河北省承德市双滦区实验中学2025-2026学年高一下学期暑假数学专项测试卷（5）立体图形的直观图与简单几何体的表面积与体积

**基本信息** 高一数学暑假专项测试卷，聚焦立体图形直观图与表面积体积，通过基础概念辨析、空间路径探究及综合计算，考查空间观念与几何直观，适配暑假巩固提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|正四棱台性质、棱柱定义、圆锥高、球截面距离|基础概念辨析，如棱台侧棱共点判断| |多选题|3/18|棱柱识别、圆柱截面形状、圆锥侧面展开|多维度空间想象，如圆柱倾斜放置截面| |填空题|3/15|正四棱锥面积、圆柱表面最短路径、正四棱台表面积|空间动态问题，如蚂蚁爬行最短路线| |解答题|5/77|圆台体积表面积、正四棱台侧棱长、圆锥截面最值、正三棱锥内接棱柱、三棱柱侧面展开|综合应用与推理，如内接棱柱侧面积关联相似比|

河北省承德市双滦区实验中学 2025- -2026学年第二学期暑假高一数学专项测试卷（5） 范围：立体图形的直观图与简单几何体的表面积与体积 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．在正四棱台中，下列判断错误的是（     ） A． B．该棱台有条棱 C．，，，四点不共面 D．平面平面 2．下列四个选项中正确的是（    ） A．有两个面平行， 其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B．棱长都相等的直四棱柱是正方体 C．棱台的侧棱延长后交于同一点 D．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 3．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为的扇形，则该圆锥的高为（    ） A． B．4 C． D．3 4．已知球的半径为，球的一个截面圆的周长为，则球心到该截面所在平面的距离为（     ） A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm 5．如图，水平放置的圆台上底半径为1，下底半径为2，高为，一只蚂蚁从底部点沿侧面爬到中点，则它爬行路线的最短长度为（   ）   A． B． C． D． 6．如图，六面体ABCDE的所有棱长均相等，它不能由下面的平面图形围成的是（   ） A．B． C．D． 7．下列说法正确的是（   ） A．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 B．用一个平面去截三棱锥，必得到一个三棱锥和一个三棱台 C．圆台的轴截面不可能为直角梯形 D．用任意一个平面去截球，得到的截面是一个圆 8．正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，侧棱长为2，则该棱台的高为（    ） A． B． C．2 D．3 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．下列几何体中为棱柱的是（    ） A．   B．   C．   D．   10．在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水面可能呈现出的几何形状分别为（    ） A．圆面 B．矩形面 C．椭圆面 D．三角形面 11．已知一圆锥的母线长为2，底面半径为r，其侧面展开图是圆心角为的扇形，A，B为底面圆的一条直径上的两个端点，则（    ） A． B．从A点经过圆锥的侧面到达B点的最短距离为 C．该圆锥的体积为 D．过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知正四棱锥的底面积为3，O为底面正方形ABCD的中心．若，则的面积为________． 13．如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为______. 14．在正四棱台中，，，正四棱台的表面积是__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得圆台的母线长为，两底面面积分别为和.求： （1）圆台的高； （2）圆台的体积； （3）截得此圆台的圆锥的表面积. 16．(本小题15分）如图，正四棱台的高是，上、下底面边长分别为和. (1)求该棱台的侧棱长； (2)求直线与的距离. 17．(本小题15分）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形.如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是4. (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值. 18．(本小题17分）已知正三棱锥，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在正三棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15，底面边长为12，内接正三棱柱的侧面积为120. （1）求三棱柱的高；         （2）求棱柱的上底面截棱锥所得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比. 19．(本小题17分）如图所示，在三棱柱中，底面为正三角形，且侧棱垂直于底面.，，从顶点沿棱柱侧面（经过棱）到达顶点，与的交点记为.求: （1）三棱柱侧面展开图的对角线长； （2）从经过到的最短路线长及此时的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A C A C C A AB ABC 题号 11 答案 AC 1．C 【详解】正四棱台上下底面均为正方形，对应边互相平行，， 又，由平行传递性可得，故A正确； 上底面4条棱、下底面4条棱、侧棱4条，总计条棱，故B正确； 棱台的侧棱延长后会交于同一点，因此，，，四点共面，故C错误； 棱台的定义就是用平行于底面的平面截取棱锥得到，上下底面互相平行， 即平面平面，故D正确． 2．C 【分析】根据棱柱、正方体、棱台、正棱锥的定义对选项逐一分析即可. 【详解】对于A：有两个面平行， 其余各面都是平行四边形的几何体， 不一定满足每相邻两个四边形的公共边都互相平行，所以不一定是棱柱，故A错误； 对于B：直四棱柱是侧棱垂直于底面的四棱柱， 棱长都相等的直四棱柱，其底面不一定是正方形， 可能是其它四边形，所以不一定是正方体，故B错误； 对于C：根据棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台， 由于棱台是由棱锥截得的，所以棱台的侧棱延长后一定交于同一点，故C正确； 对于D：底面是正多边形的棱锥，其顶点在底面的射影不一定是底面中心，所以不一定是正棱锥，故D错误. 3．A 【详解】该圆锥母线长为，扇形弧长（即圆锥底面周长）为， 设圆锥底面半径为，则，解得， 于是圆锥的高． 4．C 【分析】利用球心到截面的距离与球半径以及圆半径构造直角三角形，根据勾股定理解决问题． 【详解】因为截面圆的周长为，则，解得； 因为球半径，设球心到截面所在平面的距离为， 则，即，解得． 5．A 【分析】通过补全圆台进行侧面展开来求得最短路径. 【详解】因为上底半径，下底半径，高， 所以母线. 将圆台补为大圆锥，顶点为，因为，所以，解得. 即大圆锥母线长. 故展开扇形圆心角，图形如下所示：    故为最短路径，. 6．C 【详解】六面体是正三角双锥，由两个全等的正四面体将底面重合拼接而成，所有棱长相等，共5个顶点， 每个顶点恰好连接3条棱（对应汇聚3个面），总共有6个正三角形面。 选项C的展开图中，存在一个公共顶点，该点是4个正三角形的公共顶点，折叠后这个顶点会汇聚4个面、连接4条棱， 不符合该六面体“每个顶点仅连接3条棱”的结构，无法围成题干要求的六面体； A、B、D折叠后均可得到符合要求的六面体． 7．C 【分析】由棱台的概念可判断A，由棱台的核心特征为上下底面平行，可判断B，由圆台的结构特征可判断C，由球的结构特征可判断D. 【详解】选项A：棱台的结构特征为上下底面平行且相似，且所有侧棱延长线交于同一点， 仅满足上下底面平行相似、侧面为梯形的多面体，侧棱延长线未必共点， 不符合棱台定义，故A错误； 选项B：只有当截平面平行于三棱锥底面时，才能截出一个三棱锥和一个三棱台， 若截平面不与底面平行，无法得到三棱台，故B错误； 选项C：圆台由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到，其轴截面为等腰梯形，不可能为直角梯形，故C正确； 选项D：用任意平面截球，得到的截面是圆面，而“圆”仅指圆周这条曲线，故D错误. 8．A 【详解】 如图，过正四棱台上下底面的中心作该棱台的截面，为侧棱，作，垂足为， 则，，， ， 所以， 所以棱台的高为. 9．AB 【分析】本题考查空间几何体的结构特征，主要依据棱柱的定义进行判断。棱柱的定义是：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。 【详解】选项A：前后两个面是互相平行的三角形，其余各面（侧面）都是四边形（矩形），且侧棱互相平行，符合棱柱的定义，是三棱柱，故A正确； 选项B：上下两个面是互相平行的四边形，其余各面（侧面）都是四边形（平行四边形），且侧棱互相平行，符合棱柱的定义，是四棱柱，故B正确； 选项C：侧棱不互相平行（有的长有的短，且方向不同），不符合棱柱侧棱互相平行的特征，故C错误； 选项D：上下底面平行但不全等（大小不同），侧棱延长后交于一点，符合棱台的定义，是四棱台，不是棱柱，故D错误. 10．ABC 【分析】把问题转化成水平面截圆柱的截面问题，可得答案. 【详解】当圆柱桶竖直放置时，圆柱轴线垂直， 水平面与圆柱侧面平行于底面，交线为圆，水面呈圆面，A正确； 当圆柱桶水平放置时，圆柱轴线水平，水平面平行于轴线， 与侧面和底面相交形成矩形，水面呈矩形面，B正确； 当圆柱桶倾斜放置时，圆柱轴线倾斜， 水平面与圆柱侧面相交形成椭圆，水面呈椭圆面，C正确； 三角形面不可能出现，因为圆柱与平面的截面不可能为三角形面. 故选：ABC 11．AC 【分析】根据圆锥的几何性质逐项分析即可. 【详解】由，得，所以A选项正确； 假设该圆锥的轴截面将该圆锥分成两部分，将其中的一部分展开，则其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，所以从A点经过圆锥的表面到达B点的最短距离为，故B选项不正确； 因为，母线长为2，所以该圆锥的高为1，所以其体积为，故C选项正确； 过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面为腰长为2的等腰三角形，设其顶角为，则该三角形的面积为．故当时，，故D选项不正确． 故选：AC. 12． 【分析】利用正四棱锥的性质得为的高，结合底面正方形面积求出对角线的长度，代入三角形面积公式计算即可 【详解】由正四棱锥的性质可知，顶点在底面的投影为底面中心，故平面，因此， 底面为正方形，其面积为3，设正方形边长为， 则，正方形对角线， 因O为底面正方形ABCD的中心，故O为的中点， 因此为等腰三角形，底边上的高为， 由三角形面积公式得：. 13． 【分析】将三角形展开到与三角形共面，分析可知，当共线时取等号，结合余弦定理运算求解. 【详解】由题意知，且，则. 将三角形展开到与三角形共面，记为三角形， 可知共线，则. 可得，当共线时取等号. 又因为， 所以在中，由余弦定理得， 即，所以的最小值为. 14． 【详解】 由题意得，下底面边长，故下底面面积； 上底面边长，故上底面面积， 设侧面等腰梯形的斜高为， ，侧棱长，由勾股定理得斜高, 单个侧面等腰梯形的面积是， 四个侧面总面积， 因此正四棱台的表面积. 15．（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）作出圆台的轴截面示意图，利用圆台上下底面圆的半径以及圆台的母线长计算出圆台的高； （2）根据圆台的体积公式计算出圆台的体积； （3）利用比例关系计算出圆锥的母线长，再根据圆锥的表面积公式即可计算出其表面积. 【详解】（1）圆锥的轴截面示意图如下图所示： 因为圆台的上底面面积为，所以上底面圆的半径， 因为圆台的下底面面积为，所以下底面圆的半径， 所以，所以圆台的高； （2）上下底面的面积为， 所以； （3）设圆锥的母线长为，圆台的母线长为，由上图可知： ，所以， 所以圆锥的侧面积，圆锥的底面积， 所以圆锥的表面积. 【点睛】本题考查圆台的相关计算，难度一般.求解和圆台有关的问题，画出圆台的轴截面示意图是关键，求解圆台所在的圆锥的有关问题，可将圆台轴截面示意图中的两条母线反向延长相交于一点，根据比例关系求解相关值. 16．(1) (2) 【分析】（1）过点、分别在平面内作，，垂足分别为点、，利用勾股定理计算出的长，即可得解； （2）过点、分别在平面内作，，垂足分别为点、，利用勾股定理计算出的长，即可得解. 【详解】（1）解：过点、分别在平面内作，， 垂足分别为点、，如下图所示： 根据正四棱台的性质可知四边形为等腰梯形， 因为四边形为正方形，且，则，同理， 在等腰梯形内，因为，，， 所以，四边形为矩形，所以，，， ，，，所以，， 所以，， 所以，该正四棱台的侧棱长为. （2）解：过点、分别在平面内作，，垂足分别为点、， 在等腰梯形中，，，， 则四边形为矩形，所以，，， ，，，所以，， 则，所以，. 因此，直线与的距离为. 17．(1) (2) 【分析】（1）借助轴截面面积可得其高，即可得其母线长； （2）借助面积公式可得夹角为时，截面面积取最大值. 【详解】（1）轴截面的面积为，所以， 所以圆锥的母线长； （2）在轴截面中，，， ，， 的面积， 当时，截面面积有最大值，最大值为. 18．（1）10或5（2） 或 【分析】（1）设正三棱柱的高为 ，底面边长为 ，根据相似比有，再根据正三棱柱的侧面积为120，有，两式联立求解. （2）根据面积之比等于相似比的平方，结合（1）的结论求解. 【详解】（1）设正三棱柱的高为 ，底面边长为 ，如图所示: 则 解得 又因为正三棱柱的侧面积为120. 所以 所以 解得 或 所以三棱柱的高是10或5. （2）因为面积之比等于相似比的平方， 所以棱柱的上底面截棱锥所得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比：或 . 【点睛】本题主要考查空间几何体中的截面以及相似比、侧面积等问题，还考查了平面与空间的转化求解问题的能力，属于中档题. 19．（1）；（2）最短路线长为，此时. 【分析】（1）沿侧棱将三棱柱的侧面展开，得到矩形，求出该矩形的长和宽，可求出该矩形的对角线长，即为所求； （2）利用侧面展开图可知，当、、三点共线时，从经过到达的路线最短，利用勾股定理可求得最短路线长，利用三角形全等可求得的值. 【详解】（1）沿侧棱将三棱柱的侧面展开，得到一个矩形（如图）. 矩形的长为，宽为. 所以三棱柱侧面展开图的对角线长为； （2）由侧面展开图可知，当、、三点共线时，从经过到达的路线最短. 所以最短路线长为. 且，所以，，， 所以，，所以，， 所以从点经过点到点的最短路线长为，此时. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $