第1章 反比例函数（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 初中数学反比例函数单元提升卷，通过基础与综合题梯度设计，结合茶吧机水温、氦气瓶压力等真实情境，考查反比例函数定义、图像性质及综合应用，适配单元复习，培养模型意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|反比例函数定义、图像上点坐标、图像性质|结合等腰直角三角形几何背景（第4题），考查几何直观| |填空题|8/16|函数解析式、不等式解集、实际问题（气体压强）|通过图像平移（第13题）考查抽象能力| |解答题|11/68|函数关系建立、图像综合、几何与函数结合（矩形、平行四边形）|以茶吧机水温（第5、18题）、氦气瓶压力（第21题）为情境体现模型意识；26题“K形图”模型运用培养推理能力|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章反比例函数（高效培优单元自测·提升卷) （考试时间：120分钟试卷满分：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1.下列函数中，一定是反比例函数的是() A.y=2 2 B.y= C.y= D.少=4 2.若点(2,5)在反比例函数y=的图象上，下列哪个点也在反比例函数图象上（） A.(2,5) B.（-5,-2) c(2-5) D.（5,2) 若2小B(13小C)三点郑在西数=子的图象上，则片的大小关系是{) A.乃<y<h B.片<h<⅓ C.H<为<乃 D.无法确定 4 4.如图是反比例函数y=(x>0)的图象，等腰Rt△ABC的直角顶点A恰好在图象上，点B和点C分别落 在y轴和x轴上，则点A的坐标为() 512 A.(3,2) B.(2,3) C.(2,2) D.(25 5.如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时 水温(C)与通电时间(min), 成反比例关系.当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时 接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是()， 119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A/C 100 20 x/min A.水温从20rC加热到0℃，需要3mimB.水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=400 C.接通电源后，16min时，水温为25℃D,在一个周期内水温不低于40℃的时间为8min 6函数少 x与y=-+k(K≠0)在同一坐标系内的图象大致为图中的() 7如图，在矩形ABCD中，点BC在x箱上，点AD分别在反比例函数=号和 和y=文上，若矩形 ABCD的面积为6，则k的值是() A B A.-2 B.2 C.-4 D.4 8.在平面直角坐标系中，A、B两点关于y轴对称，以AB为边在x轴上方作平行四边形ABCD,点D恰 219 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 好落在y轴上，反比例函数'工交边CD于点E,交边BC于点F:点p是平行四边形ABCD内任一点， 连接PA、PB、PC、PD、P0.若DE:EC=23,且25am+Sm=25 ,则的值为() A.10 B.20 C.-10 D.-20 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.若函数y=的图象经过点(2，m),则m= 10.如图，一次函数y=-x+b的图象与反比例函数乃=(k≠0)的图象交于A(-1,2),B(2,-1)两点，则 关于x的不等式+b> 的解集是 11.某物理兴趣小组通过实验发现气体的压强P(单位：Pa)是体积'（单位：mL)的反比例函数， 其图象如图所示.当压强为40kPa时，气体的体积为mL, 3/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 p/kPa 100-- 020 V/mL 12.已知点4Gy)B(,y小C6,)在反比例函数=-m x（m为任意实数)的图象上，且 <0<名<5，则片，少，乃的大小关系为 13.如图，己知点 A(2,2) 在双曲线上，将线段OA沿轴正方向平移，若平移后的线段OA与双曲线的交 点D恰为OA'的中点，则平移距离OO'长为 14.函数y= 末（飞≠0)和y= 一生（么，0）的部分图像如图所示，点1在)=真的图像上，过点4作 8y文特于点C,空点 x的图像于点B,如果BC=2AC,那么k2的值是 B 15.如图，一次函数片=：+bk≠0)的图象与反比例函数4-是（如≠0）的图象交于点4(-2,5)，C6,m), 交y轴于点B,交x轴于点D.连接OA,OC,则S△4oC=」 419 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16,丸图。在。AOB中，ABr轴。点C为O4的中点，国数y-6>0)的图家经过BC两点，过点B 作OA的平行线交y轴于点D,连接CD,若△COD的面积为2，则k的值为 B 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18题6分，19题4分，20-21每题5分，22-25 题每题6分，26题11分，27题10分。 17.写出下列各问题中的函数关系式，并指出它们是什么函数： (1)三角形的面积 (cm）是常数时，它的某一边的长(cm)是该边上的高 cm)的函数： ②百米赛跑中，某运动员的平均速度'(mS 是他的成绩) (跑完全程的时间)的函数. 18.如图是某饮水机通电开机后，水温(C 与开机时间（分）之间的关系图象，当加热到100℃时自 动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间x(分)成反比例，当水温降至20C时，饮水 机又自动开始加热…，重复上述过程。 ↑y/℃ 100 20 芬 ①当0≤x≤8时，求水温（©）关于开机时间：（分）的一次函数解析式。 (2)求t的值. 519 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)上午8：00（水温20℃），饮水机开机通电后到中午12：30，水温共有几次达到100℃？ m-1 19.已知反比例函数y= 的图象经过点（-2,4) (1)求m的值； (4,-2) (2)判断点 是否在该函数的图象上，并说明理由. 20.已知'与+1成反比例，且其函数图象经过点 1,1) (1)求y关于x的表达式： (2)当y=4时，求x的值。 21.庆典气球需要安全且能飘升，氦气作为一种惰性气体，常被用于填充庆典气球.某次庆典活动，主办 方需要5千克氨气来填充气球，已知氦气瓶的容量'（升）跟压力P(标准大气压)之间成反比例关系， 图示如图所示。 P(标准大气压) 96 0 250 升) (1)试确定P与V之间的函数表达式： (2)运输过程中，安全考虑，氦气瓶内气体不能超过120个标准大气压，氦气瓶容量要满足什么条件？ 2.如图，。ABCD的顶点A64),C亿，D84,反比例函数-产x>0的图象经过点A (1)求反比例函数的表达式. (2)将口ABCD向上平移个单位长度，当点B落在反比例函数的图象上时，求m的值. 23.如图，一次函数的图象与反比例函数y= 《x<0的图象交于点4仁1,6，与y轴的正半轴交于点 6/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B(0,2) BC∥x AC OA OC 过点B作. 轴交反连接， B (1)求反比例函数的表达式： (2)求点C的坐标： (3)求△AOC的面积. 24.如图，已知一次西数=+b(0)的图象交x轴于点C,交y轴于点D且OC=3,0D-=1.一次函 数男=瓜+bk≠0)与反比例函数片=（m子0)的图象交于么B两点，其中点B的横坐标为3. (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)将直线AB向上平移2个单位长度后，与x轴交于点E,连接AE,BE,求△ABE的面积： )观察函数图象，请直接写出c+b-”≤0的解集， k 25.如图1，在平面直角坐标系xO中，直线y=-2x+b与反比例函数y=x的图象交于A(4,2八B两点. 719 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 图1 图2 (I)求反比例函数的表达式及点B的坐标： (2)直线y=-2x+b与y轴交于点E,在x轴上找一点P,使得PE+PB最小，求P点坐标，并求出最小值； (3)如图2，C为第二象限内反比例函数图象上的点，且C点在A点右侧，连接AC、BC,当△ABC的面积 为30时，求点C的坐标. 26.【模型认识】如图1，等腰直角△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC,直线DE经过点A,过C作 CD⊥DE于点D,过B作BE⊥DE于点E,易证得△CDA≌△AEB,因直线DE,线段AC,线段AB组成 的图形形似字母“K”，所以我们将这个模型称为“K形图”，我们可利用这个模型来解决一些问题： M ■ 图1 图2 图用图 【模型运用】 (I)如图1，在等腰Rt△ACB中，∠CAB=90°，AC=AB,以A为原点作平面直角坐标系，DE与x轴重合， 点C(-2,) 求点M的坐标： (②)如图2，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+2的图象交x轴于点A,交'轴于点B,将点B绕点A 顺时针旋转0得到点分·分恰好是反比例函数)=图象上的一点，求此反比例函数的表达式和百线 AB的函数表达式： 8/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)在(2)的条件下，点P是直线AB上的一点，点P是直线AB上的一点，连接OP,P吧，O0,当 △OPQ ∠OPQ=90°OP=PQ 满足 时，请直接写出此时点的坐标 27.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=:+2(k为常数，k≠0)的图象与x轴，y轴分别交于A, 两点，与反比例函数yX（>0)的图象交于点C2,a,OB2 B (1)求一次函数和反比例函数的解析式： ②点D1,b)在反比例函数y=” =x（x>0)的图象上，则a -b(填“><一”)： (3)直接写出不等式x+2≥ x(x>0)的解集； (4)点P在x轴的正半轴上，连接CP,若△ACP是以AC为腰的等腰三角形，直接写出△ACP的面积. 9/9函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章反比例函数（高效培优单元自测·提升卷） (考试时间：120分钟试卷满分：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C D B B D 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.2 10.x<-1或0<x<2 11.50 12.片<⅓<片>为>为2 13.3 1 14.-2/-0.5 21 15.2 6 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18题6分，19题4分，20-21每题5分，22-25 题每题6分，26题11分，27题10分。 17.(1) 函数关系式为y 25 x (x>0),是反比例函数 (2) 函数关系式为= 乙，>0)，是反比例函数 1 【详解】(1)解：S= 2少， 2 ..y= x(x>0), S是常数且S≠0， 1/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.2S是常数且2S≠0， y是x的反比例函数， (2)解：t=100. -100e>0), ,.v= 100是常数且100≠0， .v是t的反比例函数. 18.(1)y=10x+20 (2)1=40 (3)水温共有7次达到100℃ 【详解】(1)解：由图象可知，当时间x=0时，y=20；当时间x=8时，y=100, 当0≤x≤8时，设y=a+b, 将020)(&10) 别代入， [20=b 得100=8k+b, b=20 解得k=10, 所以温度(C)关于开机时间（分）的函数关系式为=10x+20。 (2)解：由图象知当8≤≤t时，在水温下降过程中，水温 (C)是关于开机时问（分）的反比例函数， 设y= x' 把点(8,10)代入，得100= 8 解得m=800, 800 ..y= x 当y=20时，20=800 x 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得x=40, .t=40 (3)解：结合图象，可知每40分钟图象重复出现一次，8：00到12：30经历270分钟， 270÷40=6…30, 共经历了6个周期余30分钟， 所以水温共有7次达到100℃. 19.(1)m=-7 (2)在该函数图象上，理由见解析 【详解】（山)解：将点（←2,4）代入y=m 得4=m1 -2 解得m=-7: 4,-2) (2)解：点 在该函数图象上， 理由：由（山）得函数解析式为少=8 当x=4时，少=8 =-2,与点的纵坐标一致， .(4,-2) 点 在该函数图象上. 2 20.(1)y= x+1 1 (②)x=-2 【详解】(1)解：：y与x+1成反比例 设y= k（k+0) x+ 1,1) ·函数图象经过点 k 解得k-2 3/16 函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 心y关于x的表达式为y=2 x+1: (2)解：当y=4时，则x+1, =4 1 解得x=一2· 24000 21.(1)P= V (2)不低于200升 【详解】(1)解：设P= 把(250,96)代入上式得：96=，m 250· 解得m=24000。 :P与r之间的函数表达式为：P-24000 （②解：当p=120时，V-2400=200 120 ∴钢瓶的容积要求不低于200升. 22.(①y=12 x (2)m=5 【详解】()解：反比例数y->0)的图象经过点48,4 3· ∴.k=12」 小反比例函数的表达式为y=12 (2)解：，四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC,AD=BC. .4(3,4)D8,4) .BC=AD=5,BC∥AD∥x轴. 4/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .C(,) .B(2,1) :口ABCD向上平移个单位长度， 2,1+m) ∴.平移后点B的坐标为 ·平移后点B落在反比例函数的图象上， 12 1+m= 2. ∴.m=5 23.0y=6 (x<0) (2)点C的坐标为(-3,2) (3)8 【详解1山解：将点L0代入y-至 (x<0). .k=-1×6=-6, 6 反比例函数的表达式为y=- (x<0) (2)解：BCx轴， .点C的纵坐标为2， 6 点C在反比例函数y=-x<0)的图象上， 2=-6 x' 解得x=-3, ∴点C的坐标为(-3,2)： (3)解：如图，分别过点A,C作x轴的垂线，垂足分别为点M,N, 5/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点A的坐标为 ,点C的坐标为 MO (-1,6) (-3,2) ∴.MN=-1-(-3)=2,CN=2,AM=6 SCON =SAOM 由反比例函数的性质可知， 1 ·.S△AOc=S梯形Anc= ·MN.(CN+AM) 1 =。×2×(2+6)=8 2 24.(①=3-l:为=6 (②3s=9 (3)-6≤x<0或x≥3 【详解】(1)解：~OC=3,0D=1, ∴.C(-3,0),D(0,-1) 把C(-3,0),D0,-1)代入”=+b(k≠0)， [0=-3k+b 得-1=b, k= 3 解得b=-1· 1 所以一次函数解析式为少=一3x-1: 6/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 当x=3时，4=3×3-1=-2， .B(3,-2) 把B6,-2)代入为-织m≠0)，可得m=6 所以反比例函数解析式为，片=6 x i (2)解：列方程3-1=6， 1 1=-6x2=3 解得 .A(-6,1) 直线4B向上平移2个单位长度后，解折式为y=青-1+2=写x+1, 令0三3+1，解得3， ∴.E(3,0) BE=2, [3-(-6)]xBE .S。ABE= 9 2 (3)解：整理c+b-≤0，可得+b≤” x' 观察函数图象，则a+b≤ x的解集为-6≤x<0或x≥3： 8 25.(1)y=- , B(1,-8) a 197 ⊙48) 7/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：将 (-42到代入直线=-2+b得，-2x(-+b=2 解得b=6, ∴.一次函数的解析式为y=-2x-6, 再将4(4,2)代入y=元得，K=-4×2=-8: 二反比例函数的解析式为少=-8 y=-2x-6 8 联立y=- 得2x2+6x-8=0 解得： x1=-4 （舍去)，51 :B0,-8) (2)解：在y=-2r-6中，当x=0时，=-6，则E(0,-6), 作点B关于x轴的对称点E,则E'(Q,6), 图2 根据轴对称性质，PE=PE, ∴PE+PB=PE'+PB. 当E'、P、B三点在一条直线上时，PE+PB的值最小，最小值为线段E'B的长度. E'B=V1-02+(-8-6}=197」 8/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PE+PB V197 的最小值为 设直线E'B的方程为y=mx+C -8=m+c 将E'(0,6)和BL,-8)代入y=mx+c得6=c m=-14 解得c=6. ∴直线EB的方程为y=-14x+6 令y=0,得0=-4r+6,解得x3 点P的坐标为 (3)解：如图，过C作CT∥y轴交AB于点T, 8 Cc,- 设（’c,(c<0),则T(c,-2c-6), :c7=-8+2c+6 9/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =-1c2=4 解得 (舍去)， -1,8) ∴点C的坐标为 a》 ②反比例函数的表达式为=，直线B的函数表达式为》乞”-2： 11 5层钱)xg到 【详解】(I)解：CD⊥DE,BE⊥DE, ∴∠CDA=∠AEB=90°， ∠CAB=90° .∠CAD=90°-∠BAE=∠ABE, ·AB=AC, :ACDA≌△AEB(AAS) y M B D E 图1 ∴CD=AE,AD=BE “点C(-2) .AE=CD=1,BE=AD=2 .B(1,2) 设直线BC的解析式为y=a+b, 10/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k+b=2 -2k+b=1, 解得 5, b= 3 :直线C的解折式为y写方+ 3 5 当x=0时，y=3, 5 0, ∴点M的坐标为3 (2)解：过点B作B'S⊥x轴于点S, B S 图2 由题知∠BAB'=90°， 由(1)同理可证，△ABO≌aBAS, “一次函数 =-2x+2 A 的图象交”轴于点“，交轴于点， 且当x=0时，y=2,当y=0时，x=1, 0B=2,01=1,即1,0) .B'S=OA=1,SA=OB=2 .OS=1+2=3, 11/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·.B'(3,1) 设反比例函数的表达式为少= F和直线4B的函数表达式为y=kx+b, =3×1=3 则 “反比例函数的表达式为= x, [3k2+b2=1 又有k2+b2=0, 1 k= 2 解得 。1, b,=-2 .1 :直线4B的函数表达式为y=2 2 (3)解：设点P的坐标为 m,-2m+2) 过点O作OT⊥AB于点T,过点P作PR⊥OA于点R, ①当点P在x轴上方时， y B B O R x :∠BAB'=90°=∠OTP∠OPQ=90° ∴.∠OPT=90°-∠APQ=∠PQA ..OP=PO ∴.aOPT≌aPQA(AAS) ∴OT=PA, 12116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OA=1,0B=2 .AB=VP+22=5 S.m=OA.OB4B-OT 22 即v507=2 a07=36 解得 5, :PA=0r= 5, PR=-2m+2,OR=m ∴.AR=1-m, PR2+AR2=PA2 (2+2r0-m时-2s5. 3 解得m=5或m=5>1(舍去)， 34 点P的坐标为55： ②当点P在x轴下方时， B B 13116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理可求得m= 5 时P的坐标为5人 茶1阳，点P的标得)尽-到 27,()一次函数的解析式：y=-2x+2:反比例函数的解析式：y=-4 (2)> 3)0<x≤2 ④5或2 【详解】(1)解：对于一次函数y=a+2, 令x=0,得y=2, 因此B(0,2),OB=2. 由0B=20A,得0A=1, 又，A在x轴正半轴， .AL,0) 把A1,0)代入y=c+2,得0=k+2, 解得k=-2, 因此一次函数解析式为y=-2x+2, 把C(2,a)代入y=-2x+2,得a=-2×2+2=-2, 即C(2,-2) 无C2,-2代入=经.得m=2x-2=4 14116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 因此反比例函数解析式为y=-(x>0). (2)解：把D16)代入y=-4 x,得b=-4 已知0=-2，-2>-4， 因此a>b. (3)解：不等式c+2之表示>0时，一次函数图象在反比例函数图象上方《含交点). 两个函数交点为C(2,-2). 结合图象可得解集为0<x≤2」 (4)解：设P(p,0(p>0), 己知41,0)，C(2,-2), 计算得1C=V2-)2+(-2-0=V5 △ACP以AC为腰，分两种情况： AC=APAP=AC=5 即p-1=5 p>0 得P=1+V5 (负根舍去)， :P=5 △ACP的高为C到x轴的距离2， 面积5=×5x2=5 AC=CPCP=AC=5 即Vp-2)'+(0+2=V5 15116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得P=3(p=1与A重合，舍去)， ,AP=3-1=2」 面积S=2×2×2=2, 因此4AC 的面积为2或5 16116 第1章 反比例函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．下列函数中，一定是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义逐一判断选项即可，反比例函数的定义为：形如，其中为常数且的函数是反比例函数． 【详解】解：选项A、是正比例函数，不符合反比例函数定义，故A错误； 选项B、符合反比例函数定义，常数，故B正确； 选项C、是正比例函数，不符合反比例函数定义，故C错误； 选项D、未说明，当时不是反比例函数，故D错误． 2．若点在反比例函数的图象上，下列哪个点也在反比例函数图象上（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知点坐标求出反比例函数的比例系数，再根据反比例函数的性质，图象上任意点的横纵坐标乘积等于，验证各选项即可得到结果． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 即反比例函数图象上的点满足横纵坐标乘积为， 依次验证选项： 选项A ，不在该图象上； 选项B ，在该图象上； 选项C ，不在该图象上； 选项D ，不在该图象上． 3．若三点都在函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据比例系数判断反比例函数图象所在象限和增减性，再根据各点横坐标判断点所在象限，进而比较函数值大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大. ∵， ∴点、在第二象限， ∴. ∵， ∴点在第四象限， ∴. 综上可得． 4．如图是反比例函数的图象，等腰的直角顶点A恰好在图象上，点B和点C分别落在y轴和x轴上，则点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，构造一线三等角，然后证得，证得点的横纵坐标相等，将点代入反比例函数中求解． 【详解】解：过点作轴的平行线，交轴于点，过点作交的延长线于点， ， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴点的横纵坐标的绝对值相等， 又∵点在第一象限， ∴点的横纵坐标相等， 设点，，且点在反比例函数上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 5．如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ）． A．水温从20℃加热到80℃，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．接通电源后，时，水温为25℃ D．在一个周期内水温不低于40℃的时间为 【答案】D 【分析】根据题意求出加热阶段解析式及反比例函数解析式，逐一判断选项即可． 【详解】解：升温速率，初始温度， 设加热阶段解析式：， 令，，解得， 即加热分钟达到． 设反比例函数，代入： ，， 故降温阶段：． 令，，，即一个完整周期为． 选项A：水温从加热到，需要3min加热段， 令： ，，， 用时3分钟，A正确； 选项B：水温下降过程中，与的函数关系式是，B正确； 选项C：，处于降温阶段，代入： ，水温，正确； 选项D：分两段计算对应的范围： 加热段：， ，，加热段符合条件时长：． 降温段：， ，，降温段符合条件时长：． 总时长：，D错误． 6．函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象经过的象限判断的取值范围，再根据的取值范围判断反比例函数经过的象限是否符合要求． 【详解】解：A选项：一次函数的图象经过第一、二、三象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 故A选项错误； B选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故B选项正确； C选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故C选项错误； D选项：一次函数的图象经过第一、三、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 反比例函数应在第二、四象限， 故D选项错误． 7．如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与轴交于点，根据反比例函数的几何意义可知，矩形的面积为，矩形的面积为，由矩形的面积为6建立方程求解即可． 【详解】解：如图，设与轴交于点， 四边形是矩形，点、在轴上， 轴，轴，轴， 四边形和四边形均为矩形． 点在反比例函数的图象上， ． 点在反比例函数的图象上，且图象在第一象限， ， ． ， ， ． 8．在平面直角坐标系中，、两点关于轴对称，以为边在轴上方作平行四边形，点恰好落在轴上，反比例函数交边于点，交边于点．点是平行四边形内任一点，连接、、、、．若，且，则的值为（     ） A．10 B．20 C． D． 【答案】D 【分析】连接，过点作轴的垂线，交于点，交于点，先求出平行四边形得面积，再求出的面积，根据反比例函数的几何意义即可求出的值． 【详解】解：如图，连接，过点作轴的垂线，交于点，交于点， ∵、两点关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∵反比例函数经过第二象限， ∴， ∴． 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．若函数的图象经过点，则________． 【答案】 【分析】函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将点代入反比例函数解析式，即可求出的值． 【详解】解：函数的图象经过点， 将，代入得：． 10．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】找出一次函数图象在反比例函数图象上方的部分即可得出结果． 【详解】解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴结合函数图象得关于x的不等式的解集是或． 11．某物理兴趣小组通过实验发现气体的压强（单位：）是体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当压强为时，气体的体积为______． 【答案】50 【分析】因为压强p是体积V的反比例函数，所以设反比例函数解析式为，．因为函数图像过点，所以将该点坐标代入解析式，可求出常数k的值．因为要求压强为时的体积，所以将代入确定后的反比例函数解析式，求解V即可． 【详解】解：∵是的反比例函数， 设解析式为 ． 由图像可知，反比例函数过点， 将代入得： ， 解得 ， 因此函数解析式为 ． 当压强时， 代入解析式： ， 解得 ． 12．已知点，，在反比例函数（为任意实数）的图象上，且，则，，的大小关系为________． 【答案】/ 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再根据反比例函数的性质，结合各点横坐标的范围判断点所在象限，再根据函数的增减性比较纵坐标的大小． 【详解】解：对于反比例函数，比例系数 对任意实数，， ， 可得 反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． ， 点在第二象限，可得 ， 点，都在第四象限，可得， 又在第四象限内随的增大而增大，且， 综上可得． 13．如图，已知点在双曲线上，将线段沿轴正方向平移，若平移后的线段与双曲线的交点恰为的中点，则平移距离长为______． 【答案】3 【分析】直接利用平移的性质以及反比例函数图象上点的坐标性质得出D点坐标进而得出答案． 【详解】解：设双曲线的函数解析式为：， ∵点在双曲线上， ∴， ∵平移后的线段与双曲线的交点恰为的中点， ∴D点纵坐标为：1， 过点A作轴，过点D作轴， ∴， ∴， ∵平移， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，即， ∴． 14．函数（）和（）的部分图像如图所示，点在的图像上，过点作轴交轴于点 ，交的图像于点，如果，那么的值是________． 【答案】/ 【分析】设点A的横坐标为m，根据轴可知点B、C的横坐标也为m，利用反比例函数解析式表示出线段和的长度，结合建立等式，化简即可求解． 【详解】解：设点A的横坐标为m，由图可知， ∵轴，交x轴于点C ∴点B、C的横坐标均为m，且点C的坐标为 ， ∵点A在的图像上，且位于第二象限 ， ∴点A的纵坐标为，且 ， ∴． ∵点B在的图像上，且位于第三象限 ， ∴点B的纵坐标为，且， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点．连接，，则______． 【答案】 【分析】先把代入得，求得反比例函数的表达式，再通过反比例函数的表达式求出点的坐标，再将点和点的坐标求出一次函数的表达式，当时，求出点，得到的值，再由即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵把代入得， ∴， 把代入得， ∴， 把的坐标代入得， 解得：， ∴， 当时，，得， ∴， ∴， ∴． 16．如图，在中，轴，点为的中点，函数的图象经过，两点，过点作的平行线交轴于点，连接，若的面积为2，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】设点的坐标为，则点的坐标为，进而可得， 求出 ， 进一步可得 ，根据三角形的中线平分三角形的面积得到，由平行线的性质得到，则，解之即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 设点的坐标为， 点为的中点，为坐标原点 ， 点的坐标为， 轴， 点的纵坐标为， 点在反比例函数的图象上， 点的横坐标为，即， ， ， 点为的中点， ， ，即， 点到直线的距离等于点到直线的距离， ， ， ， 解得． 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18题6分，19题4分，20-21每题5分，22-25题每题6分，26题11分，27题10分。 17．写出下列各问题中的函数关系式，并指出它们是什么函数： (1)三角形的面积是常数时，它的某一边的长是该边上的高的函数； (2)百米赛跑中，某运动员的平均速度是他的成绩（跑完全程的时间）的函数． 【答案】(1) 函数关系式为，是反比例函数 (2) 函数关系式为，是反比例函数 【分析】本题考查函数关系式的建立以及函数类型的判断： （1）根据三角形面积公式列函数关系式，再判断即可； （2）根据路程、速度和时间的关系列函数关系式，再判断即可． 【详解】（1）解：， ， 是常数且， 是常数且， 是的反比例函数． （2）解：， ， 是常数且， 是的反比例函数． 18．如图是某饮水机通电开机后，水温与开机时间（分）之间的关系图象，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例，当水温降至时，饮水机又自动开始加热……，重复上述过程． (1)当时，求水温关于开机时间（分）的一次函数解析式． (2)求的值． (3)上午（水温），饮水机开机通电后到中午，水温共有几次达到? 【答案】(1) (2) (3)水温共有次达到 【分析】本题考查一次函数、反比例函数的实际应用与周期规律探究，熟练运用待定系数法求函数解析式、结合周期计算次数是解答本题的关键． （1）利用一次函数待定系数法，代入图像已知两点坐标、，求解，确定时的一次函数解析式； （2）水温下降阶段为反比例函数变化，先用定点求出反比例函数表达式，再代入，算出对应的自变量数值即为t； （3）先算出单次循环周期时长，再计算到的总时长，通过除法求周期个数与剩余时间，结合周期规律统计水温达到的总次数． 【详解】（1）解：由图象可知，当时间时，；当时间时，， 当时，设， 将、分别代入， 得， 解得， 所以温度关于开机时间（分）的函数关系式为； （2）解：由图象知当时，在水温下降过程中，水温是关于开机时间（分）的反比例函数， 设， 把点代入，得 解得， ， 当时，， 解得， ∴； （3）解：结合图象，可知每分钟图象重复出现一次，到经历分钟， ， 共经历了个周期余分钟， 所以水温共有次达到． 19．已知反比例函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)在该函数图象上，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． （1）将点代入函数解析式，即可求得m的值； （2）根据（1）中所求得到函数解析式，判断点是否满足该函数解析式即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得； （2）解：点在该函数图象上， 理由：由（1）得函数解析式为， 当时，，与点的纵坐标一致， ∴点在该函数图象上． 20．已知与成反比例，且其函数图象经过点． (1)求关于的表达式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可设，然后代入求解即可； （2）把代入求出的函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵与成反比例 ∴设 ∵函数图象经过点 ∴ 解得 ∴关于的表达式为； （2）解：当时，则， 解得． 21．庆典气球需要安全且能飘升，氦气作为一种惰性气体，常被用于填充庆典气球．某次庆典活动，主办方需要5千克氦气来填充气球，已知氦气瓶的容量（升）跟压力P（标准大气压）之间成反比例关系，图示如图所示． (1)试确定P与V之间的函数表达式； (2)运输过程中，安全考虑，氦气瓶内气体不能超过120个标准大气压，氦气瓶容量要满足什么条件？ 【答案】(1) (2)不低于200升 【分析】本题考查反比例函数的应用： （1）设，把代入，利用待定系数法求解； （2）计算时对应的V的值即可． 【详解】（1）解：设， 把代入上式得：， 解得， P与V之间的函数表达式为：； （2）解：当时，．     钢瓶的容积要求不低于200升． 22．如图，的顶点，，，反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的表达式． (2)将向上平移m个单位长度，当点B落在反比例函数的图象上时，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）利用平行四边形的性质得到，轴，求出，平移后点B的坐标为，代入解析式即可求出m的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∴． ∴反比例函数的表达式为． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴，轴． ∵， ∴． ∵向上平移m个单位长度， ∴平移后点B的坐标为． ∵平移后点B落在反比例函数的图象上， ∴． ∴． 23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴的正半轴交于点，过点B作．轴交反 连接，，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点C的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)点C的坐标为 (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）利用系数待定法求出反比例函数解析式即可． （2）由轴可得出点C的纵坐标为2，进而代入反比例函数求出x的值即可得出点C的坐标． （3）分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为点M，N，即可求出，由反比例函数的性质可知，，进而可得出，最后代入数值计算即可． 【详解】（1）解：将点代入， ， ∴反比例函数的表达式为 （2）解轴， 点C的纵坐标为2， 点C在反比例函数的图象上， ， 解得， ∴点C的坐标为； （3）解：如图，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为点M，N， 点A的坐标为，点C的坐标为， ， 由反比例函数的性质可知，， ． 24．如图，已知一次函数的图象交x轴于点C，交y轴于点D，且．一次函数与反比例函数的图象交于两点，其中点B的横坐标为3． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)将直线向上平移2个单位长度后，与x轴交于点E，连接，求的面积； (3)观察函数图象，请直接写出的解集． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）求得点的坐标，求得点的坐标，即可求得的面积； （3）结合图象即可求得的解集． 【详解】（1）解：， ， 把代入， 得， 解得， 所以一次函数解析式为； 当时，， ， 把代入，可得， 所以反比例函数解析式为； （2）解：列方程， 解得，， ， 直线向上平移2个单位长度后，解析式为， 令，解得， ， ， ； （3）解：整理，可得， 观察函数图象，则的解集为或． 25．如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值； (3)如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）利用待定系数法计算可得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，再联立求解即可； （2）先求出，作点E关于x轴的对称点，则，根据轴对称性质，，则．当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度．结合勾股定理计算即可得出的最小值为．求出直线的方程为，令，得，解得，即可得出结果； （3）过C作轴交于点T，设，，则，表示出，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将代入直线得，， 解得， ∴一次函数的解析式为， 再将代入得，， ∴反比例函数的解析式为， 联立得， 解得：（舍去），， ∴； （2）解：在中，当时，，则， 作点E关于x轴的对称点，则， 根据轴对称性质，， ∴． 当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度． ， ∴的最小值为． 设直线的方程为． 将和代入得， 解得． ∴直线的方程为 令，得，解得． ∴点P的坐标为． （3）解：如图，过C作轴交于点T， 设，，则， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴点C的坐标为． 26．【模型认识】如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，易证得，因直线，线段，线段组成的图形形似字母“”，所以我们将这个模型称为“形图”，我们可利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 (1)如图1，在等腰中，，，以为原点作平面直角坐标系，与轴重合，点，求点的坐标； (2)如图2，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，将点绕点顺时针旋转得到点，恰好是反比例函数图象上的一点，求此反比例函数的表达式和直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，点是直线上的一点，连接，，，当满足，且时，请直接写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)反比例函数的表达式为，直线的函数表达式为； (3)点的坐标为或 【分析】（1）先根据证明，结合全等三角形性质推出点坐标，设直线的解析式为，再利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求出点的坐标； （2）过点作轴于点，证明，结合一次函数图象与性质，以及全等三角形性质推出点的坐标，再设反比例函数的表达式为和直线的函数表达式为，利用待定系数法求解，即可解题； （3）设点的坐标为，过点作于点，过点作于点，根据点是直线上的一点，分两种情况①当点在轴上方时，②当点在轴下方时，结合全等三角形性质与判定，以及勾股定理分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， 点， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （2）解：过点作轴于点， 由题知， 由（1）同理可证，， 一次函数的图象交轴于点，交轴于点， 且当时，，当时，， ，即， ， ， ， 设反比例函数的表达式为和直线的函数表达式为， 则， 反比例函数的表达式为， 又有， 解得， 直线的函数表达式为； （3）解：设点的坐标为， 过点作于点，过点作于点， ①当点在轴上方时， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， 点的坐标为； ②当点在轴下方时， 同理可求得， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数（）的图象交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点在反比例函数（）的图象上，则__________（填“>”“<”“=”）； (3)直接写出不等式（）的解集； (4)点在轴的正半轴上，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出的面积． 【答案】(1)一次函数的解析式：；反比例函数的解析式： (2) (3) (4)或2 【分析】（1）先求一次函数解析式：先求B点坐标，由求出长度得到A点坐标，代入求出k，再将C点横坐标代入一次函数求出a，得到C点坐标后代入反比例函数求出m． （2）比较a和b：如果反比例函数时的增减性已知，那么通过比较C、D两点横坐标大小即可判断纵坐标大小． （3）求不等式（）的解集：因为不等式的几何意义是时一次函数图象在反比例函数图象上方的部分对应的x的范围，所以结合两函数交点C的横坐标即可得到解集． （4）求等腰的面积：先设P点坐标，分两种情况：如果，那么用两点距离公式列方程求P点坐标；如果，那么用两点距离公式列方程求P点坐标，再分别用三角形面积公式计算对应面积． 【详解】（1）解：对于一次函数， 令，得， 因此，． 由，得， 又∵在轴正半轴， ∴． 把代入，得， 解得， 因此一次函数解析式为． 把代入，得， 即． 把代入，得， 因此反比例函数解析式为． （2）解：把代入，得． 已知，， 因此． （3）解：不等式表示时，一次函数图象在反比例函数图象上方（含交点）． 两个函数交点为， 结合图象可得解集为． （4）解：设， 已知，， 计算得， 以为腰，分两种情况： ：​， 即， ∵， 得（负根舍去）， ∴． 的高为到轴的距离， 面积． ：， 即， 解得（与重合，舍去）， ∴． 面积． 因此的面积为或． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $