第14章 专题特训3 全等三角形中的基本模型-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

拔尖特训·数学（人教版）八年级上 专题特训三全等 类型一平移模型 1.(2023·衢州)如图，在△ABC和△DEF中， 点B,E,C,F在同一条直线上.有下列四个 条件：①AB=DE;②AC=DF;③BE= CF;④∠ABC=∠DEF. (1)请选择其中的三个条件，使得△ABC≌ △DEF(写出一种情况即可). (2)在(1)的条件下，求证：△ABC≌△DEF. (第1题) 类型二轴对称模型 2.(2025·天津西青期中)如图，AC=AE,∠C= ∠E,∠1=∠2.求证：△ABC2△ADE (第2题) 32 三角形中的基本模型 类型三共顶点旋转模型 3.如图，AB⊥AC于点A,AB=AC,AD⊥AE 于点A,AD=AE.若∠D=35°，∠B=15°， 则∠CAE的度数为 D (第3题) 4.如图，AE∥BC,AB=AD,∠BAD= ∠EAC=∠E (1)求证：△ABC2△ADE. (2)若∠BAE=110°，求∠E的度数 D (第4题) 类型四不共顶点旋转模型 5.如图，点C,E,F,B在同一条直线上，点A, D在BC的异侧，AB∥CD,AE=DF, ∠A=∠D. (1)求证：AB=DC. (2)若AB=CF,∠B=40°，求∠D的度数. C D (第5题) 类型五一线三等角模型 6.如图，在△ABC中，AB=AC,AB>BC,点 D在边BC上，CD=2BD,点E,F在线段 AD上，∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面 积为21，则△CAF与△BDE的面积之和是 () A.6B.7 C.8 D.9 B&E Be D (第6题) (第7题) 7.(2024·甘肃改编)如图，在△ABE和△BCD 中，AB⊥BC,AB=BC,CD⊥BD,AE⊥ BD,则线段AE,DE,CD之间的数量关系是 第十四章全等三角形 类型六对角互补且一组邻边相等的半角模型 8.(1)如图①，在四边形ABCD中 AB=AD,∠B=∠D=90°，E,F 分别是边BC,CD上的点，且 ∠EAF=2∠BAD.请直接写出线段EF, BE,FD之间的数量关系： (2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD, ∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上 的点，且∠EAF=2∠BAD,间题(1)中的结 论是否仍然成立？请判断并说明理由. (3)在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+ ∠D=180°，E,F分别是边BC,CD所在直 线上的点，且∠EAF=2∠BAD.请直接写 出线段EF,BE,FD之间的数量关系. 1 ② (第8题) 3310.C解析：如图①，连接AC AD⊥CD,AB⊥CB,.∠ADC= ∠ABC=90°.在Rt△ABC和Rt△ADC AB=AD, 中， ∴.Rt△ABC≌ AC=AC, Rt△ADC(HL)..DC=BC.故①正 确.根据已知条件不能推出△ADF≌ △ABE,故②错误.如图②，延长EB 到，点G,使BG=DF,连接AG.AB⊥ CB,AD⊥CD,.∠ABG=∠ADF= 90°.在△ADF和△ABG中， AD-AB, ∠ADF=∠ABG,'.△ADF≌ DF=BG, △ABG(SAS)...AF=AG,∠DAF ∠BAG,∠DFA=∠BGA..∠BAD= 140°，∠EAF=70°，.∠DAF+ ∠EAB=∠BAD-∠EAF=140°- 70°=70°.∴.∠EAG=∠EAB+ ∠BAG=∠EAB+∠DAF=70°. ∴.∠EAG=∠EAF=70°.在△EAF AF-AG, 和△EAG中， ∠EAF=∠EAG, AE-AE, ∴.△EAF≌△EAG(SAS).∴.EF= EG=BE+BG=BE+DF.故③正 确.由③的分析知，△EAF2△EAG, ∴.∠AEF=∠AEG,即AE平分 ∠FEB.故④正确.综上所述，正确的 有①③④，共3个 ① ② (第10题) 11.(1)∠BAC=∠DAE, .∠BAC+∠BAE=∠DAE+ ∠BAE,即∠CAE=∠BAD. 在△ACE和△ABD中， (AC=AB, ∠CAE=∠BAD, AE=AD, '.△ACE≌△ABD(SAS) (2).△ACE≌△ABD, ∴.∠AEC=∠ADB. ∴.∠AEF+∠AEC=∠AEF+ ∠ADB=180. ∴.易得∠DAE+∠DFE=180. ∠BFC+∠DFE=180, .∠BFC=∠DAE=50. (3)如图，连接AF,过点A作AJ⊥ CF于点J △ACE≌△ABD, .S△AE=SAAD,CE=BD, AJ⊥CE,AH⊥BD, CEAJ-BD.AH. ..AJ=AH. 在Rt△AFJ和Rt△AFH中， (AF=AF, AJ=AH, ∴.Rt△AFJ≌Rt△AFH(HL). .JF=HF. 在Rt△AJE和Rt△AHD中， (AE=AD, AJ-AH .Rt△AJE≌Rt△AHD(HL). .JE=HD. .EF+DH=EF+JE=JF=HF. (第11题) 专题特训三全等 三角形中的基本模型 1.(1)选择不唯一，如选择的三个条 件是①②③. (2).BE=CF ∴.BE+EC=CF+EC,即BC=EF. (AB=DE, 在△ABC和△DEF中， BC=EF, LAC-DF. .∴.△ABC≌△DEF(SSS). 2..∠1=∠2， ∴.∠1+∠EAC=∠2+∠EAC. 12 '.∠BAC=∠DAE 在△ABC和△ADE中， ∠BAC=∠DAE, RAC-AE, ∠C=∠E, .△ABC≌△ADE(ASA). 3.40 4.(1)∠BAD=∠EAC, .∴.∠BAD+∠CAD=∠EAC+ ∠CAD,即∠BAC=-∠DAE. .AE∥BC, ∴.∠EAC=∠C. .∠EAC=∠E, .∠C=∠E 在△ABC和△ADE中， {∠C=∠E, {∠BAC=∠DAE, AB-AD, '.△ABC2△ADE(AAS). (2)∠BAE=110°，AE∥BC, ,∴.∠B=180°-∠BAE=70 .AB=AD, ∴.∠B=∠ADB=70. ∴.∠BAD=180°-∠B-∠ADB=403, .∴.∠E=∠BAD=40. 5.(1)ABCD, .∠B=∠C 在△ABE和△DCF中， ∠B=∠C, ∠A=∠D, AE=DF, ∴.△ABE≌△DCF(AAS). ∴.AB=DC. (2).∠B=40°，∠B=∠C, ∴.∠C=40°. △ABE≌△DCF, .AB=DC. .AB=CF, .CD=CF. 过点C作CM⊥DF于点M, 易得Rt△CMD≌Rt△CMF(HL), ·.∠D=∠CFD=7(180- ∠D0F)=2×180-409=70. 6.B解析：.∠1=∠ABE+ ∠BAE,∠1=∠BAC,∴.∠BAC= ∠ABE+∠BAE.'∠BAC= ∠BAE+∠CAF,.∠ABE= ∠CAF.∠1=∠2，∴.易得 ∠AEB=∠CFA.在△ABE和△CAF ∠AEB=∠CFA, 中，∠ABE=∠CAF,∴.△ABE≌ AB=CA, △CAF(AASX.∴.S△AE=S△cAF. ∴.S△CAF+S△BmDE=S△ABR+S△BE= S△Am.:CD=2BD,△ABC的面积 1 为21，.易得S△Am=3SaMx=7, 即△CAF与△BDE的面积之和是7. 7.DE+CD=AE解析：，AB⊥ BC,CD⊥BD,AE⊥BD,∴.∠ABC= ∠D=∠AEB=90°.∴.∠ABE+ ∠CBD=∠C+∠CBD=90°. ∴.∠ABE=∠C.在△ABE和△BCD 「∠AEB=∠D, 中，∠ABE=∠C,∴.△ABE≌ AB=BC, △BCD(AAS)..∴.BE=CD,AE= BD...DE=BD-BE=AE-CD. .DE+CD=AE 8.(I)EF=BE+FD.解析：如图 ①，延长CB到点G,使BG=DF,连 接AG.∠ABE=90,.∠ABG= 90°.在△ABG和△ADF中， AB-AD, ∠ABG=∠D=90°，.△ABG≌ BG=DF, △ADF(SAS)..AG=AF,∠1= ∠2.∴.易得∠1+∠3=∠2+∠3= 1 ∠BAD=∠EAR.·∠EAG= ∠EAF.在△AEG和△AEF中， AG=AF, ∠EAG=∠EAF,.∴.△AEG≌ AE-AE, AAEF(SAS)..'EG=EF..'EG= BE+BG,∴.EF=BE+FD. (2)问题(I)中的结论EF=BE+FD 仍然成立. 理由：如图②，延长CB到点G,使 BG=DF,连接AG ,∠ABC+∠D=180°，∠ABG+ ∠ABC=180°， ∴.∠ABG=∠D. 在△ABG和△ADF中， AB-AD. ∠ABG=∠D, BG=DF, ∴.△ABG≌△ADF(SAS). .∴.AG=AF,∠1=∠2 ∴.易得∠1十∠3=∠2+∠3 Z∠BAD=∠EAF ∴.∠EAG=∠EAF. 在△AEG和△AEF中， AG-AF, ∠EAG=∠EAF, AE-AE, ∴.△AEG2△AEF(SAS). .EG=EF」 EG=BE+BG, .'EF=BE+FD. (3)EF=BE+FD EF=BE-FD 或EF=FD一BE. B E ① A不 13 G ② (第8题) 专题特训四全等 三角形中的动态问题 1.(1)CD为边AB上的高， ∴.CD⊥AB,即∠ADC=90. .∠A+∠ACD=90°. ,∠ACB=90°， .'.∠BCD+∠ACD=90 '.∠A=∠BCD. (2)当CF=AB时，点E移动了6 13 或1s. 理由：如图，当点E在射线BC上移动 时，过点E作EF⊥BC,交直线CD 于点F,则∠CEF=90. ∠A=∠BCD,∠BCD=∠ECF, ∴.∠A=∠ECF 在△CFE和△ABC中， ∠CEF=∠ACB=90°， ∠ECF=∠A, CF=AB, ∴.△CFE≌△ABC(AAS). ∴.CE=AC=7cm. ∴.BE=BC+CE=12cm. .点E移动了12÷2=6(s. 当点E在射线CB上移动时，过点E 作EF'⊥BC,交直线CD于点F' 同理，可得△CF'E'≌△ABC(AAS). .'CE'=AC=7 cm. .BE'=CE'-BC=2 cm. ∴.点E移动了2÷2=1(s) 综上所述，当CF=AB时，点E移动 了6s或1s. (第1题) 2.(1)△BPD与△CQP全等. 理由：经过1s,BP=3cm,CQ=3cm, PC=BC-BP=8-3=5(cm). D为AB的中点，AB=10cm, .BD=AB=5 cm. ∴BD=PC. 过，点A作AM⊥BC于点M,则 ∠AMB=∠AMC=90. 在Rt△AMB和Rt△AMC中， (AB=AC, AM-AM. ∴.Rt△AMB≌Rt△AMC(HI). ∴.∠B=∠C. 在△BPD和△CQP中，