2.3.1抛物线及其标准方程、2.3.2抛物线的简单几何性质练习-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

抛物线及其标准方程、抛物线的简单几何性质 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知点在抛物线上，F是抛物线C的焦点.若，则( ) A.4 B.2 C.8 D. 2.已知抛物线的准线为l，直线，动点M在C上运动，记点M到直线l与的距离分别为，，则的最小值为( ) A. B. C. D. 3.已知点F为抛物线的焦点，P为C上一点，若，则P点的横坐标为( ) A. B.2 C. D.3 4.抛物线的准线为l，M为C上的动点，则点M到l与到直线的距离之和的最小值为( ) A. B. C. D. 5.若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 6.某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）.已知接收天线的口径（直径）为2.4，深度为0.4，则该抛物线的焦点到顶点的距离为( ) A.0.9 B.1.8 C.1.2 D.1.05 二、选择题：本题共4小题.每小题6分.共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7.已知抛物线，过C的焦点F作直线，若C与l交于A，B两点，，则下列结论正确的有( ) A. B. C.或 D.线段中点的横坐标为 8.已知抛物线（）的焦点为，，是C上不同的两点，则( ) A.C的方程为 B.点F到C的准线距离为4 C.的最小值为4 D.若A，B，F共线，则的最大值为-4 9.设抛物线的焦点为F.点M在y轴上，若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点M的坐标可以为( ) A. B. C. D. 10.过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，B在线段上，若，且，O为原点则下列说法正确的是( ) A. B.以为直径的圆与准线相切 C.直线l斜率为 D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 11.抛物线的焦点到准线的距离是____________. 12.已知A为抛物线（）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则C的焦点坐标为______. 13.已知抛物线的顶点和焦点分别为O，F，则以线段为直径的圆的方程是__________. 14.抛物线焦点为F，A，B为抛物线上两点，抛物线在A，B处的切线交于点C，且，，则_____________. 四、解答题：本题共1小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15.已知抛物线过点，过点作直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，过点A作x轴的垂线分别与直线OP，OB交于点M，N，其中O为原点. （1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）证明：M为线段的中点. 1.答案：A参考答案 解析：根据抛物线的定义，得，解得.将点的坐标代入，得或-4（舍去）故选：A 2.答案：B 解析：设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义可知.设于点，则.当M，N，F三点共线，且M在N，F中间时，取得最小值.由抛物线，得，所以的最小值为.故选：B. 3.答案：C 解析：抛物线C的方程为，，可得，设，由抛物线的定义得，所以，故选：C. 4.答案：D 解析： 如图，抛物线的焦点为，根据抛物线的定义可知，点M到l的距离等于，所以点M到l与到直线的距离之和，即为与M到直线的距离之和，由图可知，与M到直线的距离之和的最小值为焦点到直线l的距离，所以即为所求，故选：D. 5.答案：D 解析：∵点P到点的距离比它到直线的距离大1，∴点P到点的距离等于它到直线的距离，∴点P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，则点P的轨迹方程是.故选：D. 6.答案：A 解析：如图所示，在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上， 设抛物线方程为，代入，所以，解得，所以抛物线方程为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为.故选：A 7.答案：ABD 解析：抛物线的焦点F在x轴上，过F作直线，可知，则，得，A选项正确； 抛物线方程为，直线l的方程代入抛物线方程，得.设，， 由韦达定理有，，，得，解得，，或，，则或，C选项错误； 则，，线段中点的横坐标为，D选项正确； ，，B选项正确.故选：ABD. 8.答案：BD 解析：由，得，C的方程为，A错误； 根据抛物线的性质知，点F到C的准线距离为，B正确； 由抛物线上点到焦点距离最小点为顶点，故，又A，B为不同点，故，C错误； 设直线AB的方程为，与联立，得，所以，则，当且仅当且时取等号，D正确.故选：BD 9.答案：BC 解析：设，易知，则，过点B作准线的垂线，垂足为，如图所示： 则，解得，抛物线方程为，且，又点B在抛物线上，，解得.点M的坐标为或.故选BC. 10.答案：ABD 解析：由题意，不妨设A在第一象限，分别过A，B作，垂直于准线l，垂足分别为D，E，作图如下： 对于A，由图可知，，在中，由，则，易知，在中，，由，则F为线段的中点，即在中，，所以，故A正确； 对于B，由A易知，由，则，即，所以以为直径的圆的半径，在直角梯形中，中位线的长度为，则以为直径的圆的圆心到准线l的距离，故B正确； 对于C，由A可得，则直线的倾斜角为，即斜率为，当A在第四象限时，同理可得斜率为，故C错误； 对于D，，故D正确；故选：ABD. 11.答案：4 解析：抛物线的焦点是，准线方程是，所以焦点到准线的距离是4. 12.答案： 解析：设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，又，，所以抛物线C的焦点坐标为.故答案为：. 13.答案： 解析：由抛物线可得：顶点坐标为，焦点坐标为.所以线段的中点坐标为，.则以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径为，所以以线段为直径的圆的方程为：.故答案为：. 14.答案： 解析：设，，设A处的切线方程为，与抛物线方程联立可得，则，化简可得，故，因此方程为，即，同理可得，则，解得，由于，所以 ，故，故答案为： 15.答案：（1）抛物线C的方程为，焦点，准线 （2）证明见解析 解析：（1）因为抛物线过点， 所以，解得，所以抛物线C的方程为， 所以抛物线C的焦点为，准线为 （2）设，， 因为过点作直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l斜率存在， 所以，即， 所以，则， 因为，所以，又由，得 则过点A作x轴的垂线为，直线，，所以，， 所以， 所以， 又因为A，M，N三点都在上，所以M为线段的中点得证 学科网（北京）股份有限公司 $