5.3诱导公式第1课时学历案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学学历案聚焦人教版必修第一册5.3诱导公式第一课时，以推导四组诱导公式及运用其求值、化简、证明为核心任务，通过情境创设、探究活动、合作学习等支架引导学生掌握公式内涵与结构特征。 特色在于以摩天轮情境激发数学眼光，借助单位圆对称性引导学生自主推导公式，渗透转化思想，培养分析归纳能力。通过合作探究、知识树总结等方式，凸显学生主体地位，教师巡视指导，助力学生用数学思维构建知识体系。

教学设计要件 【学习主题】：人教版高中数学必修第一册 5.3诱导公式（第一课时） 【设计者】： 【课标要求】：诱导公式的推导及运用诱导公式求值，化简和证明。 【教学目标】 1. 知识目标：识记诱导公式，运用公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明。 2. 技能目标：通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力。 3. 情感态度价值观：培养学生勇于探索、敢于创新的精神，从探索中获得成功的体验，感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美。 4. 核心素养：从对称性出发，获得一些三角函数的性质。会选择合适的诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数。 【教学重点】：诱导公式的推导及应用。 【教学难点】：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。 【教材分析】： 1.教材的地位与作用：《三角函数的诱导公式》选自《普通高中课程标准数学教科书﹡数学必修第一册》第五章第三节第一课时，是三角函数这一章中的一个重要内容，它涉及三角函数的求值、化简、证明等应用，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体代换等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 2.从知识的体系来看：《三角函数的诱导公式》是《任意角和弧度制》与《任意角的三角函数》内容的延续，不仅能加深对三角函数的理解，也对以后学三角函数的图像与性质做好铺垫。 【学情分析】 1.学生的已有的知识结构：掌握了任意角和弧度制，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系。 2.教学对象：高一清北班的学生，学习兴趣比较浓，表现欲较强，逻辑思维能力也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷、却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。 3.从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与任意角的三角函数的定义及诱导公式一等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的种类繁多，要求归纳总结的知识点多，这对学生的思维是一个突破。 【教学方法】：问题教学法、合作学习法，结合多媒体课件。 【学习目标】 1. 牢固掌握四组诱导公式. 2. 理解和掌握公式的内涵及结构特征，熟练运用公式进行三角函数的求值、化简及恒等证明. 3. 通过诱导公式的推导，培养学生的观察能力、分析归纳能力. 4. 渗透把未知转化为已知以及分类讨论的数学思想. 【评价任务】：按学习过程中设定的观察思考、独立思考、讨论交流、自主探究、合作探究、体会、感悟与概括等方式，完成相应学习任务。 【教学时数】1课时 【教学过程】 （一） 情境创设及问题提出 游客坐在恩施“女儿城游乐场”摩天轮的太空舱内（如图），将太空舱视为质点，随着摩天轮的匀速转动，旋转一周后又会回到原位，你能否从数学角度或者用数学语言来刻画一下什么是“回到原位”？ 一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等，三角函数看重的就是终边位置关系。即有： 其中 作用:利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求到（或～）角的三角函数值。 把任意角转化至到（或～）怎么来研究它们的三角函数值呢？我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性也是函数的重要性质。所以，我们是否可以利用圆的对称性，来研究三角函数的对称性？ （2） 尝试推导 探究：诱导公式的推导： （1）作P1关于原点的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什么关系？角β，α的三角函数值之间有什么关系？ （2）如果作P1关于x轴的对称点P3，那么又可以得到什么结论？ （3）如果作P1关于y轴的对称点P4，那么又可以得到什么结论？ 我们结合三角函数的定义，由上述对称性来讨论这些角的三角函数的关系。 如图，设任意角的终边与单位圆的交点坐标为。由于角的终边与角的终边关于原点对称，角的终边与单位圆的交点坐标为与点关于原点对称，因此的坐标为。由三角函数的定义得： , , ,, 从而得到公式二： 【学以致用1】 作用：可以把第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数。 （3） 类比联想，解决问题。 【学生活动】请大家回顾一下，刚才我们是如何获得这组公式(公式二)的? 路线图：角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系 请同学们自己完成公式三、四的推导。学生开展合作学习,讨论交流，老师巡视课堂，发现有典型解法的，叫同学板书在黑板上。 公式三 【学以致用2】 作用：可以把负角的三角函数转化为正角的三角函数。 公式四 【思考】参考已经学习的公式，思考一下，诱导公式四还有哪些方法可以得到？ 【学以致用3】 作用：可以把第二象限的三角函数转化为第一象限的三角函数。 〖设计意图〗从特殊到一般,从模仿到创新,有利于学生的知识迁移和能力提高，让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验。通过两道简单题来剖析公式中的基本量，进行正反两方面的“短、浅、快”练习，通过总结、辨析和反思，强化公式的结构特征。 【提出问题】由例题，你对公式一～四的作用有什么进一步的认识？你能归纳一下把任意角的三角函数转化为求锐角的三角函数的步骤吗？任意负角的 三角函数 任意负角的 三角函数 任意正角的 三角函数 到的角的三角函数 公式一 公式三 公式一 公式二 公式四 〖设计意图〗体现由未知转化为已知的化归思想，培养学生的归纳总结能力。 思考：化简 （四）总结归纳，开放小结。 回顾一下，我们是怎样获得诱导公式的?研究的过程中，你有哪些体会? 具体地，可以用知识树表示如下： 角间关系 对称关系 坐标关系 三角函值 之间关系 公式二 公式一 公式三 公式四 1.探究三角函数诱导公式的推导过程，理解“函数名不变，符号看象限”。 2.熟悉将任意角的三角函数转化到锐角三角函数的过程。 3.熟练掌握三角函数的诱导公式。 【设计意图】开放式小结，不同的学生有不同的学习体验和收获。感受数学公式一脉相承的气息。 （五）课后作业，巩固提高。 （1）必做：课本P191练习。 （2）研究性作业：推导诱导公式五、六。 （3）选做：化简 〖设计意图〗为了使所有学生巩固所学知识，布置了“必做题”；“选做题”又为学有余力者留有自由发展的空间，布置了“探究题”以利于学生开展研究性学习，拓展学生的视野。 【评价检测】（教学过程中的评价与课后巩固要求） 【板书设计】 5.3三角函数的诱导公式 公式推导： 例题 诱导公式一 诱导公式二 课堂小结 诱导公式三 诱导公式四 作业 【教学反思】 本节课立足课本，着力挖掘，设计合理，层次分明。充分体现以学生发展为本，培养学生的观察、概括和探究能力，遵循学生的认知规律，体现理论联系实际、循序渐进和因材施教的教学原则，通过问题情境的创设，激发兴趣，使学生在问题解决的探索过程中，由学会走向会学，由被动答题走向主动探究。在教学思想上既注重知识形成过程的教学，还特别突出学生学习方法的指导，探究能力的训练，引导学生发现数学的美，体验求知的乐趣。 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3《诱导公式》第一课时学历案 【学习主题】：人教版高中数学必修第一册 5.3诱导公式（第一课时） 【设计者】： 【课标要求】：诱导公式的推导及运用诱导公式求值，化简和证明。 【学习目标】 1. 牢固掌握四组诱导公式. 2. 理解和掌握公式的内涵及结构特征，熟练运用公式进行三角函数的求值、化简及恒等证明. 3. 通过诱导公式的推导，培养学生的观察能力、分析归纳能力. 4. 渗透把未知转化为已知以及分类讨论的数学思想. 【评价任务】：按学习过程中设定的观察思考、独立思考、讨论交流、自主探究、合作探究、体会、感悟与概括等方式，完成相应学习任务。 【教学时数】1课时 【教学过程】 （一） 情境创设及问题提出 游客坐在恩施“女儿城游乐场”摩天轮的太空舱内（如图），将太空舱视为质点，随着摩天轮的匀速转动，旋转一周后又会回到原位，你能否从数学角度或者用数学语言来刻画一下什么是“回到原位”？ 一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等，三角函数看重的就是终边位置关系。即有： 作用:利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为 的三角函数值。 把任意角转化至到（或～）怎么来研究它们的三角函数值呢？我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性也是函数的重要性质。所以，我们是否可以利用圆的对称性，来研究三角函数的对称性？ （2） 尝试推导 探究1： （1）作P1关于原点的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什么关系？角β，α的三角函数值之间有什么关系？ （2）如果作P1关于x轴的对称点P3，那么又可以得到什么结论？ （3）如果作P1关于y轴的对称点P4，那么又可以得到什么结论？ 我们结合三角函数的定义，由上述对称性来讨论这些角的三角函数的关系。 如图，设任意角的终边与单位圆的交点坐标为。由于角β的终边与角的终边关于原点对称，角β的终边与单位圆的交点坐标为与点关于原点对称，因此的坐标为 。由三角函数的定义得： , , 从而得到公式二： 【学以致用1】 作用： （3） 类比联想，解决问题。 【学生活动】请大家回顾一下，刚才我们是如何获得这组公式(公式二)的? 路线图： 请同学们自己完成公式三、四的推导。学生开展合作学习,讨论交流，老师巡视课堂，发现有典型解法的，叫同学板书在黑板上。 （2）如果作P1关于x轴的对称点P3，那么又可以得到什么结论？ 公式三 【学以致用2】 作用： （3）如果作P1关于y轴的对称点P4，那么又可以得到什么结论？ 公式四 【思考】参考已经学习的公式，思考一下，诱导公式四还有哪些方法可以得到？ 【学以致用3】 作用： 【提出问题】由例题，你对公式一～四的作用有什么进一步的认识？你能归纳一下把任意角的三角函数转化为求锐角的三角函数的步骤吗？ 任意负角的 三角函数 任意负角的 三角函数 任意正角的 三角函数 到的角的三角函数 思考：化简 （四）总结归纳，开放小结。 回顾一下，我们是怎样获得诱导公式的?研究的过程中，你有哪些体会? 具体地，可以用知识树表示如下： （五）课后作业，巩固提高。 （1）必做：课本P191练习。 （2）研究性作业：推导诱导公式五、六。 （3）选做：化简 （六）学后反思 请写下本节内容学习之后的收获，或困惑，或分享你学会本节知识的方法和策略。 8 学科网（北京）股份有限公司 $