暑假作业01 平面向量的概念及运算（巩固培优，5知识+7题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高一数学人教A版

**基本信息** 高中数学平面向量专项训练，以“概念-运算-应用”为逻辑主线，融合基础知识点与拓展结论，通过分层题型培养数学抽象、逻辑推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|5大核心知识点|三点共线等价转化、中线公式、重心向量式等8类二级结论|从向量定义、关系到线性运算、数量积，构建“概念生成-原理推导-拓展应用”链条| |题型突破|7类基础题型+综合拔高题|数量积几何意义应用、模长不等式、投影向量计算等技巧|题型与知识点一一对应，覆盖概念辨析、运算推理、几何应用等考法|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业01 平面向量的概念及运算 【知识点1 向量的有关概念】 名称 定义 备注 向量 既有 又有 的量；向量的大小叫作向量的 向量由方向和长度确定，不受位置影响 零向量 长度为 的向量 其方向是任意的，记作 或 单位 向量 模等于 的向量 在非零向量a方向上的单位向量为 . 【知识点2 向量的基本关系】 名称 定义 备注 相等向量 长度 且方向 的向量 向量a与b相等，记作a＝b 两向量只有相等或不相等，不能比较大小 相反向量 长度 且方向 的向量 0的相反向量为0 a的相反向量为－a 共线向量(平行向量) 方向 或 的非零向量，记作a∥b 0与任一向量 (或平行) 向量的夹角 已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，则θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角 当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，a与b垂直，记作 规定 与任一向量垂直 【知识点3 向量的线性运算】 1.向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 2、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在 的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 【知识点4 向量的数量积】 1.向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，向量a与b的夹角∠AOB记为＜a，b＞或θ， 称为a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝cos＜a，b＞＝cos θ. 规定： 与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. 2.平面向量数量积的几何意义 (1)向量的投影： 叫做向量a在b方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． (2) a·b的几何意义：数量积a·b 等于a的长度与b在a方向上射影 的乘积． (3)设a，b是两个非零向量，它们的夹角是，与是方向相同的单位向量，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量在向量上的 ，叫做向量在向量上的 ．记为 或． 3.数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①；②；③． 4.数量积的性质 设都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 (1)． (2)． (3)当同向时，;当反向时，. (4)模长公式：，或. (5)夹角公式．⑤ (6)． 【知识点5 与平面向量运算有关的二级结论（拓展）】 1．若a，b为不共线向量，则a＋b，a－b是以a，b为邻边的平行四边形的对角线向量，如图. 2.三点共线的等价转化 A，P，B三点共线⇔＝λ(λ≠0)⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1). 3.向量的中线公式 若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝＋). 4.三角形重心的向量式 在△ABC中，三角形三边上的中线交于点G，G为△ABC的重心，D为BC的中点，则有如下结论： ①＋＋＝0； ②＝＋)； ③＝＋)＝＋). 5.向量模长不等式 对于任意两个向量a，b，都有｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜. 6.平面向量数量积运算的常用公式 ①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. ②(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. ③(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 7.有关向量夹角的两个结论 已知向量a，b，则 ①若a与b的夹角为锐角，则a·b＞0；若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角或0. ②若a与b的夹角为钝角，则a·b＜0；若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角或π. 8.向量a在向量b上的投影向量为·. 【题型1 平面向量的概念】 1．（25-26高一下·广西河池·期中）下列量中：密度、浮力、温度、风速，其中向量有（   ） A．密度、浮力 B．浮力、温度 C．浮力、风速 D．温度、风速 2．（25-26高一下·上海浦东新·期中）是或的（　　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(多选)（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．零向量的长度是0 B．向量是有向线段 C．若，则 D．若是共线的单位向量，则 4．(多选)（25-26高一下·湖北黄冈·阶段检测）关于平面向量，下列说法正确的（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【题型2 平面向量的线性运算】 1．（25-26高一下·江西抚州·期中）化简：（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·安徽宿州·阶段检测）下列向量运算错误的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·福建福州·三模）在中，点满足，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·上海·期中）若，则_____(用表示)； 【题型3 共线向量定理的应用】 1．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知是两个不共线的向量，若向量，共线，则（   ） A．6 B．4 C． D． 2．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，则下列一定共线的三点是（   ） A．A，B，C B．A，B，D C．B，C，D D．A，C，D 3．（多选）（25-26高一下·江苏苏州·期中）下列说法正确的是（    ） A．已知非零向量与，则与同向是的必要不充分条件 B．是互不重合的三点，若与共线，则三点在同一条直线上 C．与是非零向量，若与同向，则与反向 D．设为实数，若，则与共线 4．（25-26高一下·北京顺义·阶段检测）已知向量与不共线，且，，．若A，B，C三点共线，则______． 5．（25-26高一下·广东广州·期中）设是两个不共线的向量，已知，，． (1)求证：三点共线； (2)若与不共线，试求的取值范围． 【题型4 平面向量的数量积】 1．（2026·四川自贡·模拟预测）已知向量满足，则的值为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 2．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知向量满足，则（    ） A． B．3 C．6 D．9 3．（2026·重庆·模拟预测）已知向量满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 4．（2026·山东·模拟预测）在 中， ， ，则 的值为_____. 5．（25-26高一下·江西南昌·期中）在中，已知，，其中边上的两条中线相交于点． (1)设，求的值． (2)求． 【题型5 平面向量的模长或夹角】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知两个单位向量与的夹角为，设，，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 2．（25-26高一下·北京·期中）已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·福建福州·模拟预测）已知，为两个不共线的单位向量，且与的夹角为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 3．若平面向量，，满足，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）已知平面向量满足且，则向量和向量的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·天津滨海新区·阶段检测）已知与的夹角为. (1)求； (2)求及； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【题型6 投影向量】 1．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知向量在向量上的投影向量的模为2，且，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26高一下·广东佛山·期中）已知向量在向量上的投影向量为，，则（    ） A． B．4 C． D．8 3．（2026·安徽·模拟预测）若，且向量在方向上的投影向量为，则（     ） A．3 B．2 C． D． 4．（25-26高一下·江苏南通·期中）若非零向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为__________． 【题型7 向量的垂直】 1．（2026·福建·模拟预测）已知单位向量，满足，则（   ） A． B．0 C． D． 2．（2026·四川成都·三模）已知向量满足与的夹角为，若，则__________. 3．（2026·河北邢台·三模）已知向量满足，且，则_______________. 4．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知． (1)若，求； (2)若的夹角为，求； (3)若，求与的夹角． 1．（25-26高一下·甘肃兰州·阶段检测）设为平面上四点，，且，则下列结论正确的是（   ） A．点在线段上 B．点在线段上 C．点在线段上 D．四点共线 2．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，在中，为CD上一点，且满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江苏·期中）已知非零向量的夹角为，且满足，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·广东江门·期中）已知向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·安徽宿州·阶段检测）在中，点是的中点，过点的直线分别交射线，于不同的两点，．设，（，），则的最小值（     ） A．2 B．4 C． D．8 6．（25-26高一下·吉林长春·期中）已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则（   ） A． B． C． D． 7．（山西省长治市部分学校2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题）在中，，，，点为的中点，为上的点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高一下·新疆昌吉·期中）设、、是任意的非零向量，且相互不共线，下列命题中不正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D．不与垂直 9．(多选)（25-26高一下·广东·期末）（多选）已知点、、在所在平面内，则（     ） A．若，则点是的外心 B．若，则点是的重心 C．若，则点是的内心 D．若，则是等腰三角形 10．（2026高三·全国·专题练习）设D是的边AB上的点，若，，则______． 11．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）单位圆的内接，满足，则____． 12．（2026·陕西西安·模拟预测）在中，若，，平分交于，则的最大值为______． 13．（25-26高一下·江西南昌·期中）在菱形中，． (1)求的值； (2)若P是线段上的动点，问是否为定值？若是，求该定值；若不是，求的取值范围． 14．（25-26高一下·河南驻马店·期中）如图，在边长为2的正方形中，P是对角线上一点，且，则 (1)求的值 (2)若点M为线段（含端点）上的动点，求的最小值. 1．已知中，，，且的最小值为，若P为边上任意一点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 2．如图，圆的半径为2，为圆的直径，为圆上的两点且.若，则的值为（   ）    A． B． C．2 D．3 3．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）设点在内部，且，则 __________． 4．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）正六边形在中国传统文化中象征着“六合”与“六顺”，这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒，古建筑的窗户，古井口等.已知个边长均为的正六边形的摆放位置如图所示，为正六边形的顶点，是这个正六边形内部（包括边界）的动点，则的最大值为______________ 5．（25-26高一下·北京·期中）如图，在菱形ABCD中，，，以BC为直径的半圆与AB交于点M，P是半圆上的动点，则______；的最大值是______． 6．（25-26高一下·贵州毕节·期中）如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点. (1)若，求实数，的值； (2)若，且满足， ①求实数的值； ②如图2，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，）求的最小值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业01 平面向量的概念及运算 【知识点1 向量的有关概念】 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫作向量的模 向量由方向和长度确定，不受位置影响 零向量 长度为0的向量 其方向是任意的，记作0或 单位 向量 模等于1个单位长度的向量 在非零向量a方向上的单位向量为. 【知识点2 向量的基本关系】 名称 定义 备注 相等向量 长度相等且方向相同的向量 向量a与b相等，记作a＝b 两向量只有相等或不相等，不能比较大小 相反向量 长度相等、方向相反的向量 0的相反向量为0 a的相反向量为－a 共线向量(平行向量) 方向相同或相反的非零向量，记作a∥b 0与任一向量共线(或平行) 向量的夹角 已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，则θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角 当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，a与b垂直，记作a⊥b 规定零向量与任一向量垂直 【知识点3 向量的线性运算】 1.向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 2、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 【知识点4 向量的数量积】 1.向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，向量a与b的夹角∠AOB记为＜a，b＞或θ，称为a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝cos＜a，b＞＝cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. 2.平面向量数量积的几何意义 (1)向量的投影：叫做向量a在b方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． (2) a·b的几何意义：数量积a·b 等于a的长度与b在a方向上射影的乘积． (3)设a，b是两个非零向量，它们的夹角是，与是方向相同的单位向量，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量在向量上的投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为或． 3.数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①；②；③． 4.数量积的性质 设都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 (1)． (2)． (3)当同向时，;当反向时，. (4)模长公式：，或. (5)夹角公式． (6)． 【知识点5 与平面向量运算有关的二级结论（拓展）】 1．若a，b为不共线向量，则a＋b，a－b是以a，b为邻边的平行四边形的对角线向量，如图. 2.三点共线的等价转化 A，P，B三点共线⇔＝λ(λ≠0)⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1). 3.向量的中线公式 若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝＋). 4.三角形重心的向量式 在△ABC中，三角形三边上的中线交于点G，G为△ABC的重心，D为BC的中点，则有如下结论： ①＋＋＝0； ②＝＋)； ③＝＋)＝＋). 5.向量模长不等式 对于任意两个向量a，b，都有｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜. 6.平面向量数量积运算的常用公式 ①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. ②(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. ③(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 7.有关向量夹角的两个结论 已知向量a，b，则 ①若a与b的夹角为锐角，则a·b＞0；若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角或0. ②若a与b的夹角为钝角，则a·b＜0；若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角或π. 8.向量a在向量b上的投影向量为·. 【题型1 平面向量的概念】 1．（25-26高一下·广西河池·期中）下列量中：密度、浮力、温度、风速，其中向量有（   ） A．密度、浮力 B．浮力、温度 C．浮力、风速 D．温度、风速 【答案】C 【解析】密度：仅存在大小，无方向属性，属于标量； 浮力：既有大小，又有固定方向（竖直向上），属于向量； 温度：仅存在大小，无方向属性，属于标量； 风速：既有大小，又有方向（风的流动方向），属于向量. 综上，属于向量的是浮力、风速，对应选项C 2．（25-26高一下·上海浦东新·期中）是或的（　　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若或，则必有，故必要性成立； 若，不一定有或，例如方向不同但模相等的向量，故充分性不成立； 因此是或的必要非充分条件． 3．(多选)（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．零向量的长度是0 B．向量是有向线段 C．若，则 D．若是共线的单位向量，则 【答案】AC 【解析】对于A，由零向量的定义可知，A正确； 对于B，向量可以用有向线段表示，不能说向量是有向线段，B错误； 对于C，由向量相等的定义可知，C正确； 对于D，若是共线的单位向量，则或，D错误． 4．(多选)（25-26高一下·湖北黄冈·阶段检测）关于平面向量，下列说法正确的（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BD 【解析】对于A，向量既有大小，又有方向，因此向量不能比较大小，A错误； 对于B，相等向量是共线向量，B正确； 对于C，当时，可以是任意向量，因此不一定共线，C错误； 对于D，由，，得，D正确. 【题型2 平面向量的线性运算】 1．（25-26高一下·江西抚州·期中）化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 2．（25-26高一下·安徽宿州·阶段检测）下列向量运算错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，根据向量减法的三角形法则，，故A正确； 对于B，根据向量加法的三角形法则，，即，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 3．（2026·福建福州·三模）在中，点满足，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，    . 4．（25-26高一下·上海·期中）若，则_____(用表示)； 【答案】 【解析】. 【题型3 共线向量定理的应用】 1．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知是两个不共线的向量，若向量，共线，则（   ） A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】由向量，共线，设， 而向量不共线，因此，解得，. 2．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，则下列一定共线的三点是（   ） A．A，B，C B．A，B，D C．B，C，D D．A，C，D 【答案】B 【解析】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项，设 ，则 ，即 无解，A错误； 对于B选项， ，所以三点共线，B正确； 对于C选项，设 ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 3．（多选）（25-26高一下·江苏苏州·期中）下列说法正确的是（    ） A．已知非零向量与，则与同向是的必要不充分条件 B．是互不重合的三点，若与共线，则三点在同一条直线上 C．与是非零向量，若与同向，则与反向 D．设为实数，若，则与共线 【答案】ABC 【解析】若与同向，但不一定与相等，，若，则与同向， 且有=，与同向是的必要不充分条件，故A正确. 若与共线，则有，故一定有三点在同一条直线上，故B正确. 若与同向，则与反向，故C正确. 当时，与不一定共线，故D错误. 故选：ABC 4．（25-26高一下·北京顺义·阶段检测）已知向量与不共线，且，，．若A，B，C三点共线，则______． 【答案】 【解析】因为A，B，C三点共线，所以，使得 ， 因为向量与不共线， 所以有，解得，. 5．（25-26高一下·广东广州·期中）设是两个不共线的向量，已知，，． (1)求证：三点共线； (2)若与不共线，试求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【解析】（1）因为 ， 所以与共线． 因为与有公共点，所以三点共线． （2）假设与共线，则存在实数，使． 因为不共线，所以,所以． 因为与不共线，所以． 【题型4 平面向量的数量积】 1．（2026·四川自贡·模拟预测）已知向量满足，则的值为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【解析】因为，所以， 化简得：，所以，则：. 2．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知向量满足，则（    ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【解析】平面向量的夹角为，，， 则向量. 3．（2026·重庆·模拟预测）已知向量满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解析】因为； 故； 又； 故； 将两式相减即可得：；故． 4．（2026·山东·模拟预测）在 中， ， ，则 的值为_____. 【答案】 【解析】取的中点为，连接， 由，所以， 所以在上的投影向量的大小为， 所以. 5．（25-26高一下·江西南昌·期中）在中，已知，，其中边上的两条中线相交于点． (1)设，求的值． (2)求． 【答案】(1);(2)3 【解析】（1）因为是的中点，所以， 又，所以， 因为是的中点，所以， 所以， 因为三点共线，所以，所以. （2）已知，， . 【题型5 平面向量的模长或夹角】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知两个单位向量与的夹角为，设，，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【解析】根据题意可得， 则． 2．（25-26高一下·北京·期中）已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，得， 而，则. 3．（2026·福建福州·模拟预测）已知，为两个不共线的单位向量，且与的夹角为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，因为与的夹角为， 所以，化简可得， 两边同时平方可得，化简可得， 解得或， 因为不共线，即， 所以，则． 3．若平面向量，，满足，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】， 当与同向时取等号， 故选：B 4．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）已知平面向量满足且，则向量和向量的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得， 以及，又因为， 所以， 得， 从而， 同理， 而， 故. 5．（25-26高一下·天津滨海新区·阶段检测）已知与的夹角为. (1)求； (2)求及； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3). 【分析】（1）利用数量积的定义求解. （2）利用数量积的运算律求解. （3）利用向量的夹角公式及共线向量的意义求解. 【解析】（1）由与的夹角为，得. （2）由（1）得， . （3）由向量与的夹角为锐角，得，且向量与不共线， 则，即，解得且， 所以实数的取值范围是. 【题型6 投影向量】 1．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知向量在向量上的投影向量的模为2，且，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】向量在向量上的投影向量的模等于， 已知该模为2，，则有 ，解得. 2．（25-26高一下·广东佛山·期中）已知向量在向量上的投影向量为，，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【解析】因为向量在向量上的投影向量为， 所以. 3．（2026·安徽·模拟预测）若，且向量在方向上的投影向量为，则（     ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】∵向量在方向上的投影向量为， ∴，∴. 4．（25-26高一下·江苏南通·期中）若非零向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为__________． 【答案】 【解析】因为，所以， 解得：，所以， 所以在上的投影向量为. 【题型7 向量的垂直】 1．（2026·福建·模拟预测）已知单位向量，满足，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【解析】依题意， ，即 ， 所以，故． 2．（2026·四川成都·三模）已知向量满足与的夹角为，若，则__________. 【答案】 【解析】因为与的夹角为，所以. 因为，所以， 解得. 3．（2026·河北邢台·三模）已知向量满足，且，则_______________. 【答案】 【解析】∵ ，对等式两边同时平方得. 展开得①， ∵， ∴， 展开得， 整理得②， 将①中的代入②，得， 即，解得， ∴ 4．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知． (1)若，求； (2)若的夹角为，求； (3)若，求与的夹角． 【答案】(1)或；(2)；(3) 【解析】（1）若，则与的夹角为或， 所以 或. （2）若的夹角为， 则 ， 所以． （3）若，则，即， 所以 ，即 ，解得， 又，所以． 1．（25-26高一下·甘肃兰州·阶段检测）设为平面上四点，，且，则下列结论正确的是（   ） A．点在线段上 B．点在线段上 C．点在线段上 D．四点共线 【答案】B 【解析】由，移项可得，即，所以三点共线， 已知，因此与方向相同，且，故点在线段上， 对于A，若点在线段上，需满足，与题设矛盾，故A错误； 对于B，由上述推导可知，点在线段上，故B正确； 对于C，若点在线段上，需满足，与题设范围矛盾，故C错误； 对于D，题干未给出与直线的位置关系，无法判定四点共线，故D错误. 2．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，在中，为CD上一点，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可知， 所以， 因为三点共线，所以，解得. 3．（25-26高一下·江苏·期中）已知非零向量的夹角为，且满足，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，化简得：，即 ，有， 设与的夹角为，，所以. 4．（25-26高一下·广东江门·期中）已知向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于，所以， 即， 又，， 所以. 则向量在向量上的投影向量等于： . 5．（25-26高一下·安徽宿州·阶段检测）在中，点是的中点，过点的直线分别交射线，于不同的两点，．设，（，），则的最小值（     ） A．2 B．4 C． D．8 【答案】A 【解析】由于是的中点，故. 而点在直线上，故， 从而， 当且仅当等号成立. 6．（25-26高一下·吉林长春·期中）已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因，，则， 故 又三点共线，则， 故，又因为是边长为1的正三角形 所以， . 7．（山西省长治市部分学校2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题）在中，，，，点为的中点，为上的点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为中点，故，由于在上，、、三点共线. 根据共线向量的性质，存在实数，使得. 代入得： 结合题设，由平面向量基本定理，对应系数相等. 因此，解得，故. 将代入的表达式，得. 因此 已知，故，，. 因此. . 8．（多选）（25-26高一下·新疆昌吉·期中）设、、是任意的非零向量，且相互不共线，下列命题中不正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D．不与垂直 【答案】ABD 【分析】选项A：根据数量积运算律及平面向量垂直的判定即可判断；选项B：根据向量的数量积即可判断；选项C：通过计算，及平面向量垂直的判定即可判断；选项D：根据平面向量垂直的判定即可判断． 【解析】因为、、是任意的非零向量，且相互不共线， 选项A：由，则， 由不共线，可得，得，故A错误； 选项B：设和的夹角为，则，则，故B错误； 选项C：由，则两边平方得，即，故C正确； 选项D：由， 所以与垂直，故D错误． 9．(多选)（25-26高一下·广东·期末）（多选）已知点、、在所在平面内，则（     ） A．若，则点是的外心 B．若，则点是的重心 C．若，则点是的内心 D．若，则是等腰三角形 【答案】ABD 【解析】对于选项A，已知，由外心定义可得：点是的外心，故正确； 对于选项B，设是中点，由，得，故点是的重心，正确； 对于选项C，由，得，即，同理，，故点是的垂心，故错误； 对于选项D，设，则所在直线为的角平分线，又，则，则，则三角形为等腰三角形，故正确； 故选：ABD． 10．（2026高三·全国·专题练习）设D是的边AB上的点，若，，则______． 【答案】 【解析】∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴，即． 11．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）单位圆的内接，满足，则____． 【答案】 【解析】由题可知，， 则，即， 所以， 所以. 12．（2026·陕西西安·模拟预测）在中，若，，平分交于，则的最大值为______． 【答案】 【解析】设中所对的边为， 因为，且，故，故. 而， 所以， 故， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 13．（25-26高一下·江西南昌·期中）在菱形中，． (1)求的值； (2)若P是线段上的动点，问是否为定值？若是，求该定值；若不是，求的取值范围． 【答案】(1) (2)不是定值； 【解析】（1） ； （2）设， 则 ， ， 因为，所以， 所以不是定值，取值范围为 14．（25-26高一下·河南驻马店·期中）如图，在边长为2的正方形中，P是对角线上一点，且，则 (1)求的值 (2)若点M为线段（含端点）上的动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知：，， 则， ， 所以， 所以. （2）因为点M为线段（含端点）上的动点，设，， 则， ， 其中， 可得 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 1．已知中，，，且的最小值为，若P为边上任意一点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知：设，则， ， 又的最小值为，则的最小值为3， 所以当时，有，又，所以. 设，则， 所以， 当时，有最小值为. 故选：C 2．如图，圆的半径为2，为圆的直径，为圆上的两点且.若，则的值为（   ）    A． B． C．2 D．3 【答案】D 【解析】因为圆 半径 ，， 所以， 因为，所以， 所以 因为， 所以 又因为 ， 代入得， 所以， 即， 又因为 ，所以 故选：D. 3．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）设点在内部，且，则 __________． 【答案】/ 【解析】由，得，在线段上取点，使得， 取点，使点不在直线上，则，点是线段的中点， 因此，所以. 4．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）正六边形在中国传统文化中象征着“六合”与“六顺”，这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒，古建筑的窗户，古井口等.已知个边长均为的正六边形的摆放位置如图所示，为正六边形的顶点，是这个正六边形内部（包括边界）的动点，则的最大值为______________    【答案】 【解析】    如图，过作交延长线（或反向延长线）于点， 则， 因为个正六边形的边长均为，如图，当位于点时，取得最大值， 此时，，， 则此时，即. 5．（25-26高一下·北京·期中）如图，在菱形ABCD中，，，以BC为直径的半圆与AB交于点M，P是半圆上的动点，则______；的最大值是______． 【答案】 3 / 【解析】 如图所示，取中点，连接， 因为四边形是菱形，，， 所以，所以可得是等边三角形，所以. 在中，由余弦定理可得 ， 所以，所以； 如图所示，取中点，连接，交半圆于点， 则，. 所以 ， 因为，所以当，即点与点重合时， 取到最大值1，此时取到最大值. 6．（25-26高一下·贵州毕节·期中）如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点. (1)若，求实数，的值； (2)若，且满足， ①求实数的值； ②如图2，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，）求的最小值. 【解析】（1）因为，所以，所以， 又，且与不共线，由平面向量基本定理得，. （2）①因为，，三点共线，所以存在实数使得， 所以， 因为，所以，所以. 又，所以. 因为与不共线，所以，解得，. ②由①可知，，且，， 所以， 因为，，三点共线，所以，且，， 所以 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $