角平分线与全等三角形 精选典型题2025-2026学年人教版八年级数学上册期末复习

《角平分线与全等三角形》精选典型题2025-2026人教版八年级上学期数学期末复习 一、单选题 1．如图，在四边形中，，是的平分线，且．若，四边形的面积为，则点到的距离为（　　） A． B． C． D． 2．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（　　） ①平分；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在和中，连接AC，BD交于点M，AC与OD相交于E，BD与OA相交于F，连接OM，则下列结论中：①；②；③；④MO平分，正确的个数有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 4．如图，在中，，平分交于点G，平分交于点D，相交于点F，交的延长线于点E，连接，下列结论中：①若，则；②；③；④．其中正确的结论有　 　（填写序号即可）． 5．如图，△ABC中，∠ACB=60°，AG平分∠BAC交BC于点G，BD平分∠ABC交AC于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的有　 　.（请填写序号） ①若∠BAD=70°，则∠EBC=5°； ②BE=CE； ③AB=BG+AD； ④. 6．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（0，b）分别在坐标轴的正半轴上．设AB＝c. 当∠ABO的平分线经过点D（，），则a－b＋c的值为　 　． 7．如图，在中，，过作于点为的角平分线，连接，过作交于点，交延长线于点．则下列四个结论，其中一定正确的是　 　．（填写正确序号） ①；②；③；④． 8．如图，在中，，，，，角平分线、交于点，于点，．下列结论：①点在的平分线上；②；③；④，其中正确的结论是　 　（填序号） 三、解答题 9．如图，O是内一点，，，． （1）已知，为等边三角形． ①如图1，若点C与点M重合，请补充条件：______°，可得结论：； ②如图2，若点C在边上，在①补充的条件下，结论是否仍成立？并说明理由； （2）如图3，请探究当与之间满足什么数量关系时，结论仍然成立，并说明理由． 10．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=50°. （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）求∠AEB的度数； （4）若AC+CD=14，AB=8.5，且S△ACD=21，求△ABE的面积. 11．请阅读以下材料，并解决问题： 探索角平分仪 素材1 图1是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线. 素材2 图3是一个借鉴素材1制作的“三等分角仪”，它由四根棒组成，中间两根棒带有凹槽.四根棒在O处相连并可绕O点转动，点A，B，C，D固定，点E，F可以在凹槽处滑动，且OA=OC，OB=OD，AE=CE，BF=DF. 图5中的“三等分角仪”满足OA=OC=OB=OD=AE=CE=BF=DF. （1）如图2，已知AB=AD，BC=DC，求证：AE平分∠BAD； （2）如图4，已知OA=OC，OB=OD，AE=CE，BF=DF.若∠AOD=120°，则∠DOC=　 　°； （3）利用图5“三等分角仪”进行三等分角实验，操作中发现点E与点F之间的距离等于OA时，可求得∠AOD的度数.在图6中，已知OA=OC=OB=OD=AE=CE=BF=DF，且点E与点F之间的距离等于OA，请求出∠AOD的度数. 12．如图，在中，，垂足分别为D，E． （1）求证：； （2）若点F是AB的中点，连接CF，FD，并延长FD交BC于点G，如果，求的度数（用含的式子表示）； （3）在（2）的条件下，若，求的面积与的面积之比． 13． 如图，已知在△ABC中，AB＞AC，BD，CE是△ABC的高，点M在高BD上，BM=AC. （1）如图(1)，求证∠ABD=∠ACE； （2）如图(2)，点N在CE的延长线上，CN=AB，求证AN⊥AM； （3）如图(3)，P是△ABC外一点，∠P=∠B，∠BAC+∠PAC=180°，求证PC=BC. 14．如图，在中，，，点在第一象限，点在轴的负半轴上，交轴于，交轴于，，点在轴上，且在点的上方． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，连接，求证：； （3）直接写出点的坐标　 　（用含的式子表示）． 15．如图1，在四边形中，，E为的中点，平分． （1）求证：平分； （2）如图2，若将“”改为“”，其他条件不变．，，则________． 16．如图1，线段，连接，，取的中点E，连接，平分． （1）线段，，之间存在怎样的等量关系？ 请写出并证明你的结论． （2）如图2，如果点C在 的左侧，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？ 如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新的结论，并给予证明． 17．如图，在的两边，上分别取点M，N，连接．若平分，平分． （1）求证：平分； （2）若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 四、实践探究题 18．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，点为平面内任一点，点的坐标为，若是以为斜边的等腰直角三角形，求点 A 的坐标． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接、，且于点F，与直线交于点，求证：点是的中点． 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】①②④ 5．【答案】①③④ 6．【答案】 7．【答案】①③④ 8．【答案】①②④ 9．【答案】（1）①120； ②依然成立，理由如下； 如图，连接，过作于点，过作于点，设与交于点，则， ∵是等边三角形， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ． （2）解：当时，依然成立， 理由如下：如图，在上取点，使， ， ， 作于点于点， ， ， 在和中 ， ， ， 平分， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 10．【答案】（1）解：∵∠ACB=100°， ∴∠ACD=180°-100°=80°， ∵EH⊥BD， ∴∠CHE=90°， ∵∠CEH=50°， ∴∠ECH=90°-50°=40°， ∴∠ACE=80°-40°=40° （2）证明：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N， ∵BE平分∠ABC， ∴EM=EH， ∵∠ACE=∠ECH=40°， ∴CE平分∠ACD， ∴EN=EH， ∴EM=EN， ∴AE平分∠CAF （3）解：设∠ABE=x ∵BE平分∠ABC ∴∠ABC=2∠ABE=2x ∵∠ACD=80° ∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=80°-2x ∵∠CAF=∠ABC+∠ACB=2x+100°，AE平分∠CAF ∴ ∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=130°-x ∴∠AEB=180°-∠BAE-∠ABE=50° （4）解：∵AC+CD=14，S△ACD=21，EM=EN=EH， ∴S△ACD=S△ACE+S△CED=AC•EN+CD•EH=（AC+CD）•EM=21， 即， 解得EM=3， ∵AB=8.5， ∴S△ABE=AB•EM=． 11．【答案】（1）∵AC=AC，AB=AD，BC=DC， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠DAC=∠BAC， 即AE平分∠BAD （2）40 （3）解：如图， 由得， 设 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 解得：， 12．【答案】（1）证明： ， 在和中 （2）解：过点分别作于点，如图所示： 为的中点，， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， 平分， ， ， ， 由（1）可知， （3）解：由（2）可知 ， ， ，， ， 13．【答案】（1）证明：∵BD，CE是△ABC的高， ∴∠ADB=∠AEC=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°， ∴∠ABD=∠ACE （2）在△ABM和△NCA中， ∴△ABM≌△NCA， ∴∠MAB=∠ANC， ∵∠ANC+∠NAB=90°， ∴∠MAB+∠NAM=90°， 即∠NAB=90°， ∴AN⊥AM （3）过点C分别做CG⊥AB于点G，CH⊥PA交PA的延长线于点H， ∵∠BAC+∠PAC=180°，∠HAC+∠PAC=180°， ∴∠BAC=∠HAC， ∵CG⊥AB，CH⊥PA， CG=CH，∠BGC=∠H=90°， 在△BGC和△PHC中， ∴△BGC≌△PHC， ∴BC=PC 14．【答案】（1）解：证明：设∠AED＝x，则∠ODE＝2x. 在Rt△ADE中，∠ADE＝90−x， ∴∠ADF＝180°−∠ODE−∠ADE＝180°−2x−（90°−x） ＝90°−x＝∠ADE， ∴DA平分∠EDF. （2）解：作AM⊥DE于M，AN⊥y轴于N，作AG⊥x轴于G，交DE于点P，如图所示： ∵A（m，m＋1）， ∴AN＝OG＝m， ∵DA平分∠EDF， ∴AM＝AN＝m， ∵AG∥y轴， ∴∠APD＝∠ODE＝2∠AED， ∵∠APD＝∠AED＋∠PAE， ∴∠AED＝∠PAE， ∴PA＝PE， ∴△PMA≌△PGE（AAS）， ∴AM＝EG， ∴EG＝AN＝OG＝m， ∵AG⊥OE， ∴AG垂直平分OE， ∴AO＝AE. （3）​​​​​​​ 15．【答案】（1）证明：如图1，作于点F，则， ∵， ∴，， ∵E为的中点，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）2 16．【答案】（1）解：． 证明如下：如图，延长，交于点， 平分， ， ∵， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； （2）解：不成立，新结论为：． 证明：延长，交于点， 平分， ， ∵， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ． 17．【答案】（1）证明：过点P作，垂足为C，过点作，垂足为D，过点作，垂足为. ∵平分，，， ∴. ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵的面积是16，， ， ， ， ∴. ∵的面积是24， ∴四边形的面积的面积的面积， ∴ 的面积的面积， ， ∴， ∴， ∴线段与的长度之和为20. 18．【答案】解：（1），. （2）如图，当点A在第一象限时，过作轴于，过作轴于，与相交于， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 设，则， ， ， ，， 点的坐标； 如图，当点A在第四象限时，过作轴于，过作轴于，与相交于， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 设，则， ， ， ，， 又此时点在第四象限，点的坐标， 综上所述，点的坐标为或 （3）如图，作于，于， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $