河北承德市双滦区实验中学2025-2026学年第二学期高一年级优班4月份数学测试卷

**基本信息** 2025-2026学年高一年级优班4月数学测试卷，以向量、三角函数为核心，通过基础辨析（如函数奇偶性判断）、实际情境（实验室温度变化）及几何动态问题（扇形动点面积），考查数学抽象、逻辑推理与模型应用能力，适配优班阶段性学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|三角函数图像性质、向量数量积|第8题结合温度函数模型，体现数学眼光观察现实世界| |多选题|3/18|向量共线与投影、函数对称性|第9题辨析向量夹角与数量积关系，考查数学思维严谨性| |填空题|3/15|三角恒等变换、单位向量|第14题考查向量数量投影，强化数学语言表达| |解答题|5/77|向量运算、三角函数性质、几何动态问题|第19题扇形动点面积探究，融合几何直观与数学建模，适配高考创新题型趋势|

2025--2026学年第二学期高一年级优班4月份数学测试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．函数是（   ） A．非奇非偶函数 B．仅有最小值的奇函数 C．仅有最大值的偶函数 D．既有最大值又有最小值的偶函数 3．已知向量，满足，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 4． 中， ， ， ，则 （     ） A． B．12 C．0 D．9 5．如图，在平行四边形中，为靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的部分图像如图所示，若，则的最小值为（   ） A． B．π C． D．2π 7．已知函数 的图象向左平移（ ）个单位长度后关于轴对称，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 8．某实验室一天的温度(单位：)随时间(单位：)的变化近似满足函数关系，，其中时表示凌晨点．则从上午10点到晚上8点期间，该实验室的温度变化范围为（    ）． A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．下列说法正确的是（ ） A．已知向量 ，则“的夹角为钝角”是“ ”的充要条件 B．已知向量 ，若与共线，则 C．若向量 ，则在方向上的投影向量坐标为 D．在中，向量与满足 ，则为等腰三角形 10．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．的最大值为 D．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 11．已知函数，则（   ） A． B．的定义域为 C．曲线关于点对称 D． 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知，，且，，则的值为______． 13．已知点，则与向量方向相反的单位向量是_________. 14．已知向量，，向量在向量上的数量投影为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）已知向量 ，. (1)当 时，证明： ，； (2)当时，证明：为定值. (3)当时，若与的夹角为锐角，求y的取值范围. 16．(本小题15分），是平面内两个相互垂直的单位向量，且，，. (1)求，，的坐标； (2)若，求实数m，n的值； (3)若，求实数k的值. 17．(本小题15分）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)当时，求函数的值域. 18．(本小题17分） 已知函数（，）为奇函数，且的周期为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：．试确定的值，并求的值． 19．(本小题17分）如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，过点作的垂线，垂足为． (1)请用，表示平行四边形中线段，的长度； (2)请用，表示平行四边形的面积； (3)若，求平行四边形面积的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C C D B D D ABCD ABD 题号 11 答案 ABC 1．【详解】设，则，. 2．【详解】∵，定义域为，又，∴是偶函数，且不是奇函数， 又，又因为， 所以当时，取得最大值2；当时，取得最小值. 3．【详解】由题意得，即， 且，即，，解得，. 4．【详解】由题可得，所以由勾股定理逆定理得， 所以，因此，又因为，所以. 5．【详解】因为为靠近点的三等分点，所以，所以． 6．【详解】由图像可知，函数最小正周期为，， ，把点代入,得 ，, 所以， 又,所以，， ， 令，得 所以，，或， 所以最小值为. 7．【详解】由题可得， 所以， 因为函数的图象关于轴对称，所以，即， 又，所以的最小值是． 8．【详解】. 从上午10点到晚上8点期间，，. 余弦函数在上的取值范围是， 因此的取值范围.因此温度变化范围为. 9．【详解】对于A，若的夹角为钝角，则 且两向量不共线，等价于 ，即“的夹角为钝角”是“ ”的充要条件，故A正确； 对于B，若与共线，则 .易得 ，则 ，故B正确； 对于C，在方向上的投影向量坐标为，故C正确； 对于D，都表示单位向量，表示 角平分线方向上的向量， 表示 角平分线方向上的向量与边BC垂直，所以AB=AC，为等腰三角形，故D正确. 10．【详解】已知，，，. 选项A：若，则，得，A正确. 选项B：若，则，得，又 ，所以 ，B正确. 选项C：，最大值为，C错误. 选项D：在上的投影向量为，得，，，D正确. 11．【详解】A选项，，故A正确； B选项，由，解得， 则的定义域为，故B正确； C选项，令，得， 则函数的对称中心为， 令，得，则曲线关于点对称，故C正确； D选项，，故D错误． 12．【详解】因为，所以， 所以， 化简得：，所以， 又由，可得， 所以，即，所以， 所以，又，，所以，所以． 13．【详解】由,则，所以与向量方向相反的单位向量是 14．【详解】因为向量，， 所以向量在向量上的数量投影为. 15．【详解】(1)证明：当 时，由，得， 解得，故 ，. (2)证明：当时， ，所以为定值. （3）当时，，， 因为与的夹角为锐角，所以且与不共线， 则 ，且 ，解得. 16．【详解】（1）解：，是平面内两个相互垂直的单位向量，不妨取标准正交基为， 则； （2）解：，即， ，解得； （3）解：，， ，，解得． 17．【详解】（1）因为， 所以函数的最小正周期为； （2）令，，解得，， 所以的单调递增区间为. （3）当时，， 因为，所以，故函数的值域为. 18．【详解】（1）因为函数周期，且，所以，解得， 又由函数为奇函数，可得，所以， 又，所以，所以函数. （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当，即时，函数取得最小值，最小值为， 当，即时，函数取得最大值，最大值为， 故函数在区间上的值域为． （3）由方程，即，得， 因为，所以， 设，则，，作出正弦函数的图象如图所示，    由图可知方程在区间上有3个根，所以， 其中，， 即，，解得：，， 所以． 19．【详解】（1）由图知，在中，，， 在中，易得，则，则， 所以； （2）； （3）若，由题意可得， 则 ， 由于，故， 则，所以， 所以平行四边形面积的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $