13.3.1三角形的内角（分层作业）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** “分层作业 13.3.1.1三角形的内角”同步练，通过A/B/C组及拓展分层设计，构建从基础应用到综合创新的知识巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|三角形内角和基本应用（已知两角求第三角、方程思想）|基础题型为主，如直接计算与简单比例问题，夯实概念理解| |B组能力进阶|内角和与平行线、翻折等综合应用|结合图形变换（如翻折）与实际情境（如方位角），发展空间观念| |C组思维拔高|分类讨论、新定义问题|含“倍角三角形”等创新题型，培养批判性思维与创新意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 13.3.1.1三角形的内角 参考答案 A组 巩固过关 颗型nM 已知两角求第三个角 1.C 2.(1)60°；(2)80°； 题型？ 利用方程思想求解三角形纳角 3.B 1 1 4,解(1)∠A=2∠B=3∠C,六∠B=2LA,∠C=3LA. 由三角形内角和定理，得∠A十2∠A十3∠A=180°， 解得∠A=30 (2)解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°， ∴.50°+∠B+50°+∠B=180°， 解得，∠B=40°， .∠C=50°+40°=90°， ∴.∠A=50°，∠B=40°，∠C=90°. 题型03 利用平行线求三角形内角度数 5.B 6.B 7.B 1/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04 利用三角板求三角形内角度数 8.D 9.c 题型05 翻折问题中求三角形内角度数 10.B 11.C 12.B 颗型06 利用整体思想求三角形内角度数 13.100° 14.∠1+∠2=85° 15.76°/76度 颗型07 三角形内角和实际应用 16.B 17.(1)解：根据题意，得∠DAC=60°，∠DAB=80°，∠EBC=20°，DA‖BE. ∴.∠DAB+∠EBA=180° ∴.∠EBA=180°-∠DAB=180°-80°=100°， .∠ABC=∠EBA+∠EBC=100°+20°=120° (2)解：∠DAC=60°，∠DAB=80°， ∴.∠BAC=∠DAB-∠DAC=80°-60=20° ∴.∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-20°-120°=40° 题型08 三角形内角和综合应用 18.80°/80度 19.解：△ABC中，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC,∠A=30°，∠ACB=80°， 2/7 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ADC=90°，∠ABC=180°-∠A-∠ACB=70°，∠CBF=号∠ABC=35°， ∴.∠ACD=90°-∠A=60°， .∠BCD=∠ACB-∠ACD=20°， ∴.∠CFB=180°-∠BCD-∠CBF=125° B组 能力进阶 1.c 2.A 3.40°或100° 4.30° 5.三角形三个内角为50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度. 6.(1)解：在△ABC中，由三角形内角和定理得：∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°， ,AE是△ABC的角平分线， 六∠CAE=号<BMC=×80=40 2 在△AEC中，由三角形内角和定理得：∠AEC=180°-∠C-∠CAE=180°-30°-40°=110°， .AD是△ABC的高， ∴.∠ADC=90°， 在Rt△ADC中，∠DAC=90°-∠C=90°-30°=60°， ∴.∠DAE=∠DAC-∠CAE=60°-40°=20°： (2)解：在△ABC中，由三角形内角和定理得：∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-a-B, ,AE是△ABC的角平分线， CAE-BAC-0 2 在△AEC中，由三角形内角和定理得： 2A5C=180°.∠C-∠CAE=180-p-90-8E=90+； 2 .'AD是△ABC的高， ∴.∠ADC=90° 在Rt△ADC中，∠DAC=90°-∠C=90°-B, 317 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DAE=∠DAC-∠CAE=(90°-B)- 90°.+β=a-B 221 7.(1)解：.BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠ABC=42°，∠ACB=48°， :.∠PBC=∠ABC=21°，∠BCP=号∠ACB=24, .:∠PBC+∠BCP+∠BPC=180°， ∴.∠BPC=180°-∠PBC-∠BCP=135°； (2)解：，BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∠PBC=∠ABC,∠BCP=∠ACB, .∠PBC+∠BCP+∠BPC=180°， .∴.∠BPC=180°-∠PBC-∠BCP =180-克aBc<Ac8 =180-∠ABC+∠ACBl =180-180-∠A =90+号∠A =90°+2×80° =130°： (3)解：，BQ,CQ分别是∠CBM,∠BCN的角平分线， ∠CBQ∠CBM,∠BCQ∠BCN, .∠CBM=∠A+∠ACB,∠BCN=∠A+∠ABC, ∠CBQ3A+3<ACB,∠BCQ=3A+3ABC .∠CBQ+∠BCQ+∠Q=180°， ∴A+吃<A+2ABc*2ACB+2Q=I80, 六2A+180°-∠A)+∠Q=180 <0=90-3<A 4/7 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)解：.BP是∠ABC的角平分线，BQ是∠CBM的角平分线， ∠PBC-∠ABC,∠CBQ-<CBM, ,∠ABC+∠CBM=180°， :.∠PBC+∠CBQ=I∠ABC+∠CBM=90°， ∴.∠QBE=∠PBC+∠CBQ=90°， 由(3)知∠Q=90. ∠A, 2 ∴.∠E+∠Q=90, ∠E=2人A, 1 :在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，∠QBE=90°， ∴.∠Q,∠E都是锐角， .分四种情况讨论： ①∠Q=3∠E, 90-A=3×分4A ∴.2∠A=90, ∴∠A=45°： ②∠QBE=3∠E, 3×对4A=90 ∴.∠A=60°： ③∠QBE=3∠Q, 390-A=90 .270°-1.5∠A=90°， ∴.∠A=120 ④∠E=3∠Q, 解之得：∠A=135°， 综上可知：∠A的度数为45°或60°或120°或135° 517 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C组 思维拔高 1.A 2.15°或65 3.80° 4.(1)解：(1)在△DEF中，∠E=60°，∠D=20°， 则∠F=180°-∠E-∠D=100°， ∴.∠F最大，∠D最小，且∠F=5∠D, ∴.△DEF为“5倍角三角形”， 故答案为：100°，5： (2)①解：.∠C=44°， .∴.∠BAC+∠ABC=180°-44°=136°， ,'∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D, :∠DAB=3∠BAC,∠DBA=3∠ABC, ∠DAB+∠DBA-∠BAC+∠ADC-×136=68 ∴.∠ADB=180°-∠DAB+∠DBA=180°-68°=112°， ②，△ABD为“4倍角三角形”， ∴.∠ADB=4∠ABD或∠ADB=4∠BAD, 当∠ADB=4∠ABD时，∠ABD=28°， 当∠ADB=4∠BAD时，∠BAD=28°，则∠ABD=180°-112°-28°=40°， 综上所述，∠ABD的度数为28°或40°， 拓展 链接中考 1.C 2.B 617 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.直角 717 分层作业 13.3.1.1三角形的内角 目 录 A组 巩固过关 题型01 已知两角求第三个角 题型02利用方程思想求解三角形的内角 题型03 利用平行线求三角形内角度数 题型04 利用三角板求三角形内角度数 题型05 翻折问题中求三角形内角度数 题型06 利用整体思想求三角形内角度数 题型07三角形内角和实际应用 题型08三角形内角和综合应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型 0 1 )已知两角求第三个角 1． 在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2.根据条件，在△ABC中，求∠A的度数： (1)∠B＝70°，∠C＝50°，则∠A＝________； (2)∠C＝20°，∠A＝∠B，则∠A＝________； ( 题型 0 2 )利用方程思想求解三角形内角 3.若一个三角形的三个内角的比为，则此三角形的最大内角度数是（　　） A． B． C． D． 4.(1)在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C， 求∠A的度数： (2)在△ABC中，，求三角形内角度数 ( 题型 0 3 )利用平行线求三角形内角度数 5.如图，直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6.如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 7.如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． ( 题型 0 4 )利用三角板求三角形内角度数 8.如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9.将一副三角板（）按如图方式摆放，使，则（     ） A． B． C． D． ( 题型 0 5 )翻折问题中求三角形内角度数 10.如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（    ） A． B．110° C．80° D． 11.如图，在三角形纸片中，，分别是边，上的点，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 12.如图，在三角形纸片中，，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，则（    ） A． B． C． D． ( 题型 0 6 )利用整体思想求三角形内角度数 13.如图，，，，则的度数为__________． 14．如图，点，分别在，上．若，，则的度数为_____________． 15.在中，点O为和角平分线的交点，，则_______． ( 题型 0 7 )三角形内角和实际应用 16.如图，河北太行山区的某旅游专线正在施工，这条公路原本设计为东西走向．工程队在路面铺设到点B时，遇到一处需要避让的省级文物保护遗址，不得不临时调整路线．新的施工路线为折线，点O在点B的南偏东方向上，且．若要在点C恢复原设计的东西走向，必须保证的度数为（        ） A． B． C． D． 17.如图是A，B，C 三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B 岛的北偏东方向． (1)从B 岛看A，C两岛的视角是多少度？ (2)从C岛看A，B两岛的视角是多少度？ ( 题型 0 8 )三角形内角和综合应用 18.如图，在中，于点，的平分线交于点，，，则的度数是________． 19.如图，中，为边上的高，平分，分别交、于点、．若，，求的度数． 1．如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2． 如图，在中，，，平分，交于，，交于点，则的大小是（   ） A． B． C． D． 3.如果等腰三角形有一个角是，则它的顶角是_____________ 4.如图，将纸片沿折叠，使点A落在四边形外点的位置，若，则______ 5.若另一等腰三角形DEF，其中一个内角为x°，另一个内角为(2x-20)°，试求此三角形的各内角度数为_________________________________________________________ 6.如图，，分别是的高和角平分线． (1)若，，求和的度数； (2)若，，且，直接写出和的度数（用含，的代数式表示）． 7.如图1、2、3所示，在中，与的平分线相交于点． (1)如图1 所示，若，，则的度数为 ． (2)如图1 所示，如果，求的度数； (3)如图2 所示，作外角， 的平分线交于点 ，试探索， 之间的数量关系； (4)如图3所示，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出的度数． 1．【综合问题】如图，，与的平分线相交于点G，于点E，F为AC上的一点，且，于点H．下列说法：①；②；③；④若，则．其中正确的有（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 2．【分类讨论】如图，是的角平分线，是的高，，，点为边上一点，当为直角三角形时，的度数为__________________． 3．【整体思想】如图，、 的角平分线交于点，已知，则___________ 4．【新定义问题】新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的倍（为大于1的正整数），则称为“倍角三角形”．例如，在中，若，，则，因为最大，最小，且，所以为“3倍角三角形”． (1)在中，若，，则______，为“______倍角三角形”． (2)如图，在中，，，的角平分线相交于点． ①求的度数． ②若为“4倍角三角形”，请求出的度数． 1．（2023·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东聊城·中考真题）如图，分别过的顶点A，B作．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川遂宁·中考真题）一个三角形的三个内角的度数的比为，这个三角形是______三角形 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 13.3.1.1三角形的内角 目 录 A组 巩固过关 题型01 已知两角求第三个角 题型02利用方程思想求解三角形的内角 题型03 利用平行线求三角形内角度数 题型04 利用三角板求三角形内角度数 题型05 翻折问题中求三角形内角度数 题型06 利用整体思想求三角形内角度数 题型07三角形内角和实际应用 题型08三角形内角和综合应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型 0 1 )已知两角求第三个角 1． 在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和为，已知两个角的度数，第三个角可通过180°减去已知两角的和求得． 【详解】解：在中，已知，根据三角形内角和定理，得： ， 故选：C． 2.根据条件，在△ABC中，求∠A的度数： (1)∠B＝70°，∠C＝50°，则∠A＝________； (2)∠C＝20°，∠A＝∠B，则∠A＝________； 【答案】(1)60°；(2)80°；(3)30°.　 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】(1)∵∠B＝70°，∠C＝50°，∴∠A＝180°－70°－50°＝60°； (2)∵∠C＝20°，∠A＝∠B，∴∠A＝×(180°－20°)＝80°； 故答案为：(1)60°；(2)80°； 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键． ( 题型 0 2 )利用方程思想求解三角形内角 3.若一个三角形的三个内角的比为，则此三角形的最大内角度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】解：三角形的三个内角和为， 设三个内角大小分别为：、、， ， 解得， ， 此三角形的最大内角度数是． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． 4.(1)在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C， 求∠A的度数： (2)在△ABC中，，求三角形内角度数 【答案】30°.　 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据三角形内角和定理计算即可． （2）本题主要考查三角形内角和定理的运用，掌握三角形内角和定理是关键． 【详解】（1）∵∠A＝∠B＝∠C，∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A. 由三角形内角和定理，得∠A＋2∠A＋3∠A＝180°， 解得∠A＝30°. （2）解：在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键． ( 题型 0 3 )利用平行线求三角形内角度数 5.如图，直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形内角和计算即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 6.如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解相关角的度数是解题的关键．根据三角形的内角和定理可求解的度数，的度数，再利用平行线的性质可求解． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 7.如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据三角形的内角和定理和平行线的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． ( 题型 0 4 )利用三角板求三角形内角度数 8.如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形内角和及平行线的性质，熟练掌握三角形内角和及平行线的性质是解题的关键；如图，由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 9.将一副三角板（）按如图方式摆放，使，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、三角板中角度计算问题 【分析】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据三角形内角和定理得到，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：C． ( 题型 0 5 )翻折问题中求三角形内角度数 10.如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（    ） A． B．110° C．80° D． 【答案】B 【知识点】三角形折叠中的角度问题、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得，，，， ， ， ， ， 故选：B． 11.如图，在三角形纸片中，，分别是边，上的点，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形折叠中的角度问题 【分析】由垂线的定义和平角的定义得到，，再由折叠的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴． 12.如图，在三角形纸片中，，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】利用折叠的性质和三角形的内角和定理，即可解答． 【详解】解：由折叠得，， 又 ， ， ， ． ( 题型 0 6 )利用整体思想求三角形内角度数 13.如图，，，，则的度数为__________． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角与外角的关系定理． 先求得，根据，，可得，即可求得． 【详解】解：， ， ，， ， ． 14．如图，点，分别在，上．若，，则的度数为_____________． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是熟记三角形的内角和为．根据三角形的内角和定理列式整理可得，从而可求解． 【详解】解：，， ， ，， ． 15.在中，点O为和角平分线的交点，，则_______． 【答案】/76度 【知识点】三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形角平分线的定义 【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理计算即可； 【详解】解：如图， ∵点为和角平分线的交点， ∴，. ， ∴ ． ． 在中，根据三角形内角和定理得 ． ( 题型 0 7 )三角形内角和实际应用 16.如图，河北太行山区的某旅游专线正在施工，这条公路原本设计为东西走向．工程队在路面铺设到点B时，遇到一处需要避让的省级文物保护遗址，不得不临时调整路线．新的施工路线为折线，点O在点B的南偏东方向上，且．若要在点C恢复原设计的东西走向，必须保证的度数为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】邻补角的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、与方向角有关的计算题 【分析】延长交于点E，先求出，再根据三角形的内角和求出，进而由邻补角的定义，得到，继而推导出，即可解答． 【详解】解：延长交于点E，如图 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点C恢复原设计的东西走向，即， ∴． 17.如图是A，B，C 三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B 岛的北偏东方向． (1)从B 岛看A，C两岛的视角是多少度？ (2)从C岛看A，B两岛的视角是多少度？ 【答案】(1) (2) 【知识点】两直线平行同旁内角互补、三角形内角和定理的应用、与方向角有关的计算题 【分析】本题考查的是方向角的知识，熟练掌握方向角的定义、灵活运用三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据可求出，结合可得出； （2）根据三角形内角和定理可求出． 【详解】（1）解：根据题意，得，，，． ∴． ， ∴． （2）解：∵， ， ∴． ( 题型 0 8 )三角形内角和综合应用 18.如图，在中，于点，的平分线交于点，，，则的度数是________． 【答案】/80度 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】先由垂线的定义得到，再由三角形内角和定理得到，则由角平分线的定义可得，然后由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 19.如图，中，为边上的高，平分，分别交、于点、．若，，求的度数． 【答案】/125度 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据三角形的内角和定理，求出和的度数，再根据角的和差关系，角平分线的定义，求出的度数，进而求出的度数即可. 【详解】解：∵中，为边上的高，平分，，， ∴，， ∴， ∴， ∴. 1．如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 2． 如图，在中，，，平分，交于，，交于点，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质；根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义可得，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3.如果等腰三角形有一个角是，则它的顶角是_____________ 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．等腰三角形中，已知角可能是顶角或底角，需分情况讨论顶角． 【详解】解：∵等腰三角形有一个角是， ∴当为顶角时，顶角为； 当为底角时，另一个底角也为，顶角为． ∴顶角为或， 故选D． 4.如图，将纸片沿折叠，使点A落在四边形外点的位置，若，则______ 【答案】 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】根据平角的性质得到根据题意，得到再由图形翻折变换的性质得到，根据三角形的内角和即可得出结论． 【详解】解：∵ ，， ∴， 根据折叠的性质可得：， ， ∴ ． 5.若另一等腰三角形DEF，其中一个内角为x°，另一个内角为(2x-20)°，试求此三角形的各内角度数为_________________________________________________________ 【答案】三角形三个内角为50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度． 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、用一元一次不等式解决几何问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】分这两个内角一个为顶角和两个都是底角三种情况，结合三角形内角和定理可求得，可得出三个角的度数． 【详解】解 当底角为、顶角为时，则根据三角形内角和为 可得 ， 解得， 此时三个内角分别为、、； 当顶角为、底角为时，则根据三角形内角和为 可得 ， 解得， 此时三个内角分别为、、； 当底角为、时，则等腰三角形性质可得 ， 解得， 此时三个内角分别为、、； 综上可知三角形三个内角为50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等、两底角相等是解题的关键． 6.如图，，分别是的高和角平分线． (1)若，，求和的度数； (2)若，，且，直接写出和的度数（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用、直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）先利用三角形内角和求出，结合角平分线定义得到，再用内角和算出；根据高线得到直角，利用直角三角形两锐角互余求出，最后作差得到； （2）先用三角形内角和表示出，结合角平分线得到，代入内角和公式化简求出；再由高线推出，通过角度相减化简得到的代数式． 【详解】（1）解：在中，由三角形内角和定理得：， 是的角平分线， ， 在中，由三角形内角和定理得：， 是的高， ， 在中，， ； （2）解：在中，由三角形内角和定理得：， 是的角平分线， ， 在中，由三角形内角和定理得：， 是的高， ， 在中，， ． 7.如图1、2、3所示，在中，与的平分线相交于点． (1)如图1 所示，若，，则的度数为 ． (2)如图1 所示，如果，求的度数； (3)如图2 所示，作外角， 的平分线交于点 ，试探索， 之间的数量关系； (4)如图3所示，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （2）根据已知条件和角平分线的性质，把和用和表示出来，再利用表示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可； （3）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （4）根据已知条件求出的度数，然后由（3）求出的，利用三角形内角和求出，再分4种情况讨论，求出的度数． 【详解】（1）解：分别是和的角平分线，， ， ， ； （2）解：分别是和的角平分线， ， ， ； （3）解：分别是的角平分线， ，， ， ，， ， ， ， ； （4）解：是的角平分线，是的角平分线， ， ， ， ， 由（3）知， ， ， ∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，， 都是锐角， ∴分四种情况讨论： ①， ， ， ； ②， ， ； ③， ， ， ， ④， ， 解之得：， 综上可知：的度数为或或或． 1．【综合问题】如图，，与的平分线相交于点G，于点E，F为AC上的一点，且，于点H．下列说法：①；②；③；④若，则．其中正确的有（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】①中，运用平行线的性质以及三角形的内角和性质列式，化简作答；②中，根据等角的余角相等，得，故；③中，根据三角形的面积公式进行作答；④运用四边形内角和360度以及，得出，再结合角平分线的性质，证明全等，即可作答．此题的综合性较强，运用了平行线的性质、等角的余角相等、四边形的内角和公式、等边对等角、三角形的面积公式、角平分线的概念． 【详解】解：∵ ∴， ∵与的平分线相交于点G， ∴， ∵ ∴； 故①是正确的； ②中，∵ ∴ ∴ 故②是正确的； ， （等底同高）； 故③是正确的； 在四边形中，． 又， 则， 故④是正确的． 故选：A． 2．【分类讨论】如图，是的角平分线，是的高，，，点为边上一点，当为直角三角形时，的度数为__________________． 【答案】或 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】分和两种情况，分别根据角平分线、三角形高线、以及三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解： 是的角平分线，， ， 当时，， ； 当时，， ，， ， 综上，的度数为或． 3．【整体思想】如图，、 的角平分线交于点，已知，则___________ 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】连接，根据三角形内角和为，在和中得出，，即可求出，结合是、的角平分线，求出，在中，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 又∵，， ∴ ， ∵是、的角平分线， ∴， ∴， ∴在中： ， ∴． 4．【新定义问题】新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的倍（为大于1的正整数），则称为“倍角三角形”．例如，在中，若，，则，因为最大，最小，且，所以为“3倍角三角形”． (1)在中，若，，则______，为“______倍角三角形”． (2)如图，在中，，，的角平分线相交于点． ①求的度数． ②若为“4倍角三角形”，请求出的度数． 【答案】(1)，5 (2)①；②或 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是新定义、三角形内角和定理、角平分线的定义； （1）根据三角形内角和定理求出，根据“倍角三角形”的定义判断； （2）①根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出； ②“倍角三角形”的定义分情况讨论计算，得到答案． 【详解】（1）解：（1）在△中，，， 则， 最大，最小，且， △为“5倍角三角形”， 故答案为：，5； （2）①解：， ， 的角平分线相交于点， ，， ， ， ②为“4倍角三角形”， 或， 当时，， 当时，，则， 综上所述，的度数为或． 1．（2023·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】先判断出的内角是这个等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的定义求解即可得． 【详解】解：等腰三角形有一个内角为， ∴这个等腰三角形的底角是， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两个底角相等． 2．（2023·山东聊城·中考真题）如图，分别过的顶点A，B作．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】根据两直线平行，同位角相等，得到，利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质是解题的关键． 3．（2023·四川遂宁·中考真题）一个三角形的三个内角的度数的比为，这个三角形是______三角形 【答案】直角 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形类别，解答此题应明确三角形的内角度数的和是，求出最大的角的度数，然后根据三角形的分类判定类型． 【详解】解：， 这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $