精品解析：河北承德市双滦区实验中学2025-2026学年第二学期高一年级优班4月份数学测试卷

2025--2026学年第二学期高一年级优班4月份数学测试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设，则， . 2. 函数是（ ） A. 非奇非偶函数 B. 仅有最小值的奇函数 C. 仅有最大值的偶函数 D. 既有最大值又有最小值的偶函数 【答案】D 【解析】 【详解】∵，定义域为，又， ∴是偶函数，且不是奇函数， 又，又因为， 所以当时，取得最大值2；当时，取得最小值. 3. 已知向量，满足，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的垂直结合向量数量积的运算公式即可求解. 【详解】由题意得，即， 且，即， ，解得，. 4. 中， ， ， ，则 （ ） A. B. 12 C. 0 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先由勾股定理逆定理判断为直角三角形且为直角，再化简向量表达式结合垂直向量数量积为0求解. 【详解】由题可得，所以由勾股定理逆定理得， 所以，因此， 又因为， 所以. 5. 如图，在平行四边形中，为靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的三角形法则表示即可． 【详解】因为为靠近点的三等分点，所以， 所以． 6. 已知函数的部分图像如图所示，若，则的最小值为（ ） A. B. π C. D. 2π 【答案】B 【解析】 【分析】由图像可知，函数最小正周期为，再把点代入求得，由于，计算出可能取值，再计算出的最小值. 【详解】由图像可知，函数最小正周期为，， ， 把点代入,得 ，, 所以， 又, 所以，， ， 令，得 所以，，或， 所以最小值为. 7. 已知函数 的图象向左平移（ ）个单位长度后关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用平移变换的性质求出结果. 【详解】由题可得， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以，即， 又，所以的最小值是． 8. 某实验室一天的温度(单位：)随时间(单位：)的变化近似满足函数关系，，其中时表示凌晨点．则从上午10点到晚上8点期间，该实验室的温度变化范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用辅助角公式将原函数解析式化简，然后利用余弦函数性质求出函数的值域. 【详解】. 从上午10点到晚上8点期间，，. 余弦函数在上的取值范围是， 因此的取值范围. 因此温度变化范围为. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列说法正确的是（    ） A. 已知向量 ，则“的夹角为钝角”是“ ”的充要条件 B. 已知向量 ，若与共线，则 C. 若向量 ，则在方向上的投影向量坐标为 D. 在中，向量与满足 ，则为等腰三角形 【答案】ABCD 【解析】 【详解】对于A，若的夹角为钝角，则 且两向量不共线，等价于 ，即“的夹角为钝角”是“ ”的充要条件，故A正确； 对于B，若与共线，则 .易得 ，则 ，故B正确； 对于C，在方向上的投影向量坐标为，故C正确； 对于D，都表示单位向量，表示 角平分线方向上的向量， 表示 角平分线方向上的向量与边BC垂直，所以AB=AC，为等腰三角形，故D正确. 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 的最大值为 D. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用向量垂直的坐标表示化简即可判断；对于B，利用向量平行的坐标表示化简即可判断；对于C，利用代入向量的数量积计算即可求解；对于D，利用投影向量公式化简即可求解. 【详解】已知，，，. 选项A：若，则，得，A正确. 选项B：若，则，得，又 ，所以 ，B正确. 选项C：，最大值为，C错误. 选项D：在上的投影向量为，得，，，D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. B. 的定义域为 C. 曲线关于点对称 D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】A选项，，故A正确； B选项，由，解得， 则的定义域为，故B正确； C选项，令，得， 则函数的对称中心为， 令，得，则曲线关于点对称，故C正确； D选项，，故D错误． 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知，，且，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将转化为，然后由两角和与差的正弦公式展开化简，由，利用二倍角公式化简最后求解即可． 【详解】因为，所以， 所以， 化简得：，所以， 又由，可得， 所以，即，所以， 所以，又，， 所以，所以． 13. 已知点，则与向量方向相反的单位向量是_________. 【答案】 【解析】 【详解】由,则，所以与向量方向相反的单位向量是 14. 已知向量，，向量在向量上的数量投影为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为向量，， 所以向量在向量上的数量投影为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量 ，. （1）当 时，证明： ，； （2）当时，证明：为定值. （3）当时，若与的夹角为锐角，求y的取值范围. 【答案】（1）证明：当 时，由，得， 解得， 故 ，. （2）证明：当时， ， 所以为定值. （3） 【解析】 【分析】（1）代入给定参数后，令两向量模相等，构造关于未知数的方程，证明其有实数解即可； （2）将给定参数代入，化简数量积表达式，消去剩余变量，得到与变量无关的常数即可； （3）利用夹角为锐角的充要条件（数量积大于零且不共线），建立不等式组，解出参数的范围即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 当时，，， 因为与的夹角为锐角，所以且与不共线， 则 ，且 ， 解得. 16. ，是平面内两个相互垂直的单位向量，且，，. （1）求，，的坐标； （2）若，求实数m，n的值； （3）若，求实数k的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正交分解写坐标即可； （2）利用向量相等的坐标运算求解； （3）根据向量平行的坐标运算求解． 【小问1详解】 解：，是平面内两个相互垂直的单位向量，不妨取标准正交基为， 则； 【小问2详解】 解：，即， ，解得； 【小问3详解】 解：， ， ，， 解得． 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调增区间； （3）当时，求函数的值域. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简函数，根据最小正周期公式计算即可求解； （2）根据正弦型函数性质列不等式计算即可求解； （3）根据，得，再结合正弦函数性质计算即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以函数的最小正周期为； 【小问2详解】 令，， 解得，， 所以的单调递增区间为. 【小问3详解】 当时，， 因为，所以， 故函数的值域为. 18. 已知函数（，）为奇函数，且的周期为． （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域； （3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：．试确定的值，并求的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）利用正弦函数的周期、奇偶性求得参数的值，从而得到函数的解析式； （2）利用三角函数的图象变换规律，求得函数的解析式，进而求得函数的值域； （3）根据方程并结合正弦函数图象得到方程根的个数，再结合三角函数图象的对称性分组求和即可． 【小问1详解】 因为函数周期，且，所以，解得， 又由函数为奇函数，可得，所以， 又，所以，所以函数. 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当，即时，函数取得最小值，最小值为， 当，即时，函数取得最大值，最大值为， 故函数在区间上的值域为． 【小问3详解】 由方程，即，得， 因为，所以， 设，则，，作出正弦函数的图象如图所示， 由图可知方程在区间上有3个根，所以， 其中，， 即，， 解得：，， 所以． 19. 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，过点作 的垂线，垂足为． （1）请用，表示平行四边形中线段，的长度； （2）请用，表示平行四边形的面积； （3）若，求平行四边形面积的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数定义结合图形即可求得； （2）利用（1）中结论列式即得； （3）借助三角恒等变换公式可用表示出平行四边形面积，结合范围与正弦函数的性质即可得解. 【小问1详解】 由图知，在中，，， 在中，易得，则，则， 所以； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 若，由题意可得， 则 ， 由于，故， 则，所以， 所以平行四边形面积的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025--2026学年第二学期高一年级优班4月份数学测试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数是（ ） A. 非奇非偶函数 B. 仅有最小值的奇函数 C. 仅有最大值的偶函数 D. 既有最大值又有最小值的偶函数 3. 已知向量，满足，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 中， ， ， ，则 （ ） A. B. 12 C. 0 D. 9 5. 如图，在平行四边形中，为靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的部分图像如图所示，若，则的最小值为（ ） A. B. π C. D. 2π 7. 已知函数 的图象向左平移（ ）个单位长度后关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 某实验室一天的温度(单位：)随时间(单位：)的变化近似满足函数关系，，其中时表示凌晨点．则从上午10点到晚上8点期间，该实验室的温度变化范围为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列说法正确的是（    ） A. 已知向量 ，则“的夹角为钝角”是“ ”的充要条件 B. 已知向量 ，若与共线，则 C. 若向量 ，则在方向上的投影向量坐标为 D. 在中，向量与满足 ，则为等腰三角形 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 的最大值为 D. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 11. 已知函数，则（ ） A. B. 的定义域为 C. 曲线关于点对称 D. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知，，且，，则的值为______． 13. 已知点，则与向量方向相反的单位向量是_________. 14. 已知向量，，向量在向量上的数量投影为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量 ，. （1）当 时，证明： ，； （2）当时，证明：为定值. （3）当时，若与的夹角为锐角，求y的取值范围. 16. ，是平面内两个相互垂直的单位向量，且，，. （1）求，，的坐标； （2）若，求实数m，n的值； （3）若，求实数k的值. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调增区间； （3）当时，求函数的值域. 18. 已知函数（，）为奇函数，且的周期为． （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域； （3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：．试确定的值，并求的值． 19. 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，过点作 的垂线，垂足为． （1）请用，表示平行四边形中线段，的长度； （2）请用，表示平行四边形的面积； （3）若，求平行四边形面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $