第一章反比例函数单元测试2026-2027学年苏科版九年级上册数学

**基本信息** 苏科版九上数学反比例函数单元测试，以现实情境与创新探究为特色，覆盖定义、图像性质、实际应用等核心知识，适配单元复习，培养抽象能力、模型意识与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题|反比例函数定义、图像性质、不等式与图像关系|结合二胡振动（第6题）、体能测试（第5题）等现实情境，考查几何直观| |填空|8题|待定系数法、增减性、图像交点、面积计算|设计氦气球压强（第14题）、动态几何（第16题），体现数据意识| |解答|9题|函数综合、实际应用、创新探究|含饮水机水温模型（第21题）、“姊妹函数”探究（第22题），培养推理能力与应用意识|

《第一章反比例函数单元测试》参考答案 1．B 【分析】根据反比例函数的定义，判断各选项的函数类型即可得到答案，反比例函数的定义为：形如（为常数且）的函数是关于的反比例函数． 【详解】解：∵选项A中是正比例函数，不符合反比例函数定义； 选项C中是一次函数，不符合反比例函数定义； 选项D中是二次函数，不符合反比例函数定义； 选项B中符合反比例函数的定义． 2．A 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，分别用表示出和，再整理得到二者的关系式即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴将点坐标代入解析式得：，， 由变形得， 又∵， ∴， 移项得． 3．A 【分析】根据函数图象得到当或时在上方，即可得到答案． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 根据函数图象可知当或时在上方， 关于的不等式解集是或． 4．B 【分析】先根据直线过原点设出直线解析式，代入A、B坐标得到与的乘积，再根据C点坐标判断其满足哪个函数解析式． 【详解】解：∵直线经过原点， ∴设直线的解析式为， 把代入解析式得，即， ∴直线的解析式为， 把代入得，即， ∵点的坐标为， ∴点横纵坐标的乘积为， 对函数变形可得，满足点的坐标特征， ∴点一定在函数的图象上． 5．C 【分析】设反比例函数表达式为，表示出甲、乙、丙、丁，过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，然后结合图象判断即可． 【详解】解：∵甲、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴设反比例函数表达式为， 则甲、乙、丙、丁， 过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，如图所示： 由图可知， ∴甲、、、丁在反比例函数图象上， 根据题意可知合格人数， ∴，即甲、丁两个班级合格人数相同； ，即乙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数少； ，即丙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数多； 综上所述：乙班级合格人数甲班级合格人数丁班级合格人数丙班级合格人数， ∴这四个班合格人数最多的是丙． 6．C 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据振动频率低于列出不等式，结合求解即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∵振动频率低于， ∴， ∵为弦长，， ∴， 即． 7．B 【分析】设，则，，作轴交的延长线于点，作轴交的延长线于点，易得四边形为矩形，分割法求出阴影部分的面积即可. 【详解】解：∵A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，设， ∴，， 作轴交的延长线于点，作轴交的延长线于点， ∵轴于点M，轴于点N， ∴四边形为矩形， ∴， ∴阴影部分的面积为. 8．D 【分析】根据程序框图确定和时的函数解析式，利用反比例函数的性质判断选项B、C；利用反比例函数的几何意义计算的面积判断选项A；设点、的坐标，利用勾股定理构建方程判断选项D． 【详解】解：由程序框图可知：当时，；当时，．选项B错误； 当时，，， 随的增大而减小，选项C错误； 设，，其中， 点在上，点在上， ，， ，选项A错误 设，()， 若， 则， 即， 整理得：， ， ， ， ，方程有解， 可能等于， 选项D正确．故选：D． 9． 【分析】函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将点代入反比例函数解析式，即可求出的值． 【详解】解：函数的图象经过点， 将，代入得：． 10．（答案不唯一，只要小于0即可） 【分析】根据反比例函数的性质，先确定的取值范围，再写出取值范围内一个符合条件的值即可． 【详解】解：由题意得，当时，随的增大而增大， ∴， 取的一个符合条件的值为（答案不唯一）． 11．（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数图象的一支与线段有交点，可得：，写出一个符合条件的整数即可． 【详解】解：当时，可得：， 反比例函数图象的一支与线段有交点， ， 解得：， 是整数， 或或或或或或， 写出一个符合条件的的整数值可以是（答案不唯一）． 12．/ 【分析】因为都在反比例函数的图象上，可知，把已知代入可求得的值，再通分后代入求解即可． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ， ， 且， ， ∴． 13． 【分析】根据反比例函数k的几何意义得，结合，可得，进而可求出k的值． 【详解】解：∵点A在反比例函数的图象上，点D在反比例函数的图象上，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．60 【详解】解：设该函数的表达式为， 由题意知， ∴， 所以该函数的表达式为． 当时，． 15． 【分析】先利用反比例函数的解析式求出点和点的坐标，进而得到，利用割补法表示出的面积，解方程求出．作点关于轴的对称点，连接、，由轴对称的性质可得，因此，当、、三点共线时，取得最小值，使用勾股定理计算出即可． 【详解】解：将代入，得， ∴点的坐标为， ∴，， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴，， 由反比例函数比例系数的几何意义可知，， ∵， ∴， 整理，得， ∵， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， 如图，作点关于轴的对称点，连接、， 由轴对称的性质可得，点的坐标为，， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值， 由勾股定理可得，， ∴的最小值为． 16． 【分析】根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出、、、、、的横纵坐标，从而得到每次变化为一个循环组依次循环，用除以，根据商的情况确定出即可． 【详解】当时，的横坐标与的横坐标相等为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， ， 由上可知，，，，，，，个为一组依次循环， ∵， ∴． 17．(1) (2)点不在此函数图像上；点在此函数图像上； (3) 【分析】本题考查的是反比例函数的定义与性质，掌握反比例函数的定义与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义即可求解； （2）根据待定系数法，把点代入函数的解析式即可求出k的值，再利用代入法判断在不在函数的图像上； （3）分别求出和时的y值，根据函数的增减性判断y的取值范围即可. 【详解】（1）解：∵反比例函数 ∴且 解得：且 又∵随的增大而增大 ∴即 ∴ （2）由（1）可知： ∴由得：，故点不在此函数图像上； 由得：，故点在此函数图像上； （3）∵反比例函数， ∴在每个象限内y随x的增大而增大， 当时，代入反比例函数得； 当时，代入反比例函数得； ∴的取值范围为：. 18． 与的函数关系式为；当时， 【分析】先根据正比例和反比例的定义，分别设出y与x、z与y的解析式，利用待定系数法求出对应系数，再整理得到z与x的函数关系式，最后代入x的值计算z即可． 【详解】解：∵与成正比例， ∴设， 把代入解析式，得， 解得， ∴； ∵与成反比例， ∴设， 把代入解析式，得， 解得， ∴； 把代入，得， ∴， 即与的函数关系式为， 当时，代入得． 19．(1)，4 (2)或 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得m的值，将点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得n的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）由函数图象知不等式的解集为反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围，结合两点的坐标即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点， ∴， 解得：，， ∴，， ∴， 解得：， ∴一次函数为． 如图，记与轴的交点为， ∴， ∵，， ∴的面积为． （2）解：∵，， 结合图象可得不等式的解集为：或． 20．(1) (2) (3)车辆的行驶速度应控制在不超过，即 【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点，按自变量从小到大的顺序用平滑曲线顺次连接各点即可； （2）观察数据得行车速度与视野角度的乘积近似为定值，判断为反比例函数，写出近似函数表达式并标注自变量取值范围即可； （3）根据视野角度的要求列不等式，代入反比例函数解析式，结合实际意义求解，即可得到行驶速度的控制范围． 【详解】（1）略 （2）解：观察表格数据，每组行车速度v与视野角度的乘积近似等于，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：； （3）解：由题意，要求视野角度不小于度，即，代入函数表达式得： ， 因为行车速度，不等式两边同时乘，不等号方向不变： ， 解得， 结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过，即． 21．(1) (2) (3)水温共有次达到 【分析】本题考查一次函数、反比例函数的实际应用与周期规律探究，熟练运用待定系数法求函数解析式、结合周期计算次数是解答本题的关键． （1）利用一次函数待定系数法，代入图像已知两点坐标、，求解，确定时的一次函数解析式； （2）水温下降阶段为反比例函数变化，先用定点求出反比例函数表达式，再代入，算出对应的自变量数值即为t； （3）先算出单次循环周期时长，再计算到的总时长，通过除法求周期个数与剩余时间，结合周期规律统计水温达到的总次数． 【详解】（1）解：由图象可知，当时间时，；当时间时，， 当时，设， 将、分别代入， 得， 解得， 所以温度关于开机时间（分）的函数关系式为； （2）解：由图象知当时，在水温下降过程中，水温是关于开机时间（分）的反比例函数， 设， 把点代入，得 解得， ， 当时，， 解得， ∴； （3）解：结合图象，可知每分钟图象重复出现一次，到经历分钟， ， 共经历了个周期余分钟， 所以水温共有次达到． 22．(1)，作图见解析 (2) 【分析】（1）设第二象限的图象上任一点为，设其关于直线对称的点为，得出，，则可得，即可得出的关系式，再描点画图即可； （2）先求出点C的坐标，同（1）的方法求出的关系式，再代入点C的坐标即可求解． 【详解】（1）解：设第二象限的图象上任一点为， 则，即， 设其关于直线对称的点为， ∴，， ∴， ∴，即， ∴的关系式为； 列表得 x 1 2 4 y 4 3 1 描点作图得其图象如图： （2）解：∵，两点，点是线段的中点， ∴，即， 设第二象限的图象上任一点为， 则，即， 设其关于直线对称的点为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的关系式为， 将代入，得， 解得． 23．(1) (2)①；②图见解析；③图见解析； (3)①函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线；②和；③． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数自变量取值范围及反比例函数的性质等知识，解题关键是理解题意，学会利用图象法解决问题． （1）根据函数的分母不为即可求解； （2）①将代入中求解即可； ②根据描点法描点即可； ③用平滑的曲线顺次连接各点即可； （3）①观察函数图象可知函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线； ②结合函数图象即可得出不等式的解集； ③根据题意求出点的坐标，再求出的长即可求解． 【详解】（1）解：函数的自变量x的取值范围是：， 故答案为：； （2）解：①将代入中得：， 故答案为：； ②根据表中的数值描点，如图： ③用平滑的曲线顺次连接各点，如图： （3）解：①由（2）中图象可知，函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线； ②当时，，当时，， 由图象可知不等式的解集为：和， 故答案为：和； ③如图： ∵点作直线轴，与函数的图象交于点M，N（点M在点N的左侧）， ∴点M，N的纵坐标为， ∵当时， ， ∴点在的右侧， ∵当时，， ∴， ∴点，点， ∴，， ∴， 故答案为：． 24．(1)， (2) (3)存在；E点的坐标为或或 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 25．(1)，相等， (2)解：成立，理由如下： 反比例函数（）过，点， ∴，即， 设，设直线为， ∵， ∴，解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为：， ∴， ∴，， ∵，， ∴. (3) 【分析】（1）由反比例函数的性质可得，分别求解直线为，直线为，进一步结合勾股定理求解； （2）设，求解直线为，直线为：，进一步结合勾股定理求解； （3）设点，点，点，求解直线的解析式为： 直线的解析式为：，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点， ∴， 设直线为，而点， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为， ∴， ∴，， ∴. （2）略 （3）解：设点，点，点， 同理可得：直线的解析式为：， 当，， 当，， 解得：， ∴点，点， 同理可得：直线的解析式为：， 同理：点，点， ∴，， 与的乘积． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科版九上数学第一章反比例函数单元测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 2．已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 3．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 4．平面直角坐标系中有，，三点．若直线经过原点，则点一定在（     ） A．函数的图象上 B．函数的图象上 C．函数的图象上 D．函数的图象上 5．某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是（     ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班 6．在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长为时，测得振动频率为，振动频率低于时，振动弦长应该（    ） A．大于 B．小于 C．大于 D．小于 7．如图，A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，轴于点M，轴于点N，连接，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．根据图1所示的程序框图，得到了与的函数图象如图2所示，若是轴正半轴上任意一点，过点作轴交函数图象于点，，连接，，则下列结论正确的是（） A．的面积为 B．时， C．时，随的增大而增大 D．可能等于 二、填空题 9．若函数的图象经过点，则________． 10．已知y是关于x的反比例函数，当时，函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的m的值_________． 11．如图，已知点，，反比例函数图象的一支与线段有交点，写出一个符合条件的的整数值：______． 12．点都在反比例函数的图象上，若，则的值为_____． 13．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 14．氦气球内的氦气密度小于空气密度（氦气比空气轻），因此氦气球很容易飞上天．某氦气球内充满了一定质量的氦气，当温度不发生变化时，在一定范围内，氦气球内的气体压强是气体体积的反比例函数，其函数图象如图所示．当气体体积是时，气体压强p为______． 15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与边长是的正方形的两边、分别相交于、两点，的面积为，若动点在轴上，则的最小值是________． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则________． 三、解答题 17．已知反比例函数中，当时，随的增大而增大． (1)求的值； (2)试判断点，是否在此函数的图像上； (3)当时，求的取值范围． 18．已知与成正比例，与成反比例．当时；当时；试写出变量与变量的函数关系式？当时求的值是多少？ 19．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式及的面积； (2)根据图象直接写出不等式的解集； 20．“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 21．如图是某饮水机通电开机后，水温与开机时间（分）之间的关系图象，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例，当水温降至时，饮水机又自动开始加热……，重复上述过程． (1)当时，求水温关于开机时间（分）的一次函数解析式． (2)求的值． (3)上午（水温），饮水机开机通电后到中午，水温共有几次达到? 22．对于反比例函数（记作），如图所示为其在第二象限的图象．过横轴上一点作垂直于横轴的直线我们记作直线，把双曲线在第二象限的图象沿这条直线对折得到一个新函数（记作）图象，我们称它们为“姊妹函数” (1)当（此时垂直于轴的直线为轴），写出函数的“姊妹函数”的关系式，并在如图所示的坐标系中画出他的图象． (2)如图，在第一象限有，两点，点是线段的中点，当时，取不同值时，的“姊妹函数”也会随之改变．当过点C时．___________ 23．通过对一次函数和反比例函数的学习，我们积累了一些研究函数的经验．小明借鉴这些经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： … 0 1 3 4 5 6 8 … … 1 2 3 6 8 8 6 3 1 … (1)函数的自变量x的取值范围______； (2)绘制函数图象． ①列表：表中是x与y的几组对应值，其中m的值为______； ②描点：根据表中的数值描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． (3)获得性质，解决问题： ①请写出函数的一条性质：______； ②写出不等式的解集______； ③过点作直线轴，与函数的图象交于点M，N（点M在点N的左侧），则的值为______． 24．直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 25．反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、． (1)如图1，已知点，点， 直接写出：①点的坐标是 ；②与的数量关系是 ； (2)若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； (3)如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $