．（25-26高一下·山东泰安·期中）在正方体中，分别为的中点，，，如图. (1)求证：四点共面； (2)作出直线与平面的交点的位置.并给出理由. 3．（25-26高二上·四川达州·期中）如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，G，H分别是BC，BE的中点. (1)证明：D，G，H，F四点共面. (2)证明：直线DG，AB，FH经过同一点. 4．（22-23高二上·上海虹口·阶段检测）如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 【题型5 空间几何体的表面积计算】 1．（25-26高一下·河北·期中）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 2．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）如图，在长方体中，，，点P为棱中点. (1)求证：平面PAC； (2)求异面直线与CP所成角的大小； 3．（25-26高一下·四川遂宁·期中）如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，为侧棱的中点. (1)证明：平面； (2)若是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面. 4．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，为线段上一点，为的中点． (1)当为的中点时，求证：平面． (2)若平面， ①试确定点的位置并说明理由； ②求三棱锥的体积． 【题型6 线面平行的性质定理应用】 1．（25-26高一下·海南·阶段检测）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，以下说法正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则与相交 D．若，，则与至多有一个公共点 2．（25-26高一下·河南濮阳·期中）三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由． 4．（25-26高一下·河北雄安·期中）如图，在正方体中，F，P分别为棱，的中点. (1)设平面平面，求证：． (2)棱上是否存在一点M，使平面DBF?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【题型7 面面平行的判定定理及应用】 1．（25-26高一下·湖南·阶段检测）设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（    ） A．存在无数条直线与，都平行 B．存在无数个平面与，都垂直 C．存在两条平行直线a，b，，，， D．存在两条异面直线a，b，，，， 2．（25-26高一下·广东惠州·期中）设是两条不同的直线，是三个不同的平面 则下列选项正确的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26高一下·吉林长春·期中）如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，、为侧棱上的点，且，点为上的点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． ． 4．（25-26高一下·北京·期中）如图，在正方体 中，为的中点. (1)求证： 平面； (2)取中点，求证：平面平面 (3)求异面直线与所成角的余弦值. 【题型8 面面平行的性质定理及应用】 1．（25-26高一下·四川遂宁·期中）已知两条不同直线，，两个不同平面，，下列命题中正确的是（ ） A．若，，则； B．若，，，，则； C．若，，则； D．若，，，则或与异面 2．（2026·陕西咸阳·二模）已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一下·山西太原·阶段检测）如图所示，已知，GH，GD，HE分别交，于A，B，C，D，E，F，且，，，，则为（    ）． A．90 B．96 C．108 D．144 4．（25-26高一下·黑龙江·期中）如图，，直线与分别交于点和点，且，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 1．（25-26高一下·广东·期中）已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，且，，则 D．若，，，则 2．（25-26高一下·山西忻州·期中）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则；②若，，，则； ③若，，则；④若，，则. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高一下·江苏·期中）在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，以下四个结论中正确的为（    ） A．与平行 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 4．（2027高三·全国·专题练习）在正四棱锥中，为棱上的点，且，设平面与平面的交线为，则异面直线与所成角的正切值为（     ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，α∥β，A，C∈α，B，D∈β，AC与BD为异面直线，AC=6，BD=8，AB=CD=10，AB与CD成60°的角，则异面直线AC与BD夹角的大小是（    ） A．60° B．90° C．45°或60° D．60°或90° 6．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）如图，在正方体中，，，，，分别是，，，，的中点，则下列结论错误的是（    ） A．，，，四点共面 B．平面平面 C．直线与是异面直线 D．直线和所成角的正切值为 7．（2026·北京昌平·二模）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点在正方体的表面上运动，且平面. 则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高一下·河南商丘·期中）在正方体中，棱长为为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·湖北黄冈·阶段检测）（多选题）如图，已知正方体的棱长为2，则（    ） A．直线与为异面直线 B．平面 C．三棱锥的体积为 D．平面过点且平面，则平面截正方体所得截面的图形的面积为 10．（2026·河北保定·三模）（多选题）如图，在棱长均为2 的正三棱柱中，D 为 的中点，则（    ） A． B．异面直线 与 所成角的余弦值为 C．若分别为 上的点，则的最小值为1 D．若点P 在底面上，且平面，则点P的轨迹长度为 11．（26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，在正四棱柱中，，，，分别是棱，，，的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则只需满足条件__________时，就有平面．（注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况） 12．（25-26高一下·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，在平面的射影为，则在翻折过程中，给出下列四个结论：    ①平面； ②与的夹角为定值； ③三棱锥体积最大值为； ④点的轨迹的长度为1. 其中所有正确结论的序号是________. 13．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）如图，正方体的棱长为，，分别是，上的点，且，，是线段上的动点（含端点）． (1)判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出定值；若不是，求三棱锥体积的最小值． (2)当平面时，求的值． 14．（2026高三·全国·专题练习）如图，已知正方形的边长为6，点，分别在边，上，，现将沿线段折起到位置，使得． (1)求五棱锥的体积； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 1．（25-26高一下·江西南昌·期末）如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·北京·阶段检测）在正四棱柱中，，为棱的中点，点为侧面内一动点，且平面，则线段的长度的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 3．（25-26高一下·广东广州·期中）（多选题）如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（   ）    A．存在点Q，使平面MBN B．不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C．三棱锥的体积是定值，为 D．经过C，M，B，N四点的球的表面积 4．（2026·广东汕头·一模）（多选题）如图，在正方体中，点在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．直线平面 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．当直线与直线相交时，交点在靠近的三等分点处 5．（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若三棱柱的体积为，求四棱锥的体积． 6．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为． (1)证明面； (2)当平面时，面与交于，求的值； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业11 平面的性质及空间直线、平面的平行 【知识点1 与平面有关的基本事实】 1.与平面有关的基本事实及推论 (1)与平面有关的基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α (1)确定一个平面； (2)判断两个平面是否重合； (3)证明点、线共面 基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 ⇒l⊂α 判断直线在平面内 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ⇔α∩β＝l，且P∈l (1)证明“三点共线”“三线共点”； (2)确定两平面的交线 基本 事实4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 ⇒m∥n 证明线线平行 两角相等或互补的定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 ⇒∠A＝∠A'或∠A＋∠A'＝π 判断或证明两角相等或互补 (2)基本事实2的三个推论 推论 内容 图形 作用 推论1 一条直线和该直线外一点确定一个平面 确定平面的依据 推论2 两条相交直线确定一个平面 推论3 两条平行直线确定一个平面 注意：　三点不一定能确定一个平面.当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面. 【知识点2 空间点、直线、平面之间的位置关系】 类别 位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数 直线与直线 共面 平行 a∥b 0个 相交 a∩b＝A 1个 异面 a，b异面 0个 直线与平面 直线a在 平面α内 a⊂α 无数个，就是直线a上的所有点 直线在平面外 直线a与平面α平行 a∥α⇔ a∩α＝⌀ 0个 直线a与平面α相交 a∩α＝A 1个 平面与平面 平面α与平面β平行 α∥β⇔ α∩β＝⌀ 0个 平面α与平面β相交 α∩β＝l 无数个，就是交线l上的所有点 【知识点3 异面直线判定及异面直线所成的角】 1. 异面直线的判定定理 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线. 2.异面直线所成角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)范围：. 【知识点4 直线与平面平行的性质定理与判定定理】 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒l∥a 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒l∥α 注意：应用判定定理时，要注意“外”“内”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可. 【知识点5 平面与平面平行的性质定理与判定理】 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ⇒a∥b 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 注意　三种平行关系的转化 【题型1 平面的基本性质】 1．（25-26高一下·广东茂名·期中）下列条件一定能确定一个平面的是（    ） A．空间三个点 B．空间一条直线和一个点 C．两条相互垂直的直线 D．两条相交的直线 【答案】D 【详解】对于A，如果三点共线，则无法确定一个平面，所以A错误； 对于B，如果点在直线上，则无法确定一个平面，所以B错误； 对于C，如果两条直线是异面垂直，则无法确定一个平面，所以C错误； 对于D，由平面的基本性质，两条相交直线可以确定唯一的一个平面，所以D正确. 2．（25-26高一下·广西南宁·期中）如果空间四点，，，不共面，那么下列判断正确的是（   ） A．直线与平行 B．直线与相交 C．，，，四点中可以有三点共线 D．，，，四点中不存在三点共线 【答案】D 【详解】若直线与平行，则空间四点A，B，C，D共面，故A不正确； 若直线与相交，则空间四点A，B，C，D共面，故B不正确； 若A，B，C，D四点中有三点共线，则空间四点A，B，C，D共面，与题设矛盾，故C错误，D正确. 3．（21-22高一·全国·课后作业）已知为平面，为点，为直线，下列推理中错误的是（    ） A．，则 B．，则直线，直线 C．，则 D．，且不共线，则重合 【答案】C 【详解】对于A中，由，根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得，所以A正确；对于B中，由，根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得直线，直线，所以B正确； 对于C中，由，则平面和平面是一条经过点的直线，所以C不正确； 对于D中，由，且不共线，根据过不共线的三点唯一确定一个平面，可得重合，所以D正确.故选：C. 4．（25-26高一·北京）与正四面体的4个顶点的距离都相等的平面个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．前三个答案都不对 【答案】D 【详解】按平面两侧正四面体的顶点数分类．情形一  一侧有1个顶点，另外一侧有3个顶点．此时四个顶点对应的中截面符合要求，共4个．情形二  两侧各有2个顶点，此时两组对棱的四个中点构成的平行四边形所在的平面符合要求，共3个．综上所述，符合题意的平面共有7个．故选：D 【题型2 异面直线的判断】 1．（25-26高一下·江西）设是正方体的一条对角线，则这个正方体中，面对角线与异面的有（   ） A．0条 B．4条 C．6条 D．12条 【答案】C 【详解】 如图，面对角线共有12条，其中与异面的有，，，，，，共计6条. 2．（25-26高一下·黑龙江牡丹江·阶段检测）如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（    ） ①；②CD与EF是共面直线；③；④GH与EF是异面直线． A．①② B．②③ C．③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】利用展开图还原为正方体，找重合的点与重合的棱，根据立体图形判断即可． 【详解】 由图可知，还原正方体后，点C与G重合，点F与B重合，则，故①正确； 可知CD与EF是平行直线，即共面直线，故②正确； AB与EF是相交直线，故③错误；GH与EF是异面直线，故④正确． 3．（25-26高一下·浙江嘉兴·期中）如图，在正方体中，分别为棱的中点，有以下四个结论：①直线与是相交直线；②直线与是平行直线；③直线与是异面直线；④直线与是异面直线.其中正确的结论为（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】A 【详解】因为平面，平面，且，故直线与是异面直线，故①错误；因为平面平面，平面，平面，所以没有公共点， 又，不平行，故不平行，即为异面直线，即四点不共面， 所以直线与也是异面直线，故②错误；因为平面，平面，， 所以直线BN与是异面直线，故③正确；因为平面，但平面，， 所以直线AM与是异面直线，故④正确． 4．（2025高三·全国·专题练习）在底面半径为1的圆柱中，过旋转轴作圆柱的轴截面，其中母线，是的中点，是的中点，则（    ） A．，与是共面直线 B．，与是共面直线 C．，与是异面直线 D．，与是异面直线 【答案】D 【分析】在中计算长度，在中计算长度，进而判定是否相等；由异面直线的判定定理可判断与是异面直线. 【详解】连接，，如图，易知是圆的直径，所以， 又因为是的中点，故， 所以在等腰中，，则， 因为是圆柱的母线，所以平面，又平面， 故，， 所以在中，， 在中，由是的中点得， 故，所以， 可以看到，平面，平面，， 所以与是异面直线． 故选：D． 【题型3 异面直线所成的角】 1．（25-26高一下·河南·阶段检测）在正四棱锥中，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造异面直线所成的角，利用三角形的边角关系求所成角的余弦. 【详解】如图： 取中点，连接，，则，则或其补角为异面直线与所成的角. 不妨设，则中，，，， 所以. 所以异面直线与所成角的余弦为. 2．（25-26高一下·湖南益阳·期中）在正三棱柱中，，设和所成的角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将正三棱柱补成直四棱柱，平移到即可解. 【详解】将正三棱柱补成直四棱柱， 使正三棱柱与正三棱柱全等， 则由直棱柱性质可知，与所成角为（或其补角）； 因为，， 所以， 所以. 3．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）《几何原本》中称轴截面为正三角形的圆锥为等边圆锥，如图，若，都是等边圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，取中点，中点，连接，从而得或其补角为异面直线与所成的角，利用几何关系得的三边长，再由余弦定理，即可求解. 【详解】如图，连接，取中点，中点，连接， 因为是中点，则，，所以或其补角为异面直线与所成的角， 设，因为圆锥是等边圆锥，则，， 又圆面，则，又，，则, 在中，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 4．（25-26高一下·云南昆明·期中）已知正三棱台的体积为，，，，分别是和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【题型4 四点共面、三点共线、三线共点问题】 1．（19-20高一下·全国·课后作业）如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】推导出、、是平面与平面的公共点，由此能证明，，三点共线． 【详解】证明：，，，与，分别在平面的两侧， ，、、、构成一个平面， ，．，， 、、是平面与平面的公共点， 、、都在平面与平面的交线上， ，，三点共线． 2．（25-26高一下·山东泰安·期中）在正方体中，分别为的中点，，，如图. (1)求证：四点共面； (2)作出直线与平面的交点的位置.并给出理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)与的交点R就是所求的交点，理由见解析 【分析】（1）通过证明直线与、分别相交于同一点，得出与相交，从而证明四点共面； （2）先确定平面与平面的交线为，再根据在平面内，得出与平面的交点即为与的交点. 【详解】（1）如图，和在同一个平面内且不平行，故必相交，设交点为O，因为F为的中点，所以且，则；同理直线与也相交，设交点为，则，故与O重合.由此可证得，故D，B，F，E四点共面. （2）设平面为.由于，所以四点共面（设为）. 因为，，所以.又，，所以， 所以.同理可证得，从而有.连接，交于点R， 因为，所以与平面的交点就是与的交点. 所以与的交点R就是所求的交点. 3．（25-26高二上·四川达州·期中）如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，G，H分别是BC，BE的中点. (1)证明：D，G，H，F四点共面. (2)证明：直线DG，AB，FH经过同一点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）连接CE，因为GH是的中位线，所以. 因为ABCD，ABEF是两个全等的矩形， 所以， 所以，则四边形CDEF为平行四边形，从而. 又因为，所以，故D，G，H，F四点共面. （2）由（1）的证明过程知DGHF为梯形，设， 因为平面平面ABEF，所以平面平面ABEF. 又因为，所以，即直线DG，AB，FH经过同一点. 4．（22-23高二上·上海虹口·阶段检测）如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析. 【详解】（1）连接 在长方体中、分别是和的中点 、、、四点共面 （2）确定一个平面 面面对角线与平面交于点面在面与面的交线上面且面面 面 即点共线. （3）延长交于 面面面面面 、、三线共点. 【题型5 空间几何体的表面积计算】 1．（25-26高一下·河北·期中）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【详解】对于A：若，，可能落在平面内，此时不满足，A错误； 对于B：若，，与可能是异面直线，不一定平行，B错误； 对于C：若，，可能落在平面内，此时不满足，C错误； 对于D：该命题就是线面平行的性质定理，D正确. 2．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）如图，在长方体中，，，点P为棱中点. (1)求证：平面PAC； (2)求异面直线与CP所成角的大小； 【答案】(1)证明：如图所示，连接正方形的对角线，交于点，则是的中点， 又是的中点，因此在中，是中位线，故. 又平面，平面，所以平面，得证. (2)（2）由（1）知，因此异面直线与所成角等于与所成的角. 正方形边长为2，故，则； ，，， 在中：； 是中位线，， 故. 在中， ， 因此是直角三角形，， 故： ，得， 即异面直线与所成角的大小为. 3．（25-26高一下·四川遂宁·期中）如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，为侧棱的中点. (1)证明：平面； (2)若是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）如图： 连接，交于，连接，由于分别是的中点，所以，由于平面，平面，所以平面. （2）连接，由于，所以，由于平面，平面， 所以平面.由于平面,平面，所以平面平面， 由于平面，所以平面. 4．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，为线段上一点，为的中点． (1)当为的中点时，求证：平面． (2)若平面， ①试确定点的位置并说明理由； ②求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)①点为上靠近点的三等分点，理由见解析；② 【详解】（1）证明：如图，取的中点为，连接，． 在中，为的中点，为的中点， ，． 在平行四边形中，为的中点， ，， 且， 四边形为平行四边形， ． 平面，平面， 平面． （2）①如图，连接交于点，连接． 平面，平面，平面平面， ． ． 四边形是平行四边形，为的中点， ， ， ，即点为上靠近点的三等分点． ②在四边形中，，，， ． 取的中点，连接． 是正三角形， ，且． 平面平面，且平面平面，平面， 平面． 为上靠近点的三等分点， 点到平面的距离为． 三棱锥的体积． 【题型6 线面平行的性质定理应用】 1．（25-26高一下·海南·阶段检测）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，以下说法正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则与相交 D．若，，则与至多有一个公共点 【答案】D 【详解】对于A，若，，则，可能平行、可能相交、可能异面，A错误. 对于B，若，，则或，B错误. 对于C，若，，，则，可能平行、可能相交、可能异面，C错误. 对于D，若，则与平行或相交，当时，因为，所以与无公共点；当与相交于一点时，因为，所以与至多有一个公共点.综上，D正确. 2．（25-26高一下·河南濮阳·期中）三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接，设，连接. 因为平面，平面平面，平面， 所以. 在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以，即. 所以与相似， 则，又在中，由可得. 所以，即. 3．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为平面，平面，且平面平面， 根据线面平行的性质定理，可得：. (2)取的中点，连接.如图： 因为是中点，所以是的中位线，得，且.由题设，结合（1）中，可得 且，因此四边形是平行四边形，得.又平面，平面，根据线面平行的判定定理，可得：平面. (3)线段上存在点，当是中点时，平面.理由如下： 由，，可得且，因此四边形是平行四边形，得. 又平面，平面，所以平面.结合（2）的结论平面，且，平面，根据面面平行的判定定理，可得平面平面.因为是上动点，平面，根据面面平行的性质，可得平面.因此，线段上存在点，当为中点时满足平面. 4．（25-26高一下·河北雄安·期中）如图，在正方体中，F，P分别为棱，的中点. (1)设平面平面，求证：． (2)棱上是否存在一点M，使平面DBF?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)如图，连接，因为在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，所以． 方法一：因为平面，平面，所以平面．因为平面，平面平面，所以． 方法二：因为平面，平面，所以平面．因为平面，平面平面，所以．所以． 方法三：在正方体中，平面平面，平面平面，平面平面，所以，则． (2)存在，且，理由如下：取的中点G，连接AG，FG， 因为F，G分别为，的中点，所以，，因为，，所以，，所以四边形ABFG为平行四边形，所以，设M为的中点，则，所以.因为平面DBF，平面DBF，所以平面DBF，故存在所求的点M，且. 【题型7 面面平行的判定定理及应用】 1．（25-26高一下·湖南·阶段检测）设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（    ） A．存在无数条直线与，都平行 B．存在无数个平面与，都垂直 C．存在两条平行直线a，b，，，， D．存在两条异面直线a，b，，，， 【答案】D 【详解】A，如图，作长方体，取平面ABCD，平面分别为平面，. 因为，且，且，，则，， 显然可作无数条与平行且不在平面，内的直线，即存在无数条直线与，都平行，但，不平行，错误； B，因为平面与平面，均垂直，且显然可作无数个与平面平行的平面，即存在无数个平面与，都垂直，但，不平行，错误； C，若与相交，可在内取a平行于交线，在内取b也平行于交线， 满足，，，但无法推出，错误； D，异面直线，，，，可在内作出，在内作出， 可得，b是内的相交直线，a，是内的相交直线，且都平行于另一个平面， 根据面面平行判定定理可推出，符合要求. 2．（25-26高一下·广东惠州·期中）设是两条不同的直线，是三个不同的平面 则下列选项正确的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，根据平面平行的传递性可知，若，则，故B正确； 对于C，由，当相交时，可得，当时，可能相交，故C错误； 对于D，若，则或与异面，故D错误. 3．（25-26高一下·吉林长春·期中）如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，、为侧棱上的点，且，点为上的点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明：连接， 在中，因为，所以，且． 又，，所以且，所以四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． (2)证明：由（1）得，又平面，平面，所以平面.在中，因为，所以，所以．又平面，平面，所以平面．又因且，平面，所以平面平面． 4．（25-26高一下·北京·期中）如图，在正方体 中，为的中点. (1)求证： 平面； (2)取中点，求证：平面平面 (3)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）在正方体中，连接交于，连接， 则为的中点，而为的中点，则，又平面，平面，所以平面. （2）由为的中点，为的中点，得，，则四边形为平行四边形，，又平面，平面，于是平面，由（1）知平面，而， 平面，所以平面平面． （3）如图，作，连接则是异面直线与所成的角或其补角， 令正方体的棱长，则，，因此， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【题型8 面面平行的性质定理及应用】 1．（25-26高一下·四川遂宁·期中）已知两条不同直线，，两个不同平面，，下列命题中正确的是（ ） A．若，，则； B．若，，，，则； C．若，，则； D．若，，，则或与异面 【答案】D 【详解】对选项A：根据线面平行的判定定理，平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，才可推出该直线与此平面平行， 该选项未说明，当时也满足且，故A错误； 对选项B：根据面面平行的判定定理，一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，才可推出两平面平行， 该选项未说明与为相交直线，若，则与可能相交，故B错误； 对选项C：若，则与内的直线无公共点，位置关系为平行或异面，不一定平行，故C错误； 对选项D：若，则与无公共点，因此分别在两平面内的直线、也无公共点，无公共点的两条直线位置关系为平行或异面，故D正确. 2．（2026·陕西咸阳·二模）已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，，若，由面面平行的性质知：，所以“”是“”的充分条件； 由，，若，则或与相交， 所以“”是“”的不必要条件．则“”是“”的充分不必要条件. 3．（25-26高一下·山西太原·阶段检测）如图所示，已知，GH，GD，HE分别交，于A，B，C，D，E，F，且，，，，则为（    ）． A．90 B．96 C．108 D．144 【答案】B 【详解】∵平面，平面，且，∴．同理有，又与同向，∴，又，，，∴， 同理，由，，，可得．∴， ∴． 4．（25-26高一下·黑龙江·期中）如图，，直线与分别交于点和点，且，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】因为，直线与分别交于点和点，过点作直线，使得，交于点，所以，所以，故. 1．（25-26高一下·广东·期中）已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，且，，则 D．若，，，则 【答案】D 【详解】若，，，则，或直线m和直线n异面，或直线m和直线n相交，故A错误；若，，，，则当直线m和直线n是两条相交直线时， 当时平面与平面可能相交，故B错误；若，，，且，， 则当直线n在平面外，则，若此时直线m和直线n是两条相交直线， 则由面面平行判定定理可得，当直线n在平面外且，则平面与平面相交，或， 当，则平面与平面相交，故C错误； 若，，，则由线面平行性质定理可得，故D正确. 2．（25-26高一下·山西忻州·期中）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则；②若，，，则； ③若，，则；④若，，则. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】命题①，若，则垂直于内任意一条直线，又，可知在内存在直线与平行，所以，又，所以，①正确；命题②，若，，则，又，所以，②正确；命题③，若，，则与可能相交、异面或，③错误； 命题④，若，，利用线面所成角的性质可得，④正确. 3．（25-26高一下·江苏·期中）在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，以下四个结论中正确的为（    ） A．与平行 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 【答案】D 【详解】连接、： 因为、分别为、的中点，由三角形中位线定理得：，且. 在中，，由平行线分线段成比例定理的逆定理得：，且. 判断与的位置关系： 由且，可知四边形为梯形，、为梯形两腰，必相交且共面，故A（平行）、B（异面）错误. 判断交点的位置： 设，因为平面，故平面；又平面，故平面. 平面与平面的交线为，根据公理3：两个不重合的平面若有公共点，则所有公共点都在它们的交线上，可得，即交点一定在直线上，故C错误，D正确. 4．（2027高三·全国·专题练习）在正四棱锥中，为棱上的点，且，设平面与平面的交线为，则异面直线与所成角的正切值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图， 连接并延长交的延长线于点，则点为平面与平面的公共点，所以即为直线，因为，所以（或其补角）为异面直线与所成的角． 取的中点，连接，则，设，则，，， 所以，所以异面直线与所成角的正切值为. 5．（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，α∥β，A，C∈α，B，D∈β，AC与BD为异面直线，AC=6，BD=8，AB=CD=10，AB与CD成60°的角，则异面直线AC与BD夹角的大小是（    ） A．60° B．90° C．45°或60° D．60°或90° 【答案】B 【详解】 过点作的平行线交平面于点，连接，.，平面，平面，四边形为平行四边形， 又与成60°的角，故或，当时，又为等边三角形，故当时，，又，不合题意； 综上，在中，， 所以（或其补角）为异面直线与所成的角， 故异面直线与所成的角为. 故选：B. 6．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）如图，在正方体中，，，，，分别是，，，，的中点，则下列结论错误的是（    ） A．，，，四点共面 B．平面平面 C．直线与是异面直线 D．直线和所成角的正切值为 【答案】D 【详解】对于A，取中点，连接，由于是的中点，在正方体中可知， 又，，所以四边形为平行四边形，故，因此，故四点共面，故A正确； 对于 B，如图，连接，由于均为中点，所以，，平面，平面，所以平面，同理平面，，平面， 所以平面平面，故B正确； 对于C，假设与不是异面直线，则两直线共面.若与相交，则交点在和上， 平面，与平面仅交于点，而，故与不相交； 若与平行，则平面或平面，这与与平面仅交于点矛盾； 所以与是异面直线，故C正确；对于D，由于，所以， 故为直线和所成角或其补角，不妨设正方体的棱长为，则， 由于底面，平面，所以，所以， 所以直线和所成角的正切值为，故D错误. 7．（2026·北京昌平·二模）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点在正方体的表面上运动，且平面. 则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，取中点，中点，连接，， ，，， 因为点分别是棱的中点，所以，因为为中点，所以，，，所以平面平面，点在平面上运动，又因为点在正方体的表面上运动，所以点在直线，， ，上运动，且为等腰三角形， 求线段的最小值，即求点到平面各边距离的最小值，点到边距离最小， 设点到边的垂足为，则为的中点，所以，所以线段的最小值为. 8．（21-22高一下·河南商丘·期中）在正方体中，棱长为为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在正方体中，延长交于点，连接交于点，如图， 由平面平面，平面平面，平面平面， 得，又，且，因此四边形是等腰梯形，且为平面截正方体的截面.在等腰梯形中，过作，， 所以截面面积. 故选：C 9．（25-26高一下·湖北黄冈·阶段检测）（多选题）如图，已知正方体的棱长为2，则（    ） A．直线与为异面直线 B．平面 C．三棱锥的体积为 D．平面过点且平面，则平面截正方体所得截面的图形的面积为 【答案】ABD 【详解】对于A，∵ 直线平面，与平面交于点，且， ∴ 直线与无公共点且不平行，为异面直线，故A正确；对于B，∵ 正方体中，平面，平面，由线面平行的判定定理可得平面，故B正确；对于C，∵ 正方体棱长为，，三棱锥的高为， ∴ ，故C错误；对于D，∵ 平面平面，结合正方体面面平行的性质，可知平面截正方体所得截面为三角形，该三角形为边长为的正三角形，∴ 截面面积，故D正确. 10．（2026·河北保定·三模）（多选题）如图，在棱长均为2 的正三棱柱中，D 为 的中点，则（    ） A． B．异面直线 与 所成角的余弦值为 C．若分别为 上的点，则的最小值为1 D．若点P 在底面上，且平面，则点P的轨迹长度为 【答案】ABD 【详解】对于A，如下图，连接，易得， 因为平面，平面,所以，又 平面，所以平面，因为平面，所以 ，A正确；对于B，如下图，连接， 由题可得，所以为异面直线与所成的角或其补角，在中，，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为，B正确； 对于C，如下图，若,，分别为,，的中点，连接和， 所以，，所以四边形是平行四边形，又因平面，平面，则，同理可得，因,则，又因，平面,则平面,又平面,则， 因,故，即是异面直线 的公垂线段，故此时的最小值为，C错误；对于D，如图，取的中点，连接，，， 易得 ， ，由线面平行的判定定理可得平面，平面， 又，平面，平面，所以平面平面，因为点在底面上运动，且平面，所以点的轨迹为线段，所以点的轨迹长度为，D正确. 11．（26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，在正四棱柱中，，，，分别是棱，，，的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则只需满足条件__________时，就有平面．（注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况） 【答案】点与点重合（点只要在线段上即可） 【详解】连接，，，如图所示： 则，，且，，平面平面，只需，则平面，平面．故答案为：点与点重合（点只要在线段上即可）. 12．（25-26高一下·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，在平面的射影为，则在翻折过程中，给出下列四个结论：    ①平面； ②与的夹角为定值； ③三棱锥体积最大值为； ④点的轨迹的长度为1. 其中所有正确结论的序号是________. 【答案】①③④ 【详解】取的中点为，连接，如下图所示：    由为的中点，可得，且；又为边的中点，所以，且，即；即可得四边形为平行四边形，所以，又平面，平面,因此平面，①正确；由①可知与的夹角即为与的夹角，由菱形性质及题干条件，可知，，在中，，所以； 因此与的夹角即为的补角，即与的夹角为定值，②错误；结合①②分析可知，当平面时，三棱锥体积最大，此时，③正确； 结合①中的分析可知，点的轨迹与点轨迹相同，在翻折过程中，点由的中点翻折到的中点过程中，其轨迹是以的中点为圆心，为半径的半圆，即点的轨迹是半径为的半圆，所以在平面的射影的轨迹为圆的直径，则点的轨迹的长度为1，④正确. 13．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）如图，正方体的棱长为，，分别是，上的点，且，，是线段上的动点（含端点）． (1)判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出定值；若不是，求三棱锥体积的最小值． (2)当平面时，求的值． 【答案】(1)不是，体积的最小值为(2) 【详解】（1）三棱锥的体积不是定值． 假设三棱锥的体积是定值，则线段上任意每一点到平面的距离都相等，因为平面，所以平面，如图，过点作交于点，连接，由正方体的对角面是矩形，得，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面，取的中点，连接，则为的中点，所以，因为与平面交于点，所以与平面相交，两者矛盾，即假设不成立，所以三棱锥的体积不是定值；由图知，线段在平面的同侧，且在线段的所有点中，到平面的距离最小， 则当与重合时，三棱锥的体积最小，则， 所以三棱锥体积的最小值为； （2）如图，连接，，．由正方体的对角面是矩形，得．因为平面，平面，所以平面，同理，平面，又因为，，平面，所以平面平面，当线段平面时，满足平面， 设，到平面的距离分别为，，则，因为是边长为的等边三角形，则，由，得，解得，由，得，解得，所以． 14．（2026高三·全国·专题练习）如图，已知正方形的边长为6，点，分别在边，上，，现将沿线段折起到位置，使得． (1)求五棱锥的体积； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)存在， 【详解】（1）连接，设，连接． 因为四边形是正方形，，所以是的中点，且，，从而有，，又，平面，所以平面，且平面． 从而平面平面．过点作垂直于且与相交于点，则平面． 因为正方形的边长为6，，故，，所以，所以，则， 所以五棱锥的体积． （2）线段上存在点，使得平面，此时．证明如下：连接，，，，且易知过点．当时，又，所以．又平面，平面，所以平面．又，平面，平面，所以平面． 又，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面． 1．（25-26高一下·江西南昌·期末）如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在棱长为的正方体中，由、分别为、的中点，得，且，由且，得四边形为平行四边形，即，设平面交棱于点，由平面平面，且平面平面，平面平面，得，由为的中点，得为的中点，设直线分别交、的延长线于点P、Q，如图： 连接交棱于点，连接交棱于点，连接、，则截面为六边形. 由，E为的中点，得，又，则为的中点，同理为的中点，六边形是边长为1的正六边形，所以截面面积 故选：A 2．（25-26高一下·北京·阶段检测）在正四棱柱中，，为棱的中点，点为侧面内一动点，且平面，则线段的长度的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】在正四棱柱中，取中点，连接，由四边形是矩形，为棱的中点，得，平面即平面，取中点，连接，则，平面，平面，则平面，而，，于是四边形是平行四边形，，又平面，平面，则平面，而平面，因此平面平面，而平面，则平面，即平面，又点为侧面内一动点，则点的轨迹为线段，由，得，， ，因此等腰的腰上的高等于， 故线段的长度的最小值为. 故选：D 3．（25-26高一下·广东广州·期中）（多选题）如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（   ）    A．存在点Q，使平面MBN B．不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C．三棱锥的体积是定值，为 D．经过C，M，B，N四点的球的表面积 【答案】AC 【详解】对于选项A，若点是的中点，则，又因为,所以.因为面,面所以面.故选项A正确. 对于选项B，当点与重合，此时，, 又因为，所以故四点共面，所以选项B不正确.对于选项C，因为到面的距离即为正方体的棱长，且.所以.故选项C正确.对于选项D，设分别为和的中点，则经过四点的球即为长方体的外接球.因为该长方体的长宽高分别为.所以.所以.故选项D不正确.    4．（2026·广东汕头·一模）（多选题）如图，在正方体中，点在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．直线平面 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．当直线与直线相交时，交点在靠近的三等分点处 【答案】BCD 【详解】 对于A，直线与是正方体对角面的两条对角线，故共面，A错误；对于B，在正方体中，，平面，平面，平面，连接，由正方体的性质可得，因为平面，平面，所以平面. 因为平面,所以平面平面.因为平面，所以平面，故B正确.对于C，如图：在正方体中，易知为等边三角形，则，，或其补角为异面直线与所成角， 则异面直线与所成角的取值范围，故C正确；对于D，连接，记， 在正方体中，平面，平面，， 在正方形中，，，平面，平面，平面，，同理可得：，，平面，平面， 又平面平面.所以平面，设交点为，所以直线与直线相交时，交点为， 又，设正方体棱长为2，得，得，又，所以当直线与直线相交时，交点在靠近的三等分点处，D正确. 5．（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若三棱柱的体积为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析(2)（2）利用三棱柱的几何性质，利用棱柱、棱锥的体积公式，结合已知条件求出底面面积关系，进而求出四棱锥的体积． 【详解】（1） 取棱的中点，连接，分别是棱的中点，，是棱的中点，，，则四边形是平行四边形，故， 分别是棱的中点，且四边形为平行四边形，，，平面，平面，平面． （2）设的面积为，三棱柱的高为，则三棱柱的体积， 从而三棱锥的体积，故四棱锥的体积，设的面积为，的面积为，的面积为，是棱的中点，，四边形的面积是四边形面积的，四棱锥的体积为． 6．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为． (1)证明面； (2)当平面时，面与交于，求的值； 【答案】(1)证明见解析(2) （2）通过相似三角形从而确定动点的位置，进而根据体积之间的比例进行求解； 【详解】（1），平面，平面，面， 面，面面，，面，面，面. （2）如下图所示，连接交于点，连接，作交于， 设，平面，平面，平面平面，， 在梯形中，，，，，，即，可得，故. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $