13.3.1 三角形的内角 同步练习2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学三角形内角同步练，分两课时，以“基础夯实-中档运用-综合探究”分层，覆盖内角和定理及直角三角形锐角互余，通过教材变式与实际情境，培养推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础题|内角和直接计算、直角三角形锐角互余|单知识点应用，如角度直接求解（题1-3）、教材变式（题7-8）| |中档题|内角和与平行线/角平分线综合、直角三角形折叠/航海情境|多知识点结合，如折叠求角度（题11）、航海方向角计算（题13）| |综合题|内角关系探究、新定义“准互余三角形”|高阶思维训练，如数量关系证明（题15）、新定义应用（题14）|

13.3.1 三角形的内角 第1 课时 三角形的内角和 A 基础题夯实 知识点 三角形的内角和 1.在△ABC 中,若∠A=50°,∠B=70°,则∠C 的度数是( ) A.110° B.80° C.70° D.60° 2.(2025 海珠区)在△ABC 中,∠A=75°,∠C=2∠B,则∠C 的度数为( ) A.60° B.70° C.80° D.85° 3.在△ABC 中,∠A:∠B:∠C=2:3:7,则△ABC 的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 4.如图,AD∥BE,∠CAD=25°,∠EBC=80°,则∠ACB 的度数为 . 5.如图,在△ABC中,∠B+∠C=110°,AD 平分∠BAC 交BC 于点D,DE∥AC交AB 于点E,则∠ADE 的度数是 . 6.如图是由一副三角板拼凑得到的，图中的∠ABC 的度数为 . 7.(教材变式)如图，则x 的值为 . 8.(教材变式)在△ABC 中,∠B 是∠A 的2倍,∠C 比∠B 大40°,求∠A 的度数. 9.(教材变式)如图,从B 处观测 A 处的仰角∠ABC=70°,从C 处观测 A 处的仰角∠C=50°,AD平分∠BAC 交 BC 于点 D,求∠ADB 的度数. B中档题运用 10.如图,在△ABC中,∠C=50°,按图中虚线将∠C 剪去后,∠1+∠2的度数为 . 11.(教材变式)如图,若∠1+∠2+∠3+∠4=260°,则∠A 的度数为 . 12.(教材变式)如图,∠A=40°,∠ABD=∠ACD=20°,则∠BDC 的度数为 . 13.(教材变式)如图，甲船在A 处测得B 处灯塔的方向是北偏东54°，再沿正东方向行驶到C 处，测得 B 处灯塔的方向是北偏东 18°，求∠B 的度数. 14.(2025佛山)如图,D,E,F,G是△ABC边上的点,∠BAC=∠BED,∠ADE=∠CGF. (1)求证:AD∥GF; (2)若AD 平分∠BAC,∠AED=100°,∠C=55°,求∠CFG 的度数. 综合题探究 15.(教材变式)【提出问题】如图,AO,BO分别平分∠CAB,∠CBA,OD⊥AO交AB 于点D,探究∠C 与∠BOD 的数量关系. (1)【特例探究】若∠CAB=50°,∠CBA=68°,则∠C 与∠BOD 的数量关系为 ; (2)【一般情形】对于一般情形，(1)中结论还成立吗?请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 第 2 课时 直角三角形的两锐角互余 A基础题夯实 知识点① 直角三角形的两个锐角互余 1.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠B=55°,则∠A 的度数为 . 2.如图,在△ABC 中,AD⊥BC,∠1=∠2,∠C=70°,则∠BAC 的度数为 . 3.(2025天河区)如图,直线m∥n,AC⊥a于点C,∠1=32°,则∠2的度数为 . 4.一副三角板按如图放置(其中∠ACB=30°,∠ACD=45°),则∠AOB 的度数为 . 5.(教材变式)如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.下列结论中,不一定成立的是( ) A.∠A 与∠1互余 B.∠B 与∠2互余 C.∠A=∠2 D.∠1=∠2 6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D,BE 平分∠ABC,交AC 于点 E.若∠BCD=34°,求∠CEB 的度数. 知识点② 有两个角互余的三角形是直角三角形 7.(教材变式)具备下列条件的△ABC，不是直角三角形的是( ) A.∠A+∠B=∠C B.∠B+∠C=90° C.∠A:∠B:∠C=1:3:4 D.∠A=2∠B=3∠C 8.(教材变式)如图,AE∥BF,∠BAE 和∠ABF 的角平分线相交于点C,判断△ABC 的形状,并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 B中档题运用 9.如图是脊柱侧弯的检测示意图，为方便测出 Cobb角∠O 的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O 相等的角是( ) A.∠BEA B.∠ECA C.∠DEB D.∠ADO 10.(2025惠州)如图,AD,AE 分别是△ABC 的高和角平分线,若∠B=28°,∠C=50°,则∠DAE 的度数为 . 11.如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=26°,D是AB 上一点,将△BCD 沿CD 折叠,使点 B落在AC 边上的点B'处,则∠CDB'的度数为 . 12.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠CAB=2∠B,AD 平分∠BAC 交BC 于点D,CE⊥AD于点E. (1)求∠B 的度数; (2)求∠DCE 的度数. 13.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点D,AE 平分∠BAC,AE,CD 相交于点F. (1)求证:∠ACD=∠B; (2)求证:∠CEF=∠CFE. 综合题探究 14.【阅读理解】如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”. 【基础巩固】(1)若△ABC 是“准互余三角形”,∠C>90°,∠A=70°,则∠B 的度数为 ; 【尝试应用】(2)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AD 平分∠BAC,E 为DA 的延长线上一点，∠DAC=2∠E，写出图中所有“准互余三角形”，并说明理由. 13.3.1 三角形的内角 第1课时 三角形的内角和 【基础题夯实】 1. D 2. B 3. C 4.75° 5.35° 6.75°7.60 8.解:设∠A=x, 则∠B=2x,∠C=2x+40°. ∵∠A+∠B+∠C=180°, ∴x+2x+2x+40°=180°, 解得x=28°, ∴∠A=28°. 9.解:在△ABC中, ∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°, ∠ABC=70°,∠C=50°, ∴∠BAC=180°-70°-50°=60°. ∵AD 平分∠BAC, 在△ABD中, ∵∠BAD+∠ABC+∠ADB=180°, ∴∠ADB=180°-30°-70°=80°. 【中档题运用】 10.230° 11.50° 12.80° 13.解:据题意得∠DAB=54°,∠ECB=18°, ∠DAC=∠ACE=90°, ∴∠BAC=90°-54°=36°, ∴∠ACB=90°+18°=108°. ∵∠BAC+∠ACB+∠B=180°, ∴∠B =180°-∠BAC-∠ACB =180°-36°-108° =36°, ∴∠B 的度数为 36°. 14.解:(1)∵∠BAC=∠BED, ∴AC∥DE, ∴∠ADE=∠DAC. ∵∠ADE=∠CGF, ∴∠DAC=∠CGF, ∴AD∥GF; (2)由(1)知AC∥DE,AD∥GF. ∵∠AED=100°, ∴∠BAC=180°-100°=80°. ∵AD 平分∠BAC, ∵∠C=55°, ∴∠ADC=180°-40°-55°=85°. ∵AD∥GF, ∴∠CFG=∠ADC=85°. 【综合题探究】 15.解:(1)∠C=2∠BOD; (2)成立，理由如下： 设∠OAB=x,∠OBA=y, ∵AO,BO分别平分∠CAB,∠CBA, ∴∠CAB=2x,∠CBA=2y, ∴∠AOB=180°-x-y, ∠C=180°-2x-2y =2(90°-x-y). ∵OD⊥OA, ∴∠AOD=90°, ∴∠BOD =∠AOB-90° =90°-x-y, ∴∠C=2∠BOD. 第2课时 直角三角形的两锐角互余 【基础题夯实】 1.35° 2.65° 3.122° 4.75° 5. D 6.解:∵CD⊥AB, ∴∠CDE=90°. ∵∠BCD=34°, ∴∠CBD =90°-∠BCD =90°-34° =56°. ∵BE 平分∠ABC, 28°. ∵∠ECB=90°,∠CBE=28°, ∴∠CEB=90°-28°=62°. 7. D 8.解:△ABC 为直角三角形. 理由如下： ∵AE∥BF, ∴∠BAE+∠ABF=180°. ∵AC,BC分别平分∠BAE 和∠ABF, ∴∠CAB+∠ABC =90°, ∴△ABC 为直角三角形. 【中档题运用】 9. C 10.11° 11.71° 12.解:(1)∵∠ACB=90°, ∴∠CAB+∠B=90°. ∵∠CAB=2∠B, ∴3∠B=90°, ∴∠B=30°; (2)∵AD 平分∠BAC, ∴∠ADC=90°-∠CAD=60°. ∵CE⊥AD, ∴∠DCE=90°-∠ADC=30°. 13.证明:(1)∵∠ACB=∠CDA=90°,∠BAC+∠ACD=90°, ∠BAC+∠B=90°, ∴∠ACD=∠B; (2)∵AE 平分∠BAC, ∴∠CAE=∠BAE. ∵∠FDA=90°,∠ACE=90°, ∴∠DAF+∠AFD=90°, ∠CAE+∠CEA=90°, ∴∠AFD=∠CEA. ∵∠AFD=∠CFE, ∴∠CFE=∠CEA, 即∠CFE=∠CEF. 【综合题探究】 14.解:(1)10°; (2)△ABD,△EDC 是“准互余三角形”. 理由如下： ∵∠ACB=90°, ∴∠B+∠BAC=90°. ∵AD 平分∠BAC, ∴∠BAC=2∠BAD, ∴∠B+2∠BAD=90°, ∴△ABD 是“准互余三角形”; ∵∠ACB=90°, ∴∠ADC+∠DAC=90°. ∵∠DAC=2∠E, ∴∠ADC+2∠E=90°, ∴△EDC 为“准互余三角形”. $