第25讲 函数的零点问题·综合测试-2027届高三数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦函数零点问题，整合多地区模拟题，通过选择、填空、解答题梯度设计，系统考查零点个数、参数范围及跨章节应用，强化数学思维与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|14题|涉及零点唯一性、参数范围、极值点个数，结合分段函数、导数应用|函数零点与单调性、极值的关系，方程根与函数图像交点的转化，体现几何直观与抽象能力| |解答题|5题|零点存在性证明、极值点与零点关系、数列与函数结合|导数研究函数性质→零点存在性定理→跨章节知识整合，培养推理意识与模型观念|

第25讲 函数的零点问题 · 综合测试（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 C C C A B 6 7 8 9 10 B C B BCD ACD 11 12 13 14 15 ABCD 、 1、 （1）证明见解析 （2）① ②证明见解析 16 17 18 19 （1） （2）（i） （ii）证明见解析 （1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 （1）证明见解析 （2）证明见解析 （1）单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为 （2） （3）证明见解析， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（2026·浙江北斗星盟·5月联考）已知且，若函数有唯一零点，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为，所以为偶函数. 若函数有唯一零点，则该零点必为. 所以，即. 又因为，所以. 当且仅当，即，解得时，等号成立. 所以的最小值为，故选C. 【点拨】本题考查函数的零点问题，利用函数的奇偶性确定零点位置，再结合基本不等式求最值. 2.（2026·江西八所重点中学·4月联考）已知函数的零点为，函数的零点为，其中，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】. 在上单增，，当时，时，，故. ，即. 令. 故函数在上递增，上递减，则，所以. 【点拨】本题考查函数的零点与导数的综合应用，通过构造函数并利用导数研究其单调性与最值是解题的关键. 3.（2026·江西赣州·一模）已知函数且有三个零点，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】函数且有三个零点，则方程有三个根. 即方程有三个根，即方程有三个根，易知. 所以方程有三个根，所以与函数有三个交点. 当时，，则. 则当时，，当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为. 令得. 又无限趋向于0且时，趋向于负无穷大. 无限趋向于正无穷大时，趋向于0. 当时，，则. 则当时，，当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以的最大值为，令得. 又无限趋向于0且时，趋向于正无穷大. 无限趋向于负无穷大时，趋向于0. 作出与函数的示意图： 由图可知，或，所以或. 所以实数的取值范围是. 【点拨】本题考查函数的零点问题，通过分离参数并构造函数，利用导数研究函数的单调性与极值，结合数形结合思想是解题的关键. 4.（2026·湖北圆创联盟·一模）已知函数. 若存在正实数，使得仅有1个零点，则的值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】的定义域为. . 当时，由，得. 由，得. 函数在上单调递减，在上单调递增. 令，则在上单调递减，在上单调递增. 若仅有1个零点，则，即. 又，即. 代入得，化简得：. 令，则. 所以在上单调递增，且. 所以方程的解为，从而，解得. 【点拨】本题考查利用导数研究函数的零点问题，通过求导确定函数的单调性与极值，再结合极值点处的函数值为零建立方程是解题的关键. 5.（2026·安徽淮北·二模）已知函数. 若方程有两个不同的根，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】函数的导函数. 当时，，单调递增，方程至多有一个实根，不符合题意舍去. 当时，令，解得. 当时，单调递增. 当时，单调递减. 时，时，. 要使方程有两个不同的根则. 即. 所以，即. 令，. 故在上单调递增，又. 所以时，. 综上：的取值范围是. 【点拨】本题考查利用导数研究方程的根的个数问题，通过求导确定函数的单调性与极值，再结合极值小于零建立关于参数的不等式是解题的关键. 6.（2026·广东深圳·一模）已知函数. 若有两个零点，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由于. 若，，，于是在上单调递增，至多与轴只有一个交点，矛盾. 于是，令，则等价于. 易得，因为，则. 令，则在上单调递增，在上单调递减. 则. 因为即，. 所以. 显然不符合题意，故，即. 令，. 则在上单调递增，且. 由于，所以. 由于，令，在上单调递增，则. 于是，. 由零点存在定理，存在使得. 当时，易证，则即. 由于. 取，且，则. 由零点存在定理，存在使得. 所以当时，在上有两个零点. 【点拨】本题考查利用导数研究函数的零点问题，通过求导确定函数的单调性与极值，再结合极值大于零以及端点效应寻找异号区间是解题的关键. 7.（2025·安徽合肥·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为. 则的零点个数为（ 　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】求导得到，根据函数在点处的切线方程为，得到. 把代入得. 因为，所以，即. ，算出. 由前可知，. 令，求导得. 当，，在递减. 当，，在递增. ，，所以存在唯一使，即. 当，，在递减. 当，，在递增，所以. . 又，. 根据零点存在定理，在和各有一个零点，共两个零点. 【点拨】本题考查利用导数研究函数的零点个数，先利用切线方程求出参数，再通过二次求导确定函数的单调性与极值，结合零点存在定理即可得解. 8.（2026·福建泉州·一模）已知函数. 则的极值点个数为（ 　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】因为. 所以. 设，. 所以，其中恒成立. 令，. 则. 因为，所以. 所以当时，，函数单调递减. 当时，，函数单调递增. 当时，，函数单调递减. 又，. ，，. 所以，使得，即. 故对于有. 当时，，函数单调递增. 当时，，函数单调递减. 所以是函数的极大值点，无极小值点，故有且仅有一个极值点. 【点拨】本题考查利用导数研究函数的极值点，通过多次求导并结合三角函数的性质确定导函数的符号变化是解题的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.（2026·安徽淮北·一模）已知实数，函数，数列的前项和为，若，且，则下列结论正确的是（ 　　） A. 当时， B. 若时，，则 C. D. 【答案】BCD 【解析】当时，，则. 所以，. 所以，所以，A错误. 由题可知，因为，所以原不等式等价于. 即. 设，因为，. 令，，. 当时，，所以在上单调递减. ，也即在上单调递减，，所以不符题意. 当时，又，令，解得. 则时，，所以在上单调递减. 又因为，所以必存在，使得时，. 也即在上单调递减，，所以不符题意. 当时，. 则时，，所以在上单调递增. ，也即在上单调递增，，所以符合题意. 综上所述，的取值范围为，B正确. 因为，所以. 即，又. 所以，. 也即当时，. 又，所以，C正确. 由（2）可知，当时，，也即. 令，则. 即. 所以，D正确. 【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，以及数列的递推关系与不等式的证明，综合性较强，需要灵活运用构造函数法和放缩法. 10.（2026·河南南阳·一模）已知函数，函数，则下列结论正确的是（ 　　） A. 若对恒成立，则 B. 若有2个零点，则 C. 若有2个零点，则 D. 若有2个零点，则 【答案】ACD 【解析】当时，，因为，所以，所以，在上单调递增，恒成立. 当时，令，得，则，当时，，在上单调递减，，不合题意. 综上，，的取值范围为.A正确. ，若有2个零点，即方程有2个根. 令，，在上单调递增，在上单调递减，且时，，，解得.B错误. 由（i）知，，，，，即. 要证，即证，. 令，；，在上单调递增，，故.C正确. 对于D，，所以D正确. 【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，以及极值点偏移问题，通过构造函数并利用对数平均不等式的思想是解题的关键. 11.（2026·安徽滁州·一模）我们把称为区间的长度．若函数是定义在区间上的函数，且存在，使得，则称为的自映射区间．已知函数，．则下列结论正确的是（ 　　） A. 若，任取的一个自映射区间，其区间的长度的概率为 B. 若存在自映射区间，则 C. 若存在自映射区间，则 D. 若存在自映射区间，则的长度 【答案】ABCD 【解析】因为恒成立，则在上单调递增，若存在自映射区间，则，即方程，即至少有两个不同实数解. 则的解集为，所以区间的选择共有种. 若，共有6种选择，所以区间的长度的概率为.A正确. 因为在上单调递增，若存在自映射区间，则，即至少有两个零点. 因为时，单调递增；时，单调递减. 若要存在两个零点，则，即. 此时，使得. 因为当时，，即函数单调递减，所以，又，所以，则，使得. 所以的取值范围为.B正确. 因为，所以. 下证：.记，则，则在上单调递增，则，即，即，所以. 所以，所以.C正确. 记，则，时，单调递减；时，单调递增；所以，即，则，即，同理. 因为函数的，且对称轴为，则方程存在两根，且，又，且，所以，则，所以区间的长度.D正确. 【点拨】本题考查新定义“自映射区间”的理解与应用，结合导数研究函数的单调性、极值与零点，以及极值点偏移问题，综合性强，难度较大. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（2024·广东新南方联盟·4月联考）设函数的零点为，则当的取值为__时，的最大值为__. 【答案】、 【解析】. 令，则. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以当时，取得最大值. 【点拨】本题考查函数的零点问题，通过解方程求出零点的表达式，再利用导数求其最大值. 13.（2026·福建厦门·第二次质量检测）若函数恰有两个零点，则的取值范围是__. 【答案】 【解析】设，依题意，即有两个非负实数根. 所以或（舍）. 所以，解得或. 故填. 【点拨】本题考查函数的零点问题，通过换元法将问题转化为一元二次方程根的分布问题，利用判别式或配方法求解. 14.（2026·河北百师联盟·一模）已知函数，若函数，则的所有零点之积为__；方程有三个不同的解，则实数的范围为__. 【答案】1、 【解析】由题，函数的零点即方程的根，作出函数的图象，如图，与的图象共4个交点，从右到左依次是. 当时，，则，得，故，即. 同理，可得，所以，即的所有零点之积为1. 作出函数的图象如图，方程有三个不同的解，即与的图象有三个不同的交点. 当时，，则，设切点为，所以曲线过原点的切线斜率，解得. 所以曲线过原点的切线斜率，要使得与的图象有三个不同的交点，则，即. 所以实数的取值范围为. 【点拨】本题考查函数的零点问题，利用函数的对称性求零点之积，再结合导数的几何意义研究切线斜率，利用数形结合思想求参数范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（2026·河北邯郸·一模）已知函数. （1） 若，证明：. （2） 设有两个零点. ①求的取值范围； ②证明：. 【答案】（1） 证明见解析 （2） ①；②证明见解析 【解析】（1） 证明：因为，所以. 令，则. 当时，单调递增，当时，单调递减， 则，则. 5 分 （2） ①解：由，可得. 令，则. 令，显然在上单调递增，且， 则当时，单调递减，当时，单调递增， 则.当时，，且当时，. 因为，所以由有两个零点，可知的取值范围为. 10 分 ②证明：由①可知，，要证，需证， 即，即. 令，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 则，即， 则. 令，则， 则在上单调递减，则，从而. 15 分 【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，以及函数的零点问题，通过分离参数并构造函数，利用导数研究其性质是解题的关键. 16.（2026·河南湘豫名校·5月预测）已知函数. （1） 若时，恒成立，求实数的最大值. （2） 当时，有两个极值点，且. （i） 用表示； （ii） 证明：所有零点之和大于. 【答案】（1） 2 （2） （i） ；（ii） 证明见解析 【解析】（1） 由题易得，所以当时，，所以. 而，所以，可得. 当时，令，得. 所以函数有两个零点，且. 又函数图象的对称轴，所以当时，. 即在上单调递增，所以存在，使得，矛盾. 以下证的充分性：， ，所以为减函数，. 故的最大值为2. 5 分 （2） （i） 由（1）知. 令，即，可得的两个极值点. 9 分 （ii） 因为，当时，，又分别为的单调递减、单调递增、单调递减区间. 当时，；当时，， 所以在区间上分别有一个零点. 因为，则. 所以.易知在上单调递减，且， 所以. 15 分 【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，以及函数的零点问题，通过求导确定函数的单调区间，结合零点的性质进行代数变形是解题的关键. 17.（2026·河南百师联盟·5月联考）已知函数有两个不同的零点. （1） 证明：； （2） 当时，求的最大值； （3） 若，数列满足，证明：. 【答案】（1） 证明见解析 （2） （3） 证明见解析 【解析】（1） 的定义域为，. 由得，由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时，， 要使有2个零点，只需，所以，即，得证. 4 分 （2） 由已知得. 设，由，可得. 将代入，得， 结合，可得. 设，则. 设，则， 因为，所以在上单调递增，. 所以在上单调递增，则， 即的最大值为. 9 分 （3） 由题意知. 设函数，则， 由不等式可知，所以在上单调递增. 所以，以此类推，可得. 从而， 整理得， 所以当时，， 所以（仅当时等号成立）. 于是. 15 分 【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，以及数列的递推关系与不等式的证明，综合性较强，需要灵活运用极值点偏移的处理方法和放缩法. 18.（2026·湖北黄冈·4月调研）已知函数. （1） 证明：的导函数有且仅有一个极值点； （2） 证明：的所有零点之和大于. 【答案】（1） 证明见解析 （2） 证明见解析 【解析】（1） 证明：因为， 所以. 设，，所以，其中恒成立， 令，， 则， 因为，所以， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减； 又，， ，，， 所以，使得，即， 故对于有， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以是函数的极大值点，无极小值点，故有且仅有一个极值点. 7 分 （2） 证明：因为函数，其导函数， ，使得当时，单调递增，当时，函数单调递减， 又，所以， 因为，所以，所以， 又，故，使得，，使得， 于是可得：当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又，，故， 则，，所以存在使得， 所以，又，所以， 则存在使得，又，所以函数在区间上无零点； 故函数在上有两个零点，且， 由可得：， 所以， 又， 所以， 根据，可得：， 并且函数在上单调递减，所以，即， 故的两个零点之和大于. 15 分 【点拨】本题考查利用导数研究函数的极值点与零点，通过多次求导确定导函数的符号变化，再结合三角函数的性质和零点存在定理是解题的关键. 19.（2026·安徽师大附中·适应性检测）已知函数. （1） 求函数的单调区间与最小值； （2） 若，且有两个不同的零点，求实数的取值范围； （3） 设，且，证明：，并求使不等式恒成立的最大整数. 【答案】（1） 单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为 （2） （3） 证明见解析， 【解析】（1） 可知， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，取得极小值， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为. 4 分 （2） 若，则， 令，得， 令，依题意与有两个不同的交点， ，令， 因为和均为减函数，所以也是减函数，又， 所以当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 在处取得极大值也即最大值， 且当时，，当时，， 由图像可知实数的取值范围为. 9 分 （3） 证明：原不等式两边取对数得， 依题意，令， 当时，， 所以即在上单调递增， 令，则， 由前述分析可知当时，即，递减； 当时，即，递增， 所以在取得最小值， 从而即在上恒成立， 代入并求和得，证毕； 对不等式两边取对数得， 两边再除以得，依题意该不等式对所有正整数成立， 令，则有，解得，所以整数， 接下来证明时不等式恒成立，令， 则， 令得， 当时，当时， 因此对于所有正整数，只能在或处取得最小值， 已知，对于， 先证明一个不等式， 令，则， 在上单调递增，从而，故不等式成立， 因此，故， 所以最大整数. 15 分 【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，以及不等式的证明，通过构造函数并利用切线放缩法是解题的关键. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25讲 函数的零点问题 · 综合测试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（2026·浙江北斗星盟·5月联考）已知且，若函数有唯一零点，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 2.（2026·江西八所重点中学·4月联考）已知函数的零点为，函数的零点为，其中，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 3.（2026·江西赣州·一模）已知函数且有三个零点，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 4.（2026·湖北圆创联盟·一模）已知函数. 若存在正实数，使得仅有1个零点，则的值为（ 　　） A. B. C. D. 5.（2026·安徽淮北·二模）已知函数. 若方程有两个不同的根，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 6.（2026·广东深圳·一模）已知函数. 若有两个零点，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 7.（2025·安徽合肥·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为. 则的零点个数为（ 　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8.（2026·福建泉州·一模）已知函数. 则的极值点个数为（ 　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.（2026·安徽淮北·一模）已知实数，函数，数列的前项和为，若，且，则下列结论正确的是（ 　　） A. 当时， B. 若时，，则 C. D. 10.（2026·河南南阳·一模）已知函数，函数，则下列结论正确的是（ 　　） A. 若对恒成立，则 B. 若有2个零点，则 C. 若有2个零点，则 D. 若有2个零点，则 11.（2026·安徽滁州·一模）我们把称为区间的长度．若函数是定义在区间上的函数，且存在，使得，则称为的自映射区间．已知函数，．则下列结论正确的是（ 　　） A. 若，任取的一个自映射区间，其区间的长度的概率为 B. 若存在自映射区间，则 C. 若存在自映射区间，则 D. 若存在自映射区间，则的长度 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（2024·广东新南方联盟·4月联考）设函数的零点为，则当的取值为__时，的最大值为＿＿＿＿＿＿. 13.（2026·福建厦门·第二次质量检测）若函数恰有两个零点，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 14.（2026·河北百师联盟·一模）已知函数，若函数，则的所有零点之积为__；方程有三个不同的解，则实数的范围为＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（2026·河北邯郸·一模）已知函数. （1） 若，证明：. （2） 设有两个零点. ①求的取值范围； ②证明：. 16.（2026·河南湘豫名校·5月预测）已知函数. （1） 若时，恒成立，求实数的最大值. （2） 当时，有两个极值点，且. （i） 用表示； （ii） 证明：所有零点之和大于. 17.（2026·河南百师联盟·5月联考）已知函数有两个不同的零点. （1） 证明：； （2） 当时，求的最大值； （3） 若，数列满足，证明：. 18.（2026·湖北黄冈·4月调研）已知函数. （1） 证明：的导函数有且仅有一个极值点； （2） 证明：的所有零点之和大于. 19.（2026·安徽师大附中·适应性检测）已知函数. （1） 求函数的单调区间与最小值； （2） 若，且有两个不同的零点，求实数的取值范围； （3） 设，且，证明：，并求使不等式恒成立的最大整数. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $