第47讲 空间点、线、面的位置关系·综合测试-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦空间点线面位置关系，通过多题型综合训练构建线线、线面、面面关系的转化逻辑，强化空间观念与推理论证能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |位置关系判定|单选1-8+多选9-10|命题真假判断（含充分必要条件）|线线→线面→面面关系的判定定理与性质定理应用| |空间角计算|填空12-14|异面直线/线面角计算（正方体/正四面体模型）|空间角与垂直关系的转化（几何法/定义法）| |面面垂直证明|解答15-16|翻折/四面体中面面垂直证明|平面几何性质与空间垂直判定的结合| |动态问题探究|解答18-19|动点探究（线面角/二面角最值）|空间动态问题中不变量与变量的逻辑分析|

第47讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 · 综合测试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（2026·安徽阜阳·一模）已知是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2.（2026·山东青岛·一模）已知平面，为两个不同的平面，直线为内一条直线，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.（2025·江苏苏锡常镇·一模）在空间中，过点作平面的垂线，记垂足．设两个不同平面，，对任意一点，，，恒有成立，则（　　） A. B. 的夹角为 C. 的夹角为 D. 4.（2026·河北邯郸·一模）在下列四个正方体中，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线平面的是（　　） A. B. C. D. 5.（2026·广东深圳·二模）已知直线，平面，满足，则下列命题一定正确的是（　　） A. 存在，使得相交 B. 存在，使得 C. 存在，使得的夹角为 D. 存在，使得 6.（2026·福建福州·二模）设是两个不重合的平面，则的充要条件是（　　） A. 存在无数条直线与都平行 B. 存在无数个平面与都垂直 C. 对任意的直线，都存在直线，使得 D. 对任意的直线，都存在直线．使得 7.（2026·湖南永州·二模）已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，且，，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.（2026·江苏前黄中学·检测）设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（2026·广东中山·二模）已知直线与平面相交于点，则（　　） A. 内不存在直线与平行 B. 内有无数条直线与垂直 C. 内所有直线与是异面直线 D. 至少存在一个过且与垂直的平面 10.（2026·江西“三新”·检测）若是空间中互不重合的三条直线，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11.（2026·湖北孝感·二模）如图，四面体中，平面，，垂足为，，垂足为，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则平面 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.如图, 在正方体中, 点分别是棱的中点, 则异面直线与所成角的大小为＿＿＿＿＿＿. 13.已知正四面体中,是的中点, 则异面直线与所成角的大小为＿＿＿＿＿. 14.在棱长均相等的四面体中，为棱(不含端点) 上的动点，过点的平面与平面平行. 若平面与平面，平面的交线分别为，，则，所成角的正弦值的最大值为＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（2026·安徽A10联盟·检测）已知等腰梯形与等腰梯形如图1所示，其中，过点作，垂足为.现沿进行翻折，使得点在平面内的投影为点，连接，得到的图形如图2所示. （1）求证：平面平面； （2）在图1中，若，，求图2中直线与平面所成角的正弦值. 16.（2026·江苏苏锡·一模）如图，在四面体中，，，点为棱的中点，点为棱上的动点． （1）求证：平面平面； （2）已知二面角的大小为，当直线与平面所成角的正弦值的最大值为时，求此时四面体的体积． 17.（2026·湖南永州·二模）如图，是半圆的直径，是上的两个三等分点，点在底面上的射影为的中点． （1）当时，求点到平面的距离； （2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值． 18.（2026·山东东营·一模）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，、、分别为棱、、上的点. （1）若，，证明：； （2）若、分别为棱，的中点，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成角为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 19.（2026·安徽合肥·三模）如图，在四棱锥中，底面是菱形，底面，是的中点，点满足，，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的正切值． 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第47讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 · 综合测试（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 C B D D D 6 7 8 9 10 C D C ABD AD 11 12 13 14 15 BC （1）证明见解析 （2） 16 17 18 19 （1）证明见解析 （2） （1） （2） （1）证明见解析 （2）存在，或 （1）证明见解析 （2） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（2026·安徽阜阳·一模）已知是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】对于A，取与相交，设交线为，，但与不平行，故A错误. 对于B，若，则或，故B错误. 对于C，若，则可得，又因，且是不同的平面，所以可得，故C正确. 对于D，若，如果或，则不能判断，故D错误. 【点拨】本题考查空间中线面、面面位置关系的判断，熟练掌握相关判定定理与性质定理是解题关键. 2.（2026·山东青岛·一模）已知平面，为两个不同的平面，直线为内一条直线，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为，若，则由线面平行的性质可知，故“”是“”的必要条件. 设，，显然，从而有成立，但此时不平行. 所以故“”是“”的不充分条件. 即“”是“”的必要不充分条件. 【点拨】本题考查空间线面、面面平行的判定与性质，结合充分条件与必要条件的定义进行判断即可. 3.（2025·江苏苏锡常镇·一模）在空间中，过点作平面的垂线，记垂足．设两个不同平面，，对任意一点，，，恒有成立，则（　　） A. B. 的夹角为 C. 的夹角为 D. 【答案】D 【解析】如图： 设，则. 设，则. 因恒成立，所以两点重合. 所以四边形为矩形. 且为平面所成二面角的平面角. 所以. 【点拨】本题考查空间中点到平面的投影以及面面垂直的判定，通过画出草图分析投影点的几何特征即可得解. 4.（2026·河北邯郸·一模）在下列四个正方体中，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线平面的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】对于D，如图，记为正方体所在棱的中点，连接.易得，且平面平面，所以平面平面，则平面平面，则直线平面.选项A,B,C均不满足直线平面. 【点拨】本题考查线面平行的判定，通过构造平行平面或寻找线线平行关系即可得出结论. 5.（2026·广东深圳·二模）已知直线，平面，满足，则下列命题一定正确的是（　　） A. 存在，使得相交 B. 存在，使得 C. 存在，使得的夹角为 D. 存在，使得 【答案】D 【解析】对于选项A，若，任意直线，不相交，矛盾. 对于选项B，若与相交，不存在直线，使得，矛盾. 对于选项C，若，任意直线，，矛盾. 对于选项D，若，任意直线，. 若，存在直线，，令，则. 若与相交，存在平面，，，令，则，D正确. 【点拨】本题考查空间中直线与平面位置关系的综合判断，需分类讨论直线与平面平行、相交、垂直的情况. 6.（2026·福建福州·二模）设是两个不重合的平面，则的充要条件是（　　） A. 存在无数条直线与都平行 B. 存在无数个平面与都垂直 C. 对任意的直线，都存在直线，使得 D. 对任意的直线，都存在直线．使得 【答案】C 【解析】 如上图，作长方体，取平面，平面分别为平面. 对于A，因，且，且，则. 显然可作无数条与平行且不在平面的直线，即存在无数条直线与都平行，但不平行，故A错误. 对于B，因平面与平面均垂直，且显然可作无数个与平面平行的平面. 即存在无数个平面与都垂直，但不平行，故B错误. 对于D，由上图，显然，且，在平面内作一条与垂直相交的直线. 则，从而对平面内的任意直线，都有. 即对任意的直线，都存在直线．使得，但不平行，故D错误. 对于C，假设为两相交平面，如上图取平面，平面分别为平面. 则，对于任意的直线，（不妨设与相交）都存在直线，使得. 因，则有，又因，则有，这与与相交矛盾，故假设不成立，故有，充分性成立. 反过来，时，对于任意的直线，都可以过直线和平面内一点作一个平面. 使，则必有，故必要性成立，故C正确. 【点拨】本题考查面面平行的充要条件，可借助长方体模型举反例排除错误选项，再严格证明正确选项. 7.（2026·湖南永州·二模）已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，且，，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】如图，. 若，则与相交或异面，不一定垂直. 若，则不一定成立. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 【点拨】本题考查空间线面位置关系与充分必要条件的判断，通过构造反例模型即可得出结论. 8.（2026·江苏前黄中学·检测）设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】对于 A，若，则或与为异面直线，故 A 错误. 对于 B，若，则或，故 B 错误. 对于 C，若，由线面平行性质定理得存在直线,使得. 因为，则，又因为，则，故 C 正确. 对于 D，若，则或与相交，故 D 错误. 【点拨】本题考查空间中直线与平面位置关系的判定，熟练掌握线面平行、垂直的判定定理与性质定理是解题关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.（2026·广东中山·二模）已知直线与平面相交于点，则（　　） A. 内不存在直线与平行 B. 内有无数条直线与垂直 C. 内所有直线与是异面直线 D. 至少存在一个过且与垂直的平面 【答案】ABD 【解析】已知直线与平面相交于点，若内存在直线与平行，则直线与确定一个平面. 由，，且，，则与重合. 有，与矛盾，故选项A正确. 设直线在平面内的射影为，根据三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.所以平面内与射影垂直的直线，与直线垂直. 又因为在平面内与直线平行的直线都与直线垂直，而在平面内与一条直线平行的直线有无数条，所以平面内有无数条直线与垂直，故选项B正确. 在平面内过点的直线，因为直线与直线都过点，根据相交直线的定义：两条直线有且只有一个公共点，则这两条直线相交，所以直线与直线相交，并非异面直线，故选项C错误. 如图，取直线上除斜足外一点，过该点作平面的垂线. 因为，且平面，平面，根据平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，所以平面垂直于平面，即至少存在一个过且与垂直的平面，故选项D正确. 【点拨】本题考查空间直线与平面位置关系的综合应用，需结合线面平行、线面垂直的性质及三垂线定理进行分析. 10.（2026·江西“三新”·检测）若是空间中互不重合的三条直线，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】若一个平面内的一条直线与另一个平面垂直，则这两个平面互相垂直，A正确. ，则与的位置关系不确定，B不正确. 若，则与的位置关系不确定，C不正确. 若，则，D正确. 【点拨】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，熟记相关定理并能举出反例是解题关键. 11.（2026·湖北孝感·二模）如图，四面体中，平面，，垂足为，，垂足为，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则平面 D. 若，则 【答案】BC 【解析】A：与异面，显然不正确. B：若，易得. 又，，则，所以，故B正确. 对于选项C与D， 因为平面，平面，所以. 又，是平面内两条相交直线， 所以平面，又平面，故. 又，且是平面内两条相交直线，所以平面. 又平面，故. 又，且是平面内两条相交直线，所以平面.故选项C正确. 又平面，故. 若与也垂直，由与共面，则与重合，故选项D不正确. 【点拨】本题考查线面垂直的判定与性质，通过反复利用线面垂直与线线垂直的相互转化即可证明. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.如图, 在正方体中, 点分别是棱的中点, 则异面直线与所成角的大小为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】取中点为, 连接, 记与交点为, 如图所示: 因为分别是棱的中点, 所以, 且, 故四边形为平行四边形, 所以, 所以与所成角即为与所成角, 因为正方体是棱的中点, 所以, 所以, 即, 因为, 所以, 所以, 故与所成角为, 即与所成角为. 【点拨】本题考查异面直线所成的角，通过平移直线将异面直线转化为相交直线，再利用平面几何知识求解是常用方法. 13.已知正四面体中,是的中点, 则异面直线与所成角的大小为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】解: 由题知, 取中点为，连接如图所示: 不妨设正四面体棱为6, 根据分别为中点得：，, 因为与为等边三角形, 所以，故，同理， 在中, 由余弦定理可得: ， 故, 因为, 所以异面直线与所成角，即直线与所成角，即, 故异面直线与所成角为. 【点拨】本题考查异面直线所成角的计算，利用三角形中位线平移直线，再在三角形中应用余弦定理求解即可. 14.在棱长均相等的四面体中，为棱(不含端点) 上的动点，过点的平面与平面平行. 若平面与平面，平面的交线分别为，，则，所成角的正弦值的最大值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】连接, 由题意知过点的平面与平面平行，平面与平面，平面的交线分别为，， 由于平面平面，平面平面，平面平面， 所以，， 所以或其补角即为，所成的平面角， 设正四棱锥的棱长为1，，，则， 在中， 由余弦定理得， 同理求得， 故在中，， ， 由于，则，进而， 当时取等号， 故的最小值为，进而， 故的最大值为， 【点拨】本题考查面面平行的性质及异面直线所成角的计算，通过余弦定理构建函数关系并求最值是解题关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（2026·安徽A10联盟·检测）已知等腰梯形与等腰梯形如图1所示，其中，过点作，垂足为.现沿进行翻折，使得点在平面内的投影为点，连接，得到的图形如图2所示. （1）求证：平面平面； （2）在图1中，若，，求图2中直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）因为平面，平面，所以. 1 分 又翻折前后都有，又，所以平面. 3 分 因为，所以平面. 4 分 因为平面，所以平面平面. 5 分 （2）易知，又， 则，，. 7 分 分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 则，，. 8 分 设平面的法向量为，由，得， 取，则平面的一个法向量为. 10 分 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 15 分 【点拨】本题考查面面垂直的证明以及利用空间向量求直线与平面所成角，建系求解是处理此类问题的通法. 16.（2026·江苏苏锡·一模）如图，在四面体中，，，点为棱的中点，点为棱上的动点． （1）求证：平面平面； （2）已知二面角的大小为，当直线与平面所成角的正弦值的最大值为时，求此时四面体的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）由，得， 又平面，则平面， 3 分 而平面，于，由为中点，，得， 5 分 又平面，因此面，又平面， 所以平面平面． 7 分 （2）由（1）知，二面角的平面角为，则， 由平面，得为与平面所成的角， 9 分 在中，，则，， 而，则，此时， 11 分 由平面，平面，得，而平面， 则平面，又平面，于是， 13 分 在中，，则， 所以四面体的体积． 15 分 【点拨】本题考查面面垂直的判定以及四面体体积的计算，找出线面角并确定最值条件是求解体积的关键. 17.（2026·湖南永州·二模）如图，是半圆的直径，是上的两个三等分点，点在底面上的射影为的中点． （1）当时，求点到平面的距离； （2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）如图，连接，设与相交于点，再连接， 因为是弧上的两个三等分点，所以， 又，所以与都是正三角形， 所以，即四边形是菱形，所以， 2 分 又因为点在底面上的射影为的中点， 所以平面， 由，得，即，而，所以， 所以平面，又平面， 所以，而，平面， 所以平面，垂足为， 5 分 即点到平面的距离为，而， 所以点到平面的距离为2. 7 分 （2）取的中点，连接，由（1）可知两两互相垂直， 故以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 9 分 当时，可得，，，，， 则，， 11 分 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 故， 13 分 因为平面轴，所以取平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 15 分 【点拨】本题考查点到平面距离的求解以及二面角的计算，建立空间直角坐标系利用向量法求解是常规思路. 18.（2026·山东东营·一模）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，、、分别为棱、、上的点. （1）若，，证明：； （2）若、分别为棱，的中点，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成角为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，或 【解析】（1）因为，，，， 所以平面平面. 3 分 又因为平面平面，平面平面， 所以； 6 分 （2）在中，因为，， 所以，故. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 8 分 在平面内过作交于点，则，，两两垂直. 以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. ，，，，，. 故，. 10 分 假设存在点满足条件，设，则 ，可得. 设平面的一个法向量为，则即， 令，此时. 12 分 平面的一个法向量，则. 整理得，解得或. 14 分 所以当或时，平面与平面所成角为. 15 分 【点拨】本题考查面面平行的性质定理以及利用空间向量探究面面角问题，建系并引入参数是解决存在性问题的有效手段. 19.（2026·安徽合肥·三模）如图，在四棱锥中，底面是菱形，底面，是的中点，点满足，，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）证明：连接交于点，连接． 因为是的中点，，，所以． 2 分 又，所以，从而，在平面中，有． 4 分 所以，又平面，平面． 所以平面． 6 分 （2）因为底面，以为坐标原点，以，的方向为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，． 8 分 所以，，，． 设为平面的法向量， 则，即， 可取． 10 分 设为平面的法向量， 则，即， 可取． 12 分 设平面与平面的夹角为，则． 14 分 所以． 所以平面与平面夹角的正切值为． 15 分 【点拨】本题考查线面平行的证明以及利用空间向量求二面角，熟练掌握空间直角坐标系的建立与法向量的求解是关键. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $