暑假作业09 三角函数、平面向量与解三角形的综合（巩固培优,7知识7题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高一数学人教A版

**基本信息** 聚焦三角函数、平面向量与解三角形综合，以“概念-性质-公式-应用”为逻辑链，整合7大知识点与6类综合题型，提炼诱导公式口诀、辅助角公式等实用方法，培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数定义与性质|2知识点+图像性质表|诱导公式“函数名不变，符号看象限”|从角的定义到三角函数线，构建定义-符号-图像-性质逻辑| |三角恒等变换|1知识点+公式变形|辅助角公式、降幂升幂公式|平方关系→两角和差→二倍角，形成公式推导链| |平面向量|2知识点+运算表|向量共线坐标表示、数量积性质|线性运算→基本定理→坐标表示，实现几何到代数转化| |解三角形|1知识点+面积公式|正弦/余弦定理变形、面积公式应用|内角和定理→正余弦定理→面积计算，建立边角关系模型| |综合题型|6类题型（含解答题）|跨模块转化（向量→三角、解三角形→三角）|通过“三角函数与向量”“解三角形与向量”等综合题，强化知识交叉应用|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业09 三角函数、平面向量与解三角形的综合 【知识点1 任意角和弧度制及任意角的三角函数】 1．角的定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置 到另一个位置所形成的 ． 2．角的分类 角的分类 3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}． 4．弧度制 定义 把长度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝ 扇形面积公式 S＝lr＝ 5.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 叫做α的正弦，记作sin α 叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三 角 函 数 线 有向线段 为正弦线 有向线段 为余弦线 有向线段 为正切线 【知识点2 三角函数的图像与性质】 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 R 周期性 2π 2π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调递增区间 单调递减区间 对称中心 对称轴方程 【常用结论】 (1)对称性与周期性 ①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期. ②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期. (2)奇偶性 ①若函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z). ②若函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z). ③若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝(k∈Z). 【知识点3 诱导公式】 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限. 符号看象限. 【知识点4 三角恒等变换】 1.恒等式 (1)平方关系: . (2)商数关系: . 2.两角和与差的三角公式 (1)基本公式 ①sin(α±β)= . ②cos(α±β)= . ③tan(α±β)=。 (2)公式变形 ①asin α+bcos α=sin(α+φ),(辅助角公式)其中cos φ=,sin φ=。 或asin x+bcos x=cos(x-θ),其中cos θ=,sin θ=。 ②sin α±cos α=。 ③tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β)。 ④。 ⑤。 3.二倍角公式 (1)基本公式 ①sin 2α=  . ②cos 2α= . ③tan 2α=。 (2)公式变形 ①降幂公式:cos2α=;sin2α=;tan2α=。 升幂公式:cos 2α=2cos2α-1=1-2sin2α。 ②半角公式:sin;cos;tan。 4.积化和差公式： （1）． （2）． （3）． （4） ． 和差化积公式： （1）． （2）． （3）． （4） ． 5.三角形中的三角函数关系 (1)①sin(A+B)=sin C; ②cos(A+B)=-cos C;③sin;④cos。 (2)在△ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B。 【知识点5 平面向量的概念及运算】 1.向量：在数学中,我们把 的量叫做向量. 2.平面向量线性运算 定义 法则(或几 何意义) 运算律 向量的加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝ (2)结合律：(a＋b)＋c＝ 向量的减法 向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量 a－b＝a＋ 向量的数乘运算 实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa (1)方向：当λ＞0时，向量λa与向量a的方向 ；当λ＜0时，向量λa与向量a的方向 ；当λ＝0时，0a＝0 (2)模：｜λa｜＝ 设λ，μ是实数. (1)(λ＋μ)a＝ (2)λ(μa)＝ (3)λ(a＋b)＝ 3.平面向量共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则 ，. （2）向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意． 特别地，若，实数 ． 4．平面向量基本定理 条件 e1和e2是同一平面内两个 的向量 结论 对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使 基 把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基，记为 ____ 5．平面向量运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ a－b＝ ,λa＝ 6.平面向量平行的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当b≠0时向量a，b共线的充要条件是 【知识点6 平面向量的数量积】 1．向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则 就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是： 2．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量 叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 _________叫做向量a在b方向上的投影， _________叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于 3.平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a； (2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝ ； (3)分配律：a·(b＋c)＝ 4．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉． 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 数量积 a·b＝ a·b＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b a·b＝ |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤ |x1x2＋y1y2|≤ 【知识点7 解三角形】 1. 三角形的内角和定理：A+B+C=π，任意两角和为π减去第三角. 2. 正弦定理： （R为三角形外接圆半径）. 3．正弦定理的变形： 4. 余弦定理： 5. 余弦定理的变形： ， 6.三角形面积公式: ，并可由 可由此计算． 【题型1 三角函数与三角变换综合】 1．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知函数的图象关于直线轴对称，且，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 2．（25-26高二上·北京延庆·期中）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·上海闵行·期中）若关于的方程在上恰有两个不同的解，则实数的取值范围是_____． 4．（25-26高二下·湖南郴州·期中）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则的最小值为______． 5.（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）已知函数，． (1)求在的单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)若，，求的值． 【题型2 平面向量与三角变换综合】 1.（25-26高一下·四川成都·期中）设向量，，则（   ） A． B． C． D．2 2.（24-25高一下·江苏镇江·期中）（多选题）已知，，则下列命题正确的有（    ） A． B．若，则与共线 C．若，则 D．的最大值为3 3．（2026·广东·模拟预测（多选题）已知函数（）的部分图象如图所示，其中，，为的图象上的三个点，则下列说法正确的是（    ） A．为函数的一个周期 B． C． D．若，则 4.（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）已知向量，. (1)若，求； (2)若，已知，求. 【题型3 解三角形与三角变换综合】 1．（25-26高三上·江苏·期末）在中，角所对的边分别为，若，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 2．（25-26高一下·天津南开·期中）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，则角____________；若，则面积的取值范围为____________． 3.（25-26高一下·浙江·期中）在中，角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，且的外接圆半径为1，求的面积； (3)若为边上一点，且，求的最大值． 4．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）如图，已知半径为、圆心角为的扇形，为上的动点，求面积的最大值.    5．（25-26高一下·辽宁·期中）在锐角△ABC中，． (1)证明：； (2)求C； (3)若△ABC的内切圆半径为． （i）当△ABC的外接圆半径为时，求△ABC的周长； （ii）求AB的最小值． 【题型4 平面向量与解三角形综合】 1．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若， ，则在方向上的投影数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高一下·吉林长春·期中）在△ABC中，若，且满足，则△ABC的面积等于（    ） A． B．2 C． D．1 3．（2026·江西南昌·模拟预测） 中，已知，则（   ） A．最小值为 B．最小值为 C．最小值为 D．无最小值 4．（25-26高一下·广东广州·期中）如图1，的内角，，的对边分别为，，，直线与的边，分别相交于点，，设，满足． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． (3)用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图2，在锐角中，过点B作与垂直的单位向量，因为，所以．由分配律得，即，也即，请用上述向量方法探究，证明： 【题型7 平面向量与三角变换综合】 1.（2026·山东日照·一模）若向量，记，则（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一下·湖南长沙·月考）已知平面向量，，，其中．则的充要条件为______． 3．（25-26高一下·河北·期中）已知，，，，，． (1)求的值； (2)求的值． 4．（23-24高一下·广东珠海·期中）已知向量， (1)若，求的值； (2)若，求向量在向量上的投影向量的坐标． 5．（25-26高一下·河北邯郸·期中）已知，，，为坐标原点． (1)若，求的值； (2)若，且是第二象限角，设在上的投影向量为，求的坐标． 【题型5 平面向量与三角函数综合】 1．（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）Q为坐标原点，角θ的终边经过点，且则的单位向量为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·吉林长春·期中）已知点C是单位圆劣弧上一点，，以O为原点，OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，则，如图所示.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高一下·浙江·期中）已知向量，若为锐角，则实数的取值范围是__________. 4．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、、为图象与轴的交点，且为等腰直角三角形． (1)化简的解析式并求最小正周期； (2)求在方向上的投影坐标． 【题型6 平面向量、三角函数与解三角形综合】 1.（2025·海南·模拟预测）在中，点为边上一点，已知，则角的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·湖北鄂州·期中）已知函数的部分图象如图所示，，是图象上的两个顶点，为坐标原点，且，则__________.若点分别在曲线上，关于轴上的点对称，且，则点的横坐标为__________. 3．（25-26高一下·上海奉贤·期中）已知向量，，记函数． (1)求函数的最小正周期； (2)在中，若，，求面积的最大值． 4．（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数的部分图象如图所示，是图象的一个最低点，是图象的一个最高点. (1)求函数的解析式： (2)已知也是图象的最低点，且函数与函数图象交于图中点，求. 5．（25-26高一下·上海·期中）设向量，，． (1)求函数在上的最大值、最小值，并写出取得最大值、最小值时x的值； (2)在中，若满足，且边，求周长的最大值． 1．（2026·河南开封·模拟预测）已知的外接圆半径为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一下·河南濮阳·月考）（多选题）已知向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．设函数，则的最大值为2 C．的最大值为 D．若，且在上的投影向量为，则与的夹角为 3．（25-26高一下·海南·阶段检测）已知向量，，且函数． (1)若将函数的图象上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图象向左平移个单位，得到的图象，求函数最小值及对应的的值； (2)若，且，求的值． 4．（2026·四川成都·模拟预测）已知，，． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 1．（2026·河南驻马店·三模）定义变换，变换可以将平面向量逆时针旋转角得到向量，其中，．若将向量按照的变换得到向量；将按照的变换得到向量，则与夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南驻马店·阶段检测）已知向量，，函数． (1)求的最小值； (2)若对任意的，都有解，求实数a的取值范围； (3)设，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围． 3．（25-26高一下·湖北黄冈·期中）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表： 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 已知港口的水的深度随时间（例如“”表示时刻为“3:00”）变化符合函数，其中，， (1)求函数的表达式 (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可），某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米. ①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ ②如果该船是货船，在17:00开始入港卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于天气等原因该船必须在休整四个小时后尽快离开该港口，那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口，（忽略出港所需时间）？ 4．《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，经测量． (1)若，，求的长度； (2)霍尔顿发现无论BD多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； (3)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关（正相关描述的是两个变量之间的一种关系：当一个变量增大时，另一个变量也倾向于增大；反之，当一个变量减小时，另一个变量也倾向于减小），记与，面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求的最大值. 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业09 三角函数、平面向量与解三角形的综合 【知识点1 任意角和弧度制及任意角的三角函数】 1．角的定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 2．角的分类 角的分类 3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}． 4．弧度制 定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 5.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 叫做α的正弦，记作sin α 叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三 角 函 数 线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 【知识点2 三角函数的图像与性质】 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调递增区间 [2kπ－π，2kπ] 单调递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 【常用结论】 (1)对称性与周期性 ①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期. ②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期. (2)奇偶性 ①若函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z). ②若函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z). ③若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝(k∈Z). 【知识点3 诱导公式】 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 -cos α cos α -cos α sin α -sin α 正切 tan α -tan α -tan α 无 无 口诀 函数名不变，符号看象限. 函数名改变， 符号看象限. 【知识点4 三角恒等变换】 1.恒等式 (1)平方关系: sin2α+cos2α=1。 (2)商数关系: tan α=,α≠kπ+(k∈Z)。 2.两角和与差的三角公式 (1)基本公式 ①sin(α±β)= sin αcos β±cos αsin β。   ②cos(α±β)= cos αcos β∓sin αsin β。  ③tan(α±β)=。 (2)公式变形 ①asin α+bcos α=sin(α+φ),(辅助角公式)其中cos φ=,sin φ=。 或asin x+bcos x=cos(x-θ),其中cos θ=,sin θ=。 ②sin α±cos α=。 ③tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β)。 ④。 ⑤。 3.二倍角公式 (1)基本公式 ①sin 2α=2sin αcos α。  ②cos 2α= cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α 。 ③tan 2α=。 (2)公式变形 ①降幂公式:cos2α=;sin2α=;tan2α=。 升幂公式:cos 2α=2cos2α-1=1-2sin2α。 ②半角公式:sin;cos;tan。 4.积化和差公式： （1）． （2）． （3）． （4） ． 和差化积公式： （1）． （2）． （3）． （4） ． 5.三角形中的三角函数关系 (1)①sin(A+B)=sin C; ②cos(A+B)=-cos C;③sin;④cos。 (2)在△ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B。 【知识点5 平面向量的概念及运算】 1.向量：在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量. 2.平面向量线性运算 定义 法则(或几 何意义) 运算律 向量的加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 向量的减法 向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量 a－b＝a＋(－b) 向量的数乘运算 实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa (1)方向：当λ＞0时，向量λa与向量a的方向相同；当λ＜0时，向量λa与向量a的方向相反；当λ＝0时，0a＝0 (2)模：｜λa｜＝｜λ｜｜a｜ 设λ，μ是实数. (1)(λ＋μ)a＝λa＋μa (2)λ(μa)＝(λμ)a (3)λ(a＋b)＝λa＋λb 3.平面向量共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. （2）向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意． 特别地，若，实数仍存在，但不唯一． 4．平面向量基本定理 条件 e1和e2是同一平面内两个不共线的向量 结论 对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基 把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基，记为{e1，e2} 5．平面向量运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1). 6.平面向量平行的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当b≠0时向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 【知识点6 平面向量的数量积】 1．向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]． 2．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积 3.平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a； (2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c． 4．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉． 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤· 【知识点7 解三角形】 1. 三角形的内角和定理：A+B+C=π，任意两角和为π减去第三角. 2. 正弦定理：2R（R为三角形外接圆半径）. 3．正弦定理的变形： 4. 余弦定理： 5. 余弦定理的变形：， 6.三角形面积公式: ，并可由 可由此计算． 【题型1 三角函数与三角变换综合】 1．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知函数的图象关于直线轴对称，且，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】易知 ， 因为函数的图象关于直线轴对称，所以，， 解得，，又，故，可得. 故选：C. 2．（25-26高二上·北京延庆·期中）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 故当，即时，函数取最大值. 故选：C. 3．（25-26高一下·上海闵行·期中）若关于的方程在上恰有两个不同的解，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】若关于的方程在上恰有两个不同的解， 则函数与函数在上有两个交点， 因为， 当时，， 由正弦函数性质可知当，即时，函数单调递增， 当，即时，函数单调递增， 作出函数的图象如下： 由图象可知，实数的取值范围是. 4．（25-26高二下·湖南郴州·期中）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则的最小值为______． 【答案】 【解析】， 则图象向右平移个单位长度后的图象的解析式为： ， 已知关于y轴对称， ，解得， ， 的最小值为． 5.（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）已知函数，． (1)求在的单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)若，，求的值． 【答案】(1)；(2)最大值为，最小值为；(3) 【详解】（1）， 由，解得， 又，所以的单调递减区间为． （2）因为，所以，则， 所以， 所以的最大值为，最小值为． （3）由，所以，所以， 又，所以， 所以， 所以 ． 【题型2 平面向量与三角变换综合】 1.（25-26高一下·四川成都·期中）设向量，，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据数量积公式计算，再利用三角恒等变换化简求值. 【详解】 . 2.（24-25高一下·江苏镇江·期中）（多选题）已知，，则下列命题正确的有（    ） A． B．若，则与共线 C．若，则 D．的最大值为3 【答案】ABD 【解析】对于A：因为，， 所以，，所以，故A正确； 对于B：当时， ，则，所以与共线，故B正确； 对于C：当时，，则， 所以不成立，故C错误； 对于D：因为， 所以 ，所以当， 即时取得最大值，最大值为，故D正确. 故选：ABD 3．（2026·广东·模拟预测（多选题）已知函数（）的部分图象如图所示，其中，，为的图象上的三个点，则下列说法正确的是（    ） A．为函数的一个周期 B． C． D．若，则 【答案】AC 【解析】对于A：函数的最小正周期为，为函数的一个周期，选项A正确. 对于B：函数经过点，代入得，显然点位于图象的增区间上，()，又由于，则，，选项B错误. 对于C：由选项B：，，得，，得. ，，则，选项C正确. 对于D：若，即，则，选项D错误. 4.（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）已知向量，. (1)若，求； (2)若，已知，求. 【答案】(1);(2) 【详解】（1）因为，，， 所以， 所以. （2）因为， 所以由，得， 因为，所以， 所以， 令，则，，， 所以，， 所以. 【题型3 解三角形与三角变换综合】 1．（25-26高三上·江苏·期末）在中，角所对的边分别为，若，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】由正弦定理得，所以， 因为，所以， 又，所以， 因为，所以，所以， 所以的面积. 故选：B 2．（25-26高一下·天津南开·期中）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，则角____________；若，则面积的取值范围为____________． 【答案】 【解析】已知，根据正弦定理，. 因为，且，化简得. 因为是锐角三角形，所以. 因为，所以，即. 因为为锐角三角形，故，解得. 由正弦定理，所以，. 因此面积. 由，得，故， 因此. 3.（25-26高一下·浙江·期中）在中，角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，且的外接圆半径为1，求的面积； (3)若为边上一点，且，求的最大值． 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 又，则， 所以， 即，又，则， 所以， 所以，由，得； （2）由，得， 由，得，可得， 所以． （3）因为， 所以， 在中，由正弦定理得，所以， 又在中，， 所以 ， 因为，所以， 当即时，的最大值为． 4．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）如图，已知半径为、圆心角为的扇形，为上的动点，求面积的最大值.    【解析】连结，设，则.   ， ， 当且仅当时取等号， 故所求面积的最大值为. 5．（25-26高一下·辽宁·期中）在锐角△ABC中，． (1)证明：； (2)求C； (3)若△ABC的内切圆半径为． （i）当△ABC的外接圆半径为时，求△ABC的周长； （ii）求AB的最小值． 【解析】（1）； （2）证明一个引理：． ， 所以 ， 因为≠0，所以，又，所以． （3）不妨记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c． （i）由余弦定理得， 则，所以， 记△ABC内切圆的半径为r， 则， 所以． 所以，由正弦定理得， 故△ABC的周长． （ii）由（i）得， 则， 整理可得，当且仅当时等号成立， 即，解得或， 又，所以，则， 故AB的最小值为6． 【题型4 平面向量与解三角形综合】 1．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若， ，则在方向上的投影数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】由可得, 故, 由于，故， ， 所以在方向上的投影数量为. 2．（25-26高一下·吉林长春·期中）在△ABC中，若，且满足，则△ABC的面积等于（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【解析】由， 则由正弦定理有，即 则由余弦定理有， 又在△ABC中，，则， 又，即， 所以△ABC的面积为． 3．（2026·江西南昌·模拟预测） 中，已知，则（   ） A．最小值为 B．最小值为 C．最小值为 D．无最小值 【答案】A 【解析】设的三个内角所对的边分别为， 由可得， 即， 由余弦定理，得，化简可得， 则， 令，代入则得， 设函数，令，则， 代入可得， ，当且仅当，即时取等号，所以， 即当时，即时，取得最小值. 4．（25-26高一下·广东广州·期中）如图1，的内角，，的对边分别为，，，直线与的边，分别相交于点，，设，满足． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． (3)用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图2，在锐角中，过点B作与垂直的单位向量，因为，所以．由分配律得，即，也即，请用上述向量方法探究，证明： 【解析】（1）因为 ， 所以， 解得， 即， 即， 即， 即， 又 ， ，故. 结合，得. （2）设，， 因为，，， 所以， 即， 解得， 在中，， ， 解得：， 则， 代入，，得到 ， 因为边长，所以. 则的周长为. （3）设，则，与的夹角为， 在中， 因为，所以， 则， 解得. 【题型7 平面向量与三角变换综合】 1.（2026·山东日照·一模）若向量，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以. 2.（25-26高一下·湖南长沙·月考）已知平面向量，，，其中．则的充要条件为______． 【答案】2 【解析】由题可知，，， 显然，不能同时为0，不能同时为0， 所以. 由 ，可得； 由，可得，即得． 故的充要条件为. 3．（25-26高一下·河北·期中）已知，，，，，． (1)求的值； (2)求的值． 【解析】（1）由题知， 由，结合已知， 可得， 所以， 又，所以有． 所以， 则． （2）由（1）知， 所以有， 由（1）可知, 所以， 所以． 又因为， 所以． 所以． 4．（23-24高一下·广东珠海·期中）已知向量， (1)若，求的值； (2)若，求向量在向量上的投影向量的坐标． 【解析】（1）因为向量，，， 所以，即，则. （2）因为，所以，投影向量. 5．（25-26高一下·河北邯郸·期中）已知，，，为坐标原点． (1)若，求的值； (2)若，且是第二象限角，设在上的投影向量为，求的坐标． 【解析】（1）因为，，， 所以，  ， 又，所以，则，即． （2）因为，，所以， 因为，所以，即，． 又是第二象限角，所以，   因为，，所以， 所以． 【题型5 平面向量与三角函数综合】 1．（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）Q为坐标原点，角θ的终边经过点，且则的单位向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点到原点的距离为，则， 由任意角的正弦函数定义，得， 又已知，故. 因为，解得，则得，故向量， 则，故的单位向量为. 2．（25-26高一下·吉林长春·期中）已知点C是单位圆劣弧上一点，，以O为原点，OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，则，如图所示.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，而， 由，得，则， 由，得，因此， 所以的取值范围是. 3.（25-26高一下·浙江·期中）已知向量，若为锐角，则实数的取值范围是__________. 【答案】且 【解析】因为为锐角，所以且， 当时，不同向， 又 将其化为辅助角形式： 于是即 由，得 在这个范围内，所以 两边同时加上，可得 当同向时，，， 又，则，故当不同向时，， 因此且. 4．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、、为图象与轴的交点，且为等腰直角三角形． (1)化简的解析式并求最小正周期； (2)求在方向上的投影坐标． 【解析】（1）， 则点纵坐标为2， 已知为等腰直角三角形，则，即，解得， ，解得， ，最小正周期为8． （2）由函数图象知，点满足：，解得，故， 零点满足，解得， 当时，，即， 当时，， ， ． 【题型6 平面向量、三角函数与解三角形综合】 1.（2025·海南·模拟预测）在中，点为边上一点，已知，则角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在中，点为边上一点，已知， 所以，即， 而，所以，解得. 故选：A. 2．（25-26高一下·湖北鄂州·期中）已知函数的部分图象如图所示，，是图象上的两个顶点，为坐标原点，且，则__________.若点分别在曲线上，关于轴上的点对称，且，则点的横坐标为__________. 【答案】 【解析】 由，得，结合的图象写出坐标. 由，得.因为，所以. 如图，设关于的对称点为，则.因为关于轴上的点对称， 所以，所以关于直线对称，得，即. 又，解得，所以点的横坐标为. 3．（25-26高一下·上海奉贤·期中）已知向量，，记函数． (1)求函数的最小正周期； (2)在中，若，，求面积的最大值． 【解析】（1）因为向量，， 所以 所以函数的最小正周期． （2）由得：，． 因为，所以，因此，解得． 由余弦定理得：， 因为，所以，即（当且仅当时等号成立）． 将代入得：. 所以的面积：， 当且仅当时，面积的最大值为． 4．（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数的部分图象如图所示，是图象的一个最低点，是图象的一个最高点. (1)求函数的解析式： (2)已知也是图象的最低点，且函数与函数图象交于图中点，求. 【解析】（1）由最低点和最高点可知，，则，所以 因为，所以， 将代入上式得， 因为，所以，     所以，即. （2）令，可得， 因为，所以，得，得，则，     因为是图象的最低点，所以   ， 由，得 ， 故. 5．（25-26高一下·上海·期中）设向量，，． (1)求函数在上的最大值、最小值，并写出取得最大值、最小值时x的值； (2)在中，若满足，且边，求周长的最大值． 【解析】（1）， ∵，∴，∴， 则当，即时，； 当时，即时，． （2）解法一：由得，∴， ∵，∴，∴． 由余弦定理得， ∴，即，当且仅当时，等号成立．故周长最大值为． 解法二：由仿上同法求得． 由正弦定理，，∴，． 则周长为 ∴当，即当时，周长取得最大值为． 1．（2026·河南开封·模拟预测）已知的外接圆半径为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正弦定理可得，则，， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以， 故当时，取最大值. 2.（25-26高一下·河南濮阳·月考）（多选题）已知向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．设函数，则的最大值为2 C．的最大值为 D．若，且在上的投影向量为，则与的夹角为 【答案】ABD 【解析】对于A：若，则，所以，故A正确； 对于B：， 所以当，即时取得最大值，最大值为，故B正确； 对于C：因为， 所以， 所以当时取得最大值，最大值为，故C错误； 对于D：在上的投影向量为，所以， 所以， 又，所以，此时，故D正确. 故选：ABD 3．（25-26高一下·海南·阶段检测）已知向量，，且函数． (1)若将函数的图象上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图象向左平移个单位，得到的图象，求函数最小值及对应的的值； (2)若，且，求的值． 【解析】（1）因为，， 所以； 函数的图象上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，得， 再将所得图象向左平移个单位，得； 当，时，即，时，； （2）因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以. 4．（2026·四川成都·模拟预测）已知，，． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 【答案】(1)解析式为；最小正周期为 (2) 【解析】（1）由，， 则， 所以的最小正周期为． （2）由，即，即， 又B为的内角，则，则， 所以，解得， 又，由余弦定理有，得，即， 由均值不等式有，则， 即，即，解得， 当且仅当时取等号，此时为等边三角形， 所以周长的最大值为． 1．（2026·河南驻马店·三模）定义变换，变换可以将平面向量逆时针旋转角得到向量，其中，．若将向量按照的变换得到向量；将按照的变换得到向量，则与夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，， ， , . 2．（24-25高一下·河南驻马店·阶段检测）已知向量，，函数． (1)求的最小值； (2)若对任意的，都有解，求实数a的取值范围； (3)设，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围． 【解析】（1）， 故的最小值为． （2）令，有解，即有解， 因为时，， 所以，故， 因为，故当时，取最小值；当时，取最大值3， 所以， 因为有解，所以实数a的取值范围为． （3）对任意的，总存在，使成立，所以， 由（1）得，所以， 因为， 当时，；当时，， 所以或，解得或， 故实数m的取值范围为或． 3．（25-26高一下·湖北黄冈·期中）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表： 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 已知港口的水的深度随时间（例如“”表示时刻为“3:00”）变化符合函数，其中，， (1)求函数的表达式 (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可），某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米. ①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ ②如果该船是货船，在17:00开始入港卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于天气等原因该船必须在休整四个小时后尽快离开该港口，那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口，（忽略出港所需时间）？ 【解析】（1）由数据可知，，，，， 由，解得，所以. （2）①由题意可得，时就可以进出港， 由，可得， 所以，， 解得，，因为， 因此或，所以该船可以进港， 则可以离港，又在到这段时间内，水深最浅时为， 且该时刻水深为7米，大于6.5米， 所以在同一天安全出港，在港内停留的最长时间是16个小时. ②由题意可得，吃水深度，则要求为，， 当，时，单调递增， 又当时，，则由，，解得， 所以该船应在23时停止卸货，离开港口. 4．《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，经测量． (1)若，，求的长度； (2)霍尔顿发现无论BD多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； (3)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关（正相关描述的是两个变量之间的一种关系：当一个变量增大时，另一个变量也倾向于增大；反之，当一个变量减小时，另一个变量也倾向于减小），记与，面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求的最大值. 【解析】（1）解：在中，，且， 由余弦定理得， 所以，可得，所以 因为，可得，所以， 在直角中，可得. （2）解：在中，由余弦定理得， 即， 同理可得，在中，可得， 即， 所以，整理得， 所以无论多长，此时为定值. （3）解：因为的面积为， 的面积， 所以， 由（2）知，可得， 代入上式得， 根据二次函数的性质得，当时，取得最大值， 最大值为. 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $