3.2　第一课时　抛物线的简单几何性质 同步练 2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修 第一册

**基本信息** 本同步练习按基础巩固、综合运用、拓展提高分层设计，梯度合理，覆盖抛物线几何性质核心知识点，从概念理解到综合应用再到拓展探究，助力知识巩固与思维提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|抛物线标准方程、焦点准线、距离计算等单一知识点|选择、多选、填空结合，如第1题求方程，第3题距离最小值，夯实基础| |综合运用|焦点距离、倾斜角、动点问题等综合考点|含多选（第11题）和解答题（第13题），需结合定义与几何性质推理| |拓展提高|含参数的距离最小值问题|解答题（第14题）需分类讨论，培养数学思维与创新意识|

第一课时　抛物线的简单几何性质 一、基础巩固 1.已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是(　　) A.y2＝－11x B.y2＝11x C.y2＝－22x D.y2＝22x 2.(多选)若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标可以为(　　) A. B. C. D. 3.点P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到点A(0，－1)的距离与到直线x＝－1的距离之和的最小值是(　　) A. B.2 C. D. 4.以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0的圆心的抛物线的方程是(　　) A.y＝3x2或y＝－3x2 B.y＝3x2 C.y2＝－9x或y＝3x2 D.y＝－3x2或y2＝9x 5.已知抛物线x2＝8y的焦点为F，点P在抛物线上，且|PF|＝6，Q为抛物线准线与其对称轴的交点，则△PFQ的面积为(　　) A.20 B.16 C.12 D.8 6.(多选)设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标可以是(　　) A.(2，2) B.(1，－2) C.(1，2) D.(2，－2) 7.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线＝1上，则抛物线方程为　　　　.  8.等腰Rt△ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积为　　　　.  9.已知抛物线y2＝2px的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为　　　　.  10.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程. 二、综合运用 11.(多选)设抛物线C:y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|＝3，则直线FA的倾斜角可能是(　　) A. B. C. D. 12.已知抛物线y＝x2上距离点A(0，a)(a>0)最近的点恰好是其顶点，则a的取值范围是　　　　.  13.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6，0)，求抛物线的方程. 三、拓展提高 14.设点A的坐标为(a，0)(a∈R)，求抛物线y2＝2x上的点到点A的距离的最小值. 第一课时　抛物线的简单几何性质 一、基础巩固 1.已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是(　　) A.y2＝－11x B.y2＝11x C.y2＝－22x D.y2＝22x 答案　C 解析　在方程2x－4y＋11＝0中，令y＝0，得x＝－，∴抛物线的焦点为F， 设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)， 则，∴p＝11， ∴抛物线的方程是y2＝－22x，故选C. 2.(多选)若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标可以为(　　) A. B. C. D. 答案　BD 解析　由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，则有|PO|＝|PF|，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而F，所以点P的横坐标为，代入抛物线方程得y＝±，故点P的坐标为，故选BD. 3.点P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到点A(0，－1)的距离与到直线x＝－1的距离之和的最小值是(　　) A. B.2 C. D. 答案　D 解析　依题意设P在抛物线准线上的投影为P'，抛物线的焦点为F，则F(1，0).由y2＝4x可知x＝－1是抛物线的准线，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|＝|PF|，则点P到点A(0，－1)的距离与点到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝. 4.以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0的圆心的抛物线的方程是(　　) A.y＝3x2或y＝－3x2 B.y＝3x2 C.y2＝－9x或y＝3x2 D.y＝－3x2或y2＝9x 答案　D 解析　圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝1，圆心为(1，－3)， 由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2py(p>0). 把(1，－3)代入得9＝2p或1＝6p， 所以p＝或p＝， 所以y2＝9x或x2＝－y. 即y2＝9x或y＝－3x2. 5.已知抛物线x2＝8y的焦点为F，点P在抛物线上，且|PF|＝6，Q为抛物线准线与其对称轴的交点，则△PFQ的面积为(　　) A.20 B.16 C.12 D.8 答案　D 解析　由x2＝8y，可知抛物线的焦点为F(0，2)，准线方程为y＝－2，所以Q(0，－2).设P(m，n)，由|PF|＝6得n＋2＝6，所以n＝4，所以m＝±4，则S△PFQ＝×|FQ|×|m|＝×4×4＝8. 6.(多选)设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标可以是(　　) A.(2，2) B.(1，－2) C.(1，2) D.(2，－2) 答案　BC 解析　由题意知F(1，0)，设A，则，由·＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为(1，±2). 7.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线＝1上，则抛物线方程为　　　　.  答案　y2＝±8x 解析　由题意知抛物线的焦点为双曲线＝1的顶点，即为(－2，0)或(2，0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x. 8.等腰Rt△ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积为　　　　.  答案　4p2 解析　设点A在x轴上方，则由抛物线的对称性及OA⊥OB知，直线OA的方程为y＝x，AB⊥x轴.由得A(2p，2p)，所以B(2p，－2p)，|AB|＝4p，所以S△ABO＝×4p×2p＝4p2. 9.已知抛物线y2＝2px的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为　　　　.  答案　2或－14 解析　∵抛物线方程为y2＝2px，∴其焦点在x轴上，又∵圆(x－3)2＋y2＝16与x轴的交点为 (－1，0)和(7，0)，由题意知准线方程为x＝－1或x＝7，即焦点为(1，0)或(－7，0)，∴＝1或 －7，解得p＝2或－14. 10.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程. 解　设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)， 设A(x0，y0)，由题意知M. 因为|AF|＝3，所以y0＋＝3， 因为|AM|＝， 所以＝17， 所以＝8， 又y0＝3－，代入方程＝2py0得， 8＝2p，解得p＝2或p＝4. 所以抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y. 二、综合运用 11.(多选)设抛物线C:y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|＝3，则直线FA的倾斜角可能是(　　) A. B. C. D. 答案　AC 解析　如图，设抛物线的准线为l，作AH⊥l于H，则|AH|＝|FA|＝3，作FE⊥AH于E，则|AE|＝3－，在Rt△AEF中，cos ∠EAF＝，所以∠EAF＝，即直线FA的倾斜角为，同理点A在x轴下方时，直线FA的倾斜角为，故选AC. 12.已知抛物线y＝x2上距离点A(0，a)(a>0)最近的点恰好是其顶点，则a的取值范围是　　　　.  答案　(0，1] 解析　设点P(x，y)为抛物线上的任意一点，则点P离点A(0，a)的距离的平方为|AP|2＝x2＋(y－a)2＝x2＋y2－2ay＋a2. 因为x2＝2y， 所以|AP|2＝2y＋y2－2ay＋a2＝y2＋2(1－a)y＋a2(y≥0). 因为离点A(0，a)最近的点恰好是顶点， 所以a－1≤0，解得a≤1. 又a>0，所以0<a≤1. 13.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6，0)，求抛物线的方程. 解　设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则其准线方程为x＝－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵|AF|＋|BF|＝8， ∴x1＋＋x2＋＝8， 即x1＋x2＝8－p. ∵Q(6，0)在线段AB的中垂线上， ∴|QA|＝|QB|， 即＝， 又＝2px1，＝2px2， ∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0. ∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2. 故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0， 即p＝4. ∴抛物线方程为y2＝8x. 三、拓展提高 14.设点A的坐标为(a，0)(a∈R)，求抛物线y2＝2x上的点到点A的距离的最小值. 解　设曲线上任一点M的坐标为(x，y)，点M到点A的距离为d，则d2＝(x－a)2＋y2＝x2－(2a－2)x＋a2＝[x－(a－1)]2＋(2a－1). 令f(x)＝[x－(a－1)]2＋(2a－1)，则它是关于x的二次函数，其图象的对称轴的方程为x＝a－1. 因为x∈[0，＋∞)， 所以当a≥1时，f(x)min＝2a－1， 即dmin＝; 当a<1时，f(x)min＝a2，即dmin＝|a|. 综上所述，抛物线y2＝2x上的点到点A的距离的最小值为 学科网（北京）股份有限公司 $