1.2　第二课时　椭圆简单几何性质的综合应用 同步练 2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修 第一册

**基本信息** 本同步练习聚焦椭圆几何性质综合应用，分基础巩固、综合运用、拓展提高三层，梯度清晰，覆盖从概念理解到实际应用的知识路径，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|椭圆定义、离心率、标准方程|以选择填空为主，如椭圆方程求解，夯实概念理解| |综合运用|轨迹问题、实际情境应用|结合卫星轨道、水池设计等情境，提升模型观念| |拓展提高|最值问题与综合证明|通过最值推导深化逻辑推理，发展创新意识|

第二课时　椭圆简单几何性质的综合应用 一、基础巩固 1.已知椭圆C2过椭圆C1：＝1的两个焦点和短轴的两个端点，则椭圆C2的离心率为(　　) A. B. C. D. 2.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 3.长为2的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点A关于点B的对称点M的轨迹方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 4.中国是世界上最古老的文明中心之一，对世界最重要的贡献之一就是发明了瓷器.中国陶瓷是世界上独一无二的，它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术.陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为(　　) A.8 B.2 C.4 D.4 5.(多选)F1，F2为椭圆C的两个焦点，椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则椭圆C的方程可以是(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 6.(多选)某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆(地球看作是球体)，测得近地点A距离地面m km，远地点B距离地面n km，地球半径为R km，关于这个椭圆有下列说法，正确的有(　　) A.长轴长为m＋n＋2R B.焦距为n－m C.短轴长为 D.离心率e＝ 7.在平面直角坐标系中，已知△PAB的两个顶点坐标分别是A(2，0)，B(－2，0)，若两边PA，PB的斜率之积为－，则顶点P的轨迹方程为　　　　.  8.点P在焦点为F1(－4，0)和F2(4，0)的椭圆上，若△PF1F2面积的最大值为16，则椭圆的标准方程为　　　　.  9.已知F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为　　　　.  10.已知椭圆C：＝1(a>b>0)的焦距为2，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点A(0，1)，点B在椭圆C上，求线段AB长度的最大值. 二、综合运用 11.(多选)人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论正确的是(　　) A.卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c] B.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D.卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 12.已知A(2，)是椭圆＝1上一点，F是椭圆的右焦点，设点F到直线x＝4的距离为d，则m＝　　　　，＝　　　　.  13.如图，某区新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个水池，水池边缘由两个半椭圆＝1(x≤0)和＝1(x≥0)组成，其中a>b>9，水池边缘内切于矩形(即水池边缘与矩形各边均有且只有一个公共点). (1)求两个半椭圆的方程； (2)在该水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t(t∈(0，15))，求该网箱所占水面面积的最大值. 三、拓展提高 14.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P到椭圆的最远距离是，求椭圆的标准方程. 第二课时　椭圆简单几何性质的综合应用 一、基础巩固 1.已知椭圆C2过椭圆C1：＝1的两个焦点和短轴的两个端点，则椭圆C2的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　椭圆C1：＝1的焦点为(±，0)，短轴的两个端点为(0，±3)，由题意可得椭圆C2：a＝3，b＝，从而c＝＝2，即离心率e＝，故选A. 2.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　D 解析　因右焦点为F(1，0)，故椭圆的焦点在x轴上且c＝1.又离心率为，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆的方程为＝1，故选D. 3.长为2的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点A关于点B的对称点M的轨迹方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　D 解析　设点M(x，y)，点A(m，0)，B(0，n)， 由题意得解得 又m2＋n2＝4，故x2＋＝4， 即＝1. 4.中国是世界上最古老的文明中心之一，对世界最重要的贡献之一就是发明了瓷器.中国陶瓷是世界上独一无二的，它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术.陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为(　　) A.8 B.2 C.4 D.4 答案　C 解析　由题图可设瓷盘所在椭圆的方程为＝1(a>b>0)，易知长轴长2a＝8，短轴长2b＝4，所以a＝4，b＝2，所以c＝2，因此焦距为4，故选C. 5.(多选)F1，F2为椭圆C的两个焦点，椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则椭圆C的方程可以是(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　ACD 解析　结合选项设椭圆的方程为＝1(a>b>0)，椭圆的上顶点为B. ∵椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°， ∴需使∠F1BF2≥90°， 则需|BF1|2＋|BF2|2≤|F1F2|2， 即a2＋a2≤4c2，∵c2＝a2－b2，∴a2≥2b2， ∴A，C，D中方程满足.故选ACD. 6.(多选)某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆(地球看作是球体)，测得近地点A距离地面m km，远地点B距离地面n km，地球半径为R km，关于这个椭圆有下列说法，正确的有(　　) A.长轴长为m＋n＋2R B.焦距为n－m C.短轴长为 D.离心率e＝ 答案　ABD 解析　由题意，得n＋R＝a＋c，m＋R＝a－c，可解得2c＝n－m，a＝，2a＝m＋n＋2R.所以2b＝2＝2，e＝，故ABD正确，C不正确，故选ABD. 7.在平面直角坐标系中，已知△PAB的两个顶点坐标分别是A(2，0)，B(－2，0)，若两边PA，PB的斜率之积为－，则顶点P的轨迹方程为　　　　.  答案　＝1(x≠±2) 解析　设顶点P的坐标为(x，y). 依题意有kPA·kPB＝·＝－(x≠±2)， 化简得＝1(x≠±2)， 所以顶点P的轨迹方程为＝1(x≠±2). 8.点P在焦点为F1(－4，0)和F2(4，0)的椭圆上，若△PF1F2面积的最大值为16，则椭圆的标准方程为　　　　.  答案　＝1 解析　由题意2c＝8，即c＝4. 因为△PF1F2面积的最大值为16， 所以×2c×b＝16， 即4b＝16，b＝4， 所以a2＝b2＋c2＝16＋16＝32. 所以椭圆的标准方程为＝1. 9.已知F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为　　　　.  答案　8 解析　根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形.设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8. 10.已知椭圆C：＝1(a>b>0)的焦距为2，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点A(0，1)，点B在椭圆C上，求线段AB长度的最大值. 解　(1)依题意，得2c＝2，所以c＝，离心率e＝，所以a＝2， 所以b＝， 所以椭圆C的标准方程为＝1. (2)设B(x，y)，则＝1， 所以x2＝4＝4－2y2，y∈[－]. 由两点间的距离公式， 得|AB|＝＝ ＝， 所以当y＝－1，x＝±时，线段AB的长度最大，为. 二、综合运用 11.(多选)人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论正确的是(　　) A.卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c] B.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D.卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 答案　ABD 解析　根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确；由卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，当卫星在左半椭圆弧运行时，由面积守恒规律知时间更长，B正确；－1，当比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C错误；根据面积守恒规律可知，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D正确，故选ABD. 12.已知A(2，)是椭圆＝1上一点，F是椭圆的右焦点，设点F到直线x＝4的距离为d，则m＝　　　　，＝　　　　.  答案　8　 解析　A(2，)是椭圆＝1上一点，代入可得＝1，解得m＝8.所以c＝＝2，所以F(2，0).所以|AF|＝.点F到直线x＝4的距离为d＝2，. 13.如图，某区新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个水池，水池边缘由两个半椭圆＝1(x≤0)和＝1(x≥0)组成，其中a>b>9，水池边缘内切于矩形(即水池边缘与矩形各边均有且只有一个公共点). (1)求两个半椭圆的方程； (2)在该水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t(t∈(0，15))，求该网箱所占水面面积的最大值. 解　(1)由题意知b＝15，a＋9＝34， 解得a＝25，b＝15. 所以两个半椭圆的方程分别为＝1(x≤0)和＝1(x≥0). (2)设P(x0，t)为矩形在第一象限内的顶点，Q(x1，t)为矩形在第二象限内的顶点， 则＝1，＝1， 可得x1＝－x0. 所以内接矩形的面积 S＝2t(x0－x1)＝2t×x0 又＝1， ∴＝92×， ∴x0＝， ∴S＝2t×× ＝≤× ＝×＝34×15＝510， 当且仅当t2＝152－t2， 即t2＝时取“＝”. S取最大值510. 所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米. 三、拓展提高 14.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P到椭圆的最远距离是，求椭圆的标准方程. 解　依题意可设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)， 则e2＝＝1－， 所以，即a＝2b. 设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，则 d2＝x2＋＝a2＋y2－3y＋ ＝－3＋4b2＋3，－b≤y≤b. 若0<b<，则当y＝－b时，d2有最大值，从而d有最大值，于是()2＝， 从而可得b＝>，与0<b<矛盾. 所以必有b≥，此时当y＝－时，d2有最大值，从而d有最大值， 所以4b2＋3＝()2， 解得b2＝1，则a2＝4. 于是所求椭圆的标准方程为＋y2＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $