5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像讲义 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修一例题讲解及课时精练

该高中数学讲义围绕“正弦函数、余弦函数的图像”构建知识体系，通过梳理正余弦函数概念、图像及五点作图法等核心知识点，结合表格呈现作图步骤，清晰划分五点作图、图像解不等式、交点个数问题等题型，体现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义特色在于分层练习设计，如结合水车运动的实际应用题培养数学眼光，通过图像解不等式训练数学思维，规范五点法作图步骤强化数学语言。基础题巩固方法，综合题提升能力，助力教师精准教学与学生自主复习。

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像 题型一 五点作图法作图像 1 题型二 利用三角函数图像解不等式 3 题型三 图像交点与解的个数问题 4 课时精练 5 知识点 1: 正余弦函数的概念 对于任意一个角 ，都有唯一确定的正弦 与之对应，因此 是一个函数，一般称为正弦函数。 对于任意一个角 ，都有唯一确定的余弦 与之对应，因此 是一个函数，一般称为余弦函数。 知识点 2: 正余弦函数的图像 正弦函数 的图像叫作正弦曲线。 余弦函数 的图像叫作余弦曲线。 知识点 3 : 函数图像的画法： 五点作图法 一般地， 的函数图像称为正弦曲线。 正弦函数 的图像也可由其在 上的图像得到。 以下五个点在确定 的图像形状时起着关键作用： . 这五个点描出后， 的图像形状就基本上确定了。 作正弦曲线的简图时， 在精确度要求不高的情况下， 一般都是先找出确定图像形状的关键的五个点， 然后再描点作图， 这种作图方法称为五点法。 用 “五点法” 画余弦曲线 在 上的图像时，所取的五个关键点分别为 ，再用光滑的曲线连接。 题型一 五点作图法作图像 用 “五点法” 画函数 或 在 上简图的步骤： （1）列表 0 或 0 （或 1） 1 （或 0） 0 （或-1） - 1 （或 0） 0 （或 1） 或 ( ) 或 或 (−A+b) 或 或 ( ) （2）描点:在平面直角坐标系中描出下列 5 个点: ， ， ，这里的 是通过函数式计算得到的. （3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接。 1．用“五点法”画函数的图像时，应描出的五个点的横坐标依次是（    ） A． B． C． D． 2．用“五点法”画函数在的图像时，下列选项中不是关键点的是（   ） A． B． C． D． 3．用“五点法”画函数的图像时，首先应描出五点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 4．当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．用“五点法”作出下列函数的简图： (1)； (2)； (3)． 6．画出函数，的图像． (1)试写出及的自变量的取值范围； (2)判断其函数图像与直线的交点个数． 7．在区间上画出函数的图像，并根据图像和解析式讨论函数性质. 0 0 1 0 0 2 1 2 3 1 8．如图是半径为1m的水车截面图，在它的边缘（圆周）上有一动点，按逆时针方向以角速度（每秒绕圆心转动）做圆周运动，已知点的初始位置为，且，设点的纵坐标是转动时间（单位：）的函数，记为.    (1)求，的值，并写出函数的解析式； (2)请将下表中数据补充完整，填写在相应位置，并用描点法画出在上的简图； 0 1 6 0 (3)试比较，，的大小. 9．已知函数．    (1)请用“五点法”画出函数在上的图像（先列表，再画图）； (2)求的解集． 10．作出下列函数的大致图像： (1)，. (2). 题型二 利用三角函数图像解不等式 用三角函数图像解三角不等式的方法： (1) 作出相应的正弦函数或者余弦函数在 上的图像。 (2) 通过直线与图像的交点写出满足不等式在区间 上的解集。 (3) 写出不等式在定义域内的解集。 1．为锐角三角形是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若，，使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．若x为锐角，且.则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 5．在上满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．函数y＝ 的定义域为________． 9．函数的定义域为______. 10．函数的定义域为__________． 题型三 图像交点与解的个数问题 1．函数的零点个数为（   ） A．4 B．1 C．2 D．3 2．函数的图像与函数（）的图像所有交点的横坐标记作，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．函数，的图像与直线（a为常数）的交点个数不可能为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4．已知直线族：与曲线在区间内的图像共有2025个交点，则（   ） A． B．1013 C． D．1012 5．关于函数，的图像与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（    ） A．当或，有0个交点 B．当或时，有1个交点 C．当，有2个交点 D．当时，有2个交点 6．函数与图像的交点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．当时，曲线与的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（多选）函数的图像与直线（为常数）的交点可能有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．（多选）函数与有一个交点，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 10．（多选）函数，的图像与直线的交点个数可能是（    ） A． B． C． D． 课时精练 一、单选题 1．用“五点法”作的图像，首先描出的五个点的横坐标是（   ） A．0，，，， B．0，，，， C．0，，，， D．0，，，， 2．函数的简图为（    ） A． B． C． D． 3．函数，的图像是（   ） A． B． C． D． 4．函数的图像中与轴最近的最高点的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．方程的根的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．函数的图像与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若方程在上有两个不同的实根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．用“五点法”画的图像时，下列哪个点不是关键点（    ） A． B． C． D． 9．在内，使的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．若函数的图像上存在两个不同点A，B关于原点对称，则称A，B为函数的一对友好点，记作，规定和是同一对友好点．已知，则函数的友好点共有(    ) A．3对 B．5对 C．7对 D．14对 11．函数，的图像大致是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（多选）已知且，则x等于（   ） A． B． C． D． 13．（多选）已知函数，则（   ） A．函数的图像与直线有个公共点 B．函数的图像与直线有个公共点 C．若函数的图像与直线（为常数）有个公共点，则 D．若函数的图像与直线（为常数）有两个公共点，则 14．（多选）函数的零点所在区间可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 15．函数的零点为______． 16．函数的零点的个数是______． 17．若函数，则函数的零点个数是________. 四、解答题 18．已知函数， (1)用五点法画函数的图像； (2)讨论函数图像与直线（为常数）的交点个数. 19．用五点法分别画出下列函数在的图像： (1)； (2). 20．画出下列函数在区间上的图像： (1)； (2)； (3)． 21．已知函数，图像如下： (1)若，求的值； (2)若，讨论方程的解的个数. 22．求函数，的值域． 试卷第1页，共3页 ( 1 / 10 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像 题型一 五点作图法作图像 2 题型二 利用三角函数图像解不等式 9 题型三 图像交点与解的个数问题 13 课时精练 17 知识点 1: 正余弦函数的概念 对于任意一个角 ，都有唯一确定的正弦 与之对应，因此 是一个函数，一般称为正弦函数。 对于任意一个角 ，都有唯一确定的余弦 与之对应，因此 是一个函数，一般称为余弦函数。 知识点 2: 正余弦函数的图像 正弦函数 的图像叫作正弦曲线。 余弦函数 的图像叫作余弦曲线。 知识点 3 : 函数图像的画法： 五点作图法 一般地， 的函数图像称为正弦曲线。 正弦函数 的图像也可由其在 上的图像得到。 以下五个点在确定 的图像形状时起着关键作用： . 这五个点描出后， 的图像形状就基本上确定了。 作正弦曲线的简图时， 在精确度要求不高的情况下， 一般都是先找出确定图像形状的关键的五个点， 然后再描点作图， 这种作图方法称为五点法。 用 “五点法” 画余弦曲线 在 上的图像时，所取的五个关键点分别为 ，再用光滑的曲线连接。 题型一 五点作图法作图像 用 “五点法” 画函数 或 在 上简图的步骤： （1）列表 0 或 0 （或 1） 1 （或 0） 0 （或-1） - 1 （或 0） 0 （或 1） 或 ( ) 或 或 (−A+b) 或 或 ( ) （2）描点:在平面直角坐标系中描出下列 5 个点: ， ， ，这里的 是通过函数式计算得到的. （3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接。 1．用“五点法”画函数的图像时，应描出的五个点的横坐标依次是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦函数的图像与性质，分析即可得答案. 【详解】所描出的五个点的横坐标与函数的五个点的横坐标相同，即，． 2．用“五点法”画函数在的图像时，下列选项中不是关键点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦函数的性质即可求解. 【详解】五个关键点分别为，，，，故D选项不在函数图像上． 故选：D 3．用“五点法”画函数的图像时，首先应描出五点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正弦函数的五点作图法，可得描出的五点的横坐标与函数的五点的横坐标相同， 即五个点的横坐标分别为. 4．当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】当时，画出曲线与的图像即可得解. 【详解】当时，曲线与的图像如图所示， 由图可知，当时，曲线与的交点个数为4. 故选：B. 5．用“五点法”作出下列函数的简图： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】1）利用五点作图法作图； （2）利用五点作图法作图； （3）利用五点作图法作图. 【详解】（1）找关键的五个点，列表如下： 0 0 1 0 －1 0 0 －1 0 1 0 描点作图，如图所示． （2）找关键的五个点，列表如下： 0 0 1 0 －1 0 0 1 0 1 0 描点并用光滑的曲线将它们连接起来，通过平移得到的图像，如图所示． （3）找关键的五个点，列表如下： 0 0 1 0 －1 0 －1 1 －1 －3 －1 描点作图，如图所示． 6．画出函数，的图像． (1)试写出及的自变量的取值范围； (2)判断其函数图像与直线的交点个数． 【答案】(1)图像见解析，， (2)两个交点 【分析】（1）利用五点法，取五个特殊点，求出相应的值画出图像即可，再根据题目要求，找出及的自变量的取值范围. （2）在画出的函数的图像上画出直线的图像，然后观察交点个数. 【详解】（1）用五点法画出函数，的图像，如图所示． 由图像可知，当时，；当时，． （2）在平面直角坐标系中作出直线，如图所示， 可知此直线与函数，的图像有两个交点． 7．在区间上画出函数的图像，并根据图像和解析式讨论函数性质. 【答案】图像见解析；单调减区间为和，单调增区间为；对称中心为；最大值为，最小值为 【分析】根据三角函数的五点作图法，可得函数图像，结合图像以及三角函数性质，可得答案. 【详解】列表： 0 0 1 0 0 2 1 2 3 1 描点、连线可得函数的图像如图所示：    由图可得函数的单调减区间为和，单调增区间为； 对称中心为；最大值为，最小值为. 8．如图是半径为1m的水车截面图，在它的边缘（圆周）上有一动点，按逆时针方向以角速度（每秒绕圆心转动）做圆周运动，已知点的初始位置为，且，设点的纵坐标是转动时间（单位：）的函数，记为.    (1)求，的值，并写出函数的解析式； (2)请将下表中数据补充完整，填写在相应位置，并用描点法画出在上的简图； 0 1 6 0 (3)试比较，，的大小. 【答案】(1)，. (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求出解析式后可求和的值； （2）先完善表格，再利用描点法可求在上的简图； （3）由函数解析式结合诱导公式可求、与的值． 【详解】（1）由题设以为终边的角为，故，其中， 故，. （2）完善后的表格如下； 在直角坐标系中描点、连线，作出函数在的简图如图所示；    （3），， ， 而，故. 9．已知函数．    (1)请用“五点法”画出函数在上的图像（先列表，再画图）； (2)求的解集． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）直接用“描点法”作出函数图像； （2）根据正弦函数的性质来计算的解集． 【详解】（1）列表如下： x 1 0 2 3 1 在平面直角坐标系中描点，再连线，得在上的图像如图所示．    （2）由题意可知， 由，得， 化简得， 由正弦函数的性质可知，的解为 ，， 令， 则， 解得，， 故不等式的解集为. 10．作出下列函数的大致图像： (1)，. (2). 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】分析函数的性质，结合正弦曲线、余弦曲线的“五点法”，可作出函数图像. 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， ，故为偶函数， 又，所以函数是以为周期的周期函数. 列表 x 0 0 1 0 作图：先作出的图像，又原函数是偶函数，且周期为，将图像向两边延伸，即可得函数，的图像. （2）按五个关键点列表： 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）： 题型二 利用三角函数图像解不等式 用三角函数图像解三角不等式的方法： (1) 作出相应的正弦函数或者余弦函数在 上的图像。 (2) 通过直线与图像的交点写出满足不等式在区间 上的解集。 (3) 写出不等式在定义域内的解集。 1．为锐角三角形是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为是锐角三角形，所以，且， 所以，其中， 因为在上单调递增， 所以，所以充分性成立； 若，不妨设，满足， 但为直角三角形，故必要性不成立. 2．若，，使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原问题转化为，区间与不等式的解集有交集，解出该不等式，借助数轴即可求解. 【详解】由，得，， 由，得，， 若，，使得， 则的区间长度要不小于的解集的区间长度， ， . 故选：B 3．若x为锐角，且.则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得或，又因为x为锐角， 则， 即或， 解第一个不等式组得，则， 解第二个不等式组得，无解； 综上，x的取值范围是. 4．已知函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，得，即， 则，即函数的定义域是. 5．在上满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合三角不等式，再结合的范围可得到结果. 【详解】由 故选：C 6．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合正弦函数性质判断即得. 【详解】由，得，即成立； 反之，由，得，则不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7．已知，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将不等式转化为，结合余弦函数的图像与性质求解即可. 【详解】不等式，即，可得， 又因为，所以不等式 的解集是， 故选：B． 8．函数y＝ 的定义域为________． 【答案】 【分析】根据余弦函数的图像解不等式即可得函数定义域. 【详解】作出函数的图像，如图所示， 由，即， 由图像及函数的周期性和单调性可知的解集为， 从而函数的定义域为：. 故答案为：. 9．函数的定义域为______. 【答案】 【分析】根据题意，由函数的解析式可得，求出x的取值范围，即可得到函数的定义域． 【详解】， 则，解得， 所以， 即函数的定义域为. 故答案为： 10．函数的定义域为__________． 【答案】 【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式组，再利用正余弦函数的性质求解作答. 【详解】函数有意义， 则需， 由， ， 则， 所以函数定义域为. 故答案为： 题型三 图像交点与解的个数问题 1．函数的零点个数为（   ） A．4 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】画出函数和的图像，根据函数图像得到答案. 【详解】画出函数和的图像，其中，如图， 由图可知，当时，，两函数图像没有交点， 当时，两函数图像有3个交点， 当时，，两函数图像没有交点， 综上，函数和的图像有3个交点， 所以，函数零点的个数为3. 故选：D 2．函数的图像与函数（）的图像所有交点的横坐标记作，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】在同一坐标系中画出两个函数的图像，利用函数的图像的对称性求得所有交点的横坐标之和. 【详解】，与函数都关于点对称， 在同一个直角坐标系中分别画出它们的图像的示意图， ，，所以， 又，，，， 又函数，与函数为连续函数， 结合函数图像可知在上函数与函数有2个交点， 由图像可知在上函数与函数有两个交点， 所以函数与函数在上有4个交点， 结合两函数关于点对称，可得在上两函数共有8个交点，则 故选：D. 3．函数，的图像与直线（a为常数）的交点个数不可能为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】作出在的图像，再根据数形结合法得出交点个数即可. 【详解】作出在的图像如下： 则可得当或时，与的交点个数为0； 当或时，与的交点个数为1； 当时，与的交点个数为2. 故选：A. 4．已知直线族：与曲线在区间内的图像共有2025个交点，则（   ） A． B．1013 C． D．1012 【答案】A 【分析】画出在区间内的图像，可知方程分别有两个不同实根，且各根均不同，从而得到，求出答案. 【详解】当时，，当时，，当时，，…， 由题意及曲线在区间内的图像， 可知方程分别有两个不同实根，且各根均不同， 所以需满足，所以. 故选：A. 5．关于函数，的图像与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（    ） A．当或，有0个交点 B．当或时，有1个交点 C．当，有2个交点 D．当时，有2个交点 【答案】B 【分析】在同一个坐标系内做出，的图像与直线的图像，根据交点的个数直接判断即可. 【详解】在同一个坐标系内做出，的图像与直线的图像如图示： 根据图像，进行判断： 对于A：当t=2时，有一个交点，故A错误； 对于B：当或时，有1个交点，故B正确； 对于C：当，有2个交点，当，有1个交点，故C错误； 对于D：当，有1个交点，故D错误. 故选：B 6．函数与图像的交点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用数形结合思想进行判断即可. 【详解】在同一直角坐标系中画出两个函数的图像如下图所示：    利用数形结合思想可以判断函数与图像的交点个数一共有个， 故选：D 7．当时，曲线与的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】作出函数图像易得交点个数为3. 【详解】曲线与的图像如下， 所以交点个数为3， 故选：B. 8．（多选）函数的图像与直线（为常数）的交点可能有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】ABD 【分析】画出函数，的图像，再利用数形结合判断交点个数. 【详解】首先画出函数，的图像，    当时，有0个交点；当时，有1个交点；当时，有3个交点；当时，有1个交点；当时，有0个交点. 故选：ABD 9．（多选）函数与有一个交点，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】BD 【分析】根据函数图像的交点个数，即可结合图像求解. 【详解】画出的图像. 如图：直线和与的图像只有一个交点，    故或. 故选：BD. 10．（多选）函数，的图像与直线的交点个数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】作出函数、的图像，即可得出结论. 【详解】由题意可得， 作出函数、的图像如下图所示：    当或时，直线与函数的图像没有交点； 当时，直线与函数的图像只有一个交点； 当时，直线与函数的图像有两个交点； 当或时，直线与函数的图像有三个交点； 当时，直线与函数的图像有四个交点. 故选：ABC. 课时精练 一、单选题 1．用“五点法”作的图像，首先描出的五个点的横坐标是（   ） A．0，，，， B．0，，，， C．0，，，， D．0，，，， 【答案】D 【分析】用五点法作三角函数的图，五个点的横坐标分别为，求出值. 【详解】由“五点法”作图知，令， 解得，即为五个关键点的横坐标. 故选：D． 2．函数的简图为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排除法分析判断即可 【详解】因为当时，， 所以排除B，C，D， 故选：A． 3．函数，的图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的图像在的部分都在轴上方，即可判断. 【详解】对任意，有，所以. 这表明的图像在的部分都应在轴上方，只有D符合题意. 故选：D. 4．函数的图像中与轴最近的最高点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由是周期为的函数，由它在的图像即可得答案 【详解】因是周期函数，画出，的图像（如图），    由图可知，与轴最近的最高点的坐标为. 故选：B. 5．方程的根的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】在同一坐标系中，画出和的函数图像求解. 【详解】画出和的函数图像， 因为，， 结合图像可得函数与函数图像的交点个数是5个. 故选：A 6．函数的图像与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意化简函数的解析式，然后根据解析式作出函数的图像，进而数形结合即可求出结果. 【详解】因为时，，则， 因为时，，则， 故， 作出函数图像：    数形结合即可得到， 故选：B. 7．若方程在上有两个不同的实根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在同一坐标系中作出函数的图像与的图像，根据图像，结合题意，即可得答案. 【详解】在同一坐标系中作出函数的图像与的图像， 易知，当，即时，两图像有两个不同的交点， 即方程在上有两个不同的实根． 故选：C 8．用“五点法”画的图像时，下列哪个点不是关键点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据五点作图法得到五个关键点，得到答案. 【详解】五点作图法在内的五个关键点为 ，可知不是关键点． 故选：A 9．在内，使的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在同一坐标系作函数 以及 的图像即可求解. 【详解】 以及 的图像如上图，由图可知，； 故选：A. 10．若函数的图像上存在两个不同点A，B关于原点对称，则称A，B为函数的一对友好点，记作，规定和是同一对友好点．已知，则函数的友好点共有(    ) A．3对 B．5对 C．7对 D．14对 【答案】C 【分析】结合题意，将函数的友好点的对数转化为与的图像的交点个数，然后利用图像求解即可. 【详解】因为函数的图像与函数的图像关于原点对称， 所以函数的友好点的对数即方程，的解的个数， 即函数与的图像的交点个数， 作出函数与的图像，如图所示:    可知共有7个交点，即函数的友好点共有7对. 故选:C． 11．函数，的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式得，根据余弦函数的图像即可求解. 【详解】由诱导公式得， 函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 故选：B. 二、多选题 12．（多选）已知且，则x等于（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据正弦函数的图像与性质求解即可. 【详解】根据正弦函数的图像，在内，的解为或． 故选：AB 13．（多选）已知函数，则（   ） A．函数的图像与直线有个公共点 B．函数的图像与直线有个公共点 C．若函数的图像与直线（为常数）有个公共点，则 D．若函数的图像与直线（为常数）有两个公共点，则 【答案】BD 【分析】化简函数的解析式，作出在时的图像以及直线的图像，逐项判断即可. 【详解】因为，其中， 作出函数在时的图像以及直线的图像如下图所示： 对于A选项，由图可知函数的图像与直线没有公共点，A错； 对于B选项，函数的图像与直线有个公共点，B对； 对于C选项，若函数的图像与直线（为常数）有个公共点，则或，C错； 对于D选项，若函数的图像与直线（为常数）有两个公共点，则，D对. 故选：BD. 14．（多选）函数的零点所在区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分别作出函数与函数的图像，数形结合可得. 【详解】由得， 作出函数与函数的图像如图， 由图可知在区间和上存在零点. 故选：AC. 三、填空题 15．函数的零点为______． 【答案】或 【详解】令，解得， 故或． 16．函数的零点的个数是______． 【答案】3 【分析】根据正弦函数的图像及零点的概念求解即可. 【详解】令，得，在同一坐标系内画出和的图像． 由图可知两函数的图像有3个交点，所以函数有3个零点． 17．若函数，则函数的零点个数是________. 【答案】5 【分析】令，所以，作出函数和的图像，即得函数的零点个数. 【详解】令， 所以， 作出函数和的图像，如图所示， 所以函数的零点个数是5. 故答案为5 【点睛】本题主要考查函数的零点的个数问题，考查函数图像的做法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 四、解答题 18．已知函数， (1)用五点法画函数的图像； (2)讨论函数图像与直线（为常数）的交点个数. 【答案】(1)图像见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据五点法及正弦函数的五点，列表、描点、连线，画出图像； （2）先根据图像再分情况数形结合得出个数即可. 【详解】（1）由题意，列表： 0 1 0 -1 0 1 2 1 1 根据五点，作图：    （2）其图像如图：    观察图像得：当或时，有0个交点； 当或时，有1个交点； 当或时，有2个交点； 当时，有3个交点. 19．用五点法分别画出下列函数在的图像： (1)； (2). 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】根据五点作图法的方法描点,再用光滑曲线连接起来即可. 【详解】（1）①列表得： x 0 π 0 0 1 0 0 1 0 0 ②描出各点； ③用平滑的曲线将以上各点连接起来连线.    （2）①列表得： x 0 π 0 1 0 3 2 1 2 3 ②描出各点； ③用平滑的曲线将以上各点连接起来连线.    20．画出下列函数在区间上的图像： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)图像见解析 (2)图像见解析 (3)图像见解析 【分析】利用五点法即可作出函数的图像. 【详解】（1）按五个关键点列表： 2 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示    （2）按五个关键点列表： 2 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示    （3）按五个关键点列表： 2 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示    21．已知函数，图像如下： (1)若，求的值； (2)若，讨论方程的解的个数. 【答案】(1)或或 (2)答案见解析 【分析】（1）根据正余弦函数的图像和性质求解； （2）的解的个数就是函数和的交点个数. 【详解】（1）的函数图像如下： 当时，，解得， 当时，，解得或， 综上，或或； （2）方程的解的个数等价于与的图像的交点个数， 则由（1）中函数图像可得， 当或时，解的个数为0； 当或时，解的个数为1； 当时，解的个数为3. 22．求函数，的值域． 【答案】． 【分析】由的范围结合正弦函数的图像求出的范围，设，则所求的函数转化为二次函数，利用二次函数的图像求值域. 【详解】当时， ，设， 则，， 而在上单调递减， 所以，即， 所以求得值域为． 试卷第1页，共3页 ( 1 / 29 ) 学科网（北京）股份有限公司 $