2.4.2 圆的一般方程（7个题型归纳）讲义-人教A版2026年新高二数学暑假预习讲义

2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【2.4.2 圆的一般方程】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．圆的一般方程 圆的一般方程是______（______0），圆心为______，半径为______． 注意：（1）对于方程， ①当时，方程表示_圆_____； ②当时，方程表示一个点______； ③当时，方程__不表示任何图形____． （2）圆的一般方程有如下特点： ①与项的系数相同且不为零； ②不含xy项； ③，叫做圆的方程的判别式． （3）无论是圆的标准方程还是圆的一般方程，其中都含有三个需要确定的常数a、b、r或D、E、F，因此，必须具备三个独立条件，才能确定一个圆的方程． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：二次方程表示的曲线与圆的关系】 【练方法】 公式结论 1.二元二次方程 化简为 2.方程表示圆 3.方程仅表示一个点（点圆） 4.方程无实数解不表示任何曲线 5.二元二次方程成为圆的必要条件：系数相等且不为0不含xy交叉项 方法技巧 1.先检查二次项系数：与系数相等且不为0无xy项 2.计算判别式根据符号判定曲线类型 3.含参数方程利用列不等式求解参数范围 （25-26高二下·贵州铜仁·期末）若方程表示圆，则k的取值范围为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程可化为，因为该方程表示圆， 故，，A正确． （25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ）小试牛刀1 A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为方程表示圆，所以，解得或. 当时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为. 综上，圆心坐标为. （25-26高二上·安徽·期中）若方程表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般式整理为标准式，写出圆的圆心以及半径，根据题意，建立不等式组，可得答案. 【详解】由，化简可得， 因为圆心在第二象限，则，所以， 解得，所以实数a的取值范围为. 故选：D. （24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于的等式，求出的值，然后代值检验即可得解. 【详解】由题意知，由可得， 所以，即，解得或， 当时，方程为，可化为，不合题意； 当时，方程为，可化为，符合题意， 所以. 故选：. 【题型2：求圆的一般方程】 【练方法】 公式结论 1.一般式待定系数法：设 代入3个点坐标得到三元一次方程组解出D、E、F 2.标准方程展开可直接转化为一般方程 3.已知圆心半径优先写标准方程再展开得到一般方程 方法技巧 1.已知三个点优先选用一般方程待定系数法运算多为一次方程组 2.求出D、E、F后必须验证确保方程代表圆 3.已知圆心、半径条件优先标准式再展开化为一般式 （25-26高二上·广东湛江·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、.经典例题1例题 (1)求边的高线的直线方程； (2)求边的垂直平分线的直线方程； (3)求的外接圆方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出直线的斜率，根据可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）求出线段的中点的坐标，求出直线的斜率，根据可求得直线的斜率，再利用斜截式方程可得出直线的方程； （3）设的外接圆的方程为，将三个顶点的坐标代入圆的方程，可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】（1）因为，且，故直线的斜率为， 因为经过，所以直线的方程为，即. （2）因为线段的中点，且，， 故直线的斜率为，所以直线的方程为，即. （3）设的外接圆的方程为， 因为，解得， 所以的外接圆方程为. （25-26高二上·四川遂宁·期中）已知点，求解满足下列条件的直线或圆的方程.小试牛刀1 (1)经过点，且在轴上的截距为的直线的一般式方程； (2)以点为圆心，且与轴相切的圆的一般方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设方程为，代入，即可求解； （2）确定圆的半径，得到标准方程，再转换即可. 【详解】（1）由题意，设直线的方程为， 由直线经过点，所以， 解得， 所以直线的方程为， 其一般式方程为 （2）由题意，所求圆的半径为， 所以所求圆的标准方程为， 化为一般方程为 （25-26高三上·广东佛山·阶段检测）及的坐标分别是及，其中是一个常数．设为直角坐标平面上的一动点使得．若的轨迹方程是，求的值．（　　）小试牛刀2 A．-8 B．-6 C．6 D．8 【答案】B 【分析】设，由两点距离公式得到，比较系数即可求解. 【详解】设， 由题意可得：， 化简可得：， 比较系数可得：，解得， 故选：B （24-25高二上·北京房山·期中）已知点在同一个圆上，则这个圆的方程为______.小试牛刀3 【答案】 【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法即可求得答案. 【详解】设圆的一般方程为， 将点代入得， 解得，满足，则， 将代入也适合， 故所求圆的方程为. 故答案为： 【题型3：圆过定点问题】 【练方法】 公式结论 1.含参圆系方程： 2.求定点方法：分离参数令参数系数、常数项全部等于0联立方程组求解 3.定点坐标恒满足方程与参数取值无关 方法技巧 1.将含参圆方程整理为“参数·式子+不含参数式子=0”形式 2.令参数系数与剩余式子分别等于0联立二元方程组求交点 3.代入两组特殊参数得到两个圆方程联立求交点即为定点 （25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______．经典例题1例题 【答案】或 【分析】我们可以将动圆方程整理为关于的方程，然后根据对任意方程恒成立的条件来求解定点. 【详解】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 （24-25高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，C，记的外接圆为圆①当时，圆E的一般式方程是__________;②圆E恒过的两个定点是__________.小试牛刀1 【答案】 【分析】设所求圆的一般方程为，分别令、，即可求解； 【详解】①当时， 二次函数的图象与两坐标轴交于点，，， 的外接圆为圆E， 设所求圆的一般方程为，， 令，得，由题意可得，这与是同一个方程， 故， 令，得，由题意可得， 此方程有一个根为，代入此方程得出， 所以圆E的一般方程为； ②设所求圆的一般方程为，， 令，得，由题意可得，这与是同一个方程， 故， 令，得，由题意可得，此方程有一个根为， 代入此方程得出，所以圆E的一般方程为， 当时，或， 故圆E恒过定点. 故答案为：； 【点睛】思路点睛：本题的思路为先设所求圆的一般方程为，分别令、，得到圆的方程，结合题意得出参数的值，即可求解. （23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点______．小试牛刀3 【答案】， 【分析】由题设，令其为，令则是的两个根，经过，，三点的圆为，将点代入得，，进而有，令求定点坐标. 【详解】由题设，可得，故， 令，则，不妨令其为，令 令，则，且， 所以或，则是的两个根， 经过，，三点的圆为， 所以，即是的两个根，则， 且且（否则与中一点重合且为原点），则， 综上， ，则， 令，可得，即或， 对应分别为，所以圆必过，. 故答案为：， 【题型4：点和圆的位置关系求参数】 【练方法】 公式结论 圆点 记 1.点在圆外 2.点在圆上 3.点在圆内 同时必须保证方程为实圆 方法技巧 1.将点坐标代入圆左侧代数式判断正负 2.含参数题目同时满足两个条件：、点位置对应的不等式 3.联立不等式求解参数取值范围 （25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. （2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为（    ）小试牛刀1 A． B．（－10，6） C． D． 【答案】B 【分析】先找到圆心坐标及半径，然后根据点到圆心的距离大于半径时点在圆外计算即可. 【详解】点在圆外，即点到圆心的距离大于半径. 将圆方程化为标准形式得，圆心为，点 P 到圆心距离为 4， 故有，解得; 故选：B （25-26高二上·广东·期末）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在圆内，得出不等关系，解不等式即可求得结果. 【详解】由在圆内，得， 即，可化为； 解得，即. 故选：A （24-25高二上·湖北咸宁·期末）点在圆外，则k的取值范围为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程表示圆及点在圆外得到不等式，求出k的取值范围. 【详解】由题意可知：表示圆， 可得：，解得， 又在圆外，所以，得， 所以k的取值范围为. 故选：C 【题型5：圆的对称性的应用】 【练方法】 公式结论 1.圆心是圆的对称中心任意直径都是圆的对称轴 2.圆关于直线对称：圆心关于直线对称得到新圆心半径不变 3.圆关于点对称：圆心关于定点对称得到新圆心半径不变 方法技巧 1.对称变换只改变圆心坐标半径保持恒定 2.求圆心对称点：使用中点公式、垂直斜率关系联立求解 3.对称完成后用新圆心与原半径写出圆方程 （25-26高二下·上海青浦·期末）若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________．经典例题1例题 【答案】 【分析】圆上两点关于直线对称时该直线必过圆心，代入圆心坐标即可求解参数. 【详解】圆的圆心 . 因为圆：上存在不同两点、关于直线对称， 所以圆心在直线上，故，解得. （2026·四川巴中·一模）若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是_____.小试牛刀1 【答案】9 【分析】由题意得直线过圆心，可得，再使用1的代换，即可求得的最小值. 【详解】易得圆心，半径， 由题意得直线 过圆心，则有， 故，当且仅当即时取等号， 故 的最小值是9， 故答案为：9. （24-25高二下·安徽铜陵·阶段检测）已知圆关于直线对称，则实数（    ）小试牛刀2 A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用圆的对称性及一般式求出圆心坐标，代入直线方程求参数即可. 【详解】由，即， 由题意可知圆心在直线上，代入得. 故选：C （24-25高二上·北京·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（    ）小试牛刀3 A． B． C．1 D．-1 【答案】A 【分析】根据直线过圆心可求参数的值. 【详解】圆的标准方程为：，故圆心为， 因为直线是圆的对称轴，故圆心在直线上， 故即， 故选：A. 【题型6：与圆有关的轨迹方程求法】 【练方法】 公式结论 1.直接法：设动点根据几何条件直接列出等式整理 2.定义法：满足到定点距离为定值轨迹直接为圆 3.代入法（相关点法）：主动点在已知圆上建立主动点与动点坐标关系 4.参数法：引入参数消参得到x,y关系式 方法技巧 1.先观察几何条件是否符合圆定义优先定义法 2.存在动点依托已知圆运动使用相关点代入法 3.化简方程后剔除不符合条件的点注意轨迹范 （25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知为圆上一动点，则线段的中点B的轨迹方程为__________．经典例题1例题 【答案】 【分析】设，根据中点公式得到，代入已知圆的方程即可得轨迹方程. 【详解】设，又线段的中点是B，， 所以，则， 所以，故线段的中点B的轨迹方程为. （25-26高二上·江西景德镇·期末）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、．小试牛刀1 (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，分析可知点为直线与线段中垂线的交点，联立两直线方程，可得出点的坐标，即可求得的面积； （2）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （3）设点、，利用中点坐标公式得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】（1）因为、，所以线段的中垂线方程为， 易知点为直线与直线的交点， 联立得，故点，故. （2）由（1）可知圆的半径为， 故圆的标准方程为. （3）设点、，由线段中点坐标公式可得，所以， 因为点在圆上，所以，化简得. 故点的轨迹方程为. （25-26高二上·内蒙古包头·期中）（1）已知动点到定点的距离与到定点的距离之比为,求动点的轨迹方程；小试牛刀2 （2）已知圆，线段的一端点在圆上运动，另一个端点．求线段的中点的轨迹方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设，根据结合两点间距离公式运算求解即可； （2）设，根据中点可得，代入圆的方程运算求解即可. 【详解】（1）设， 由题意可知：，即， 则，整理可得， 所以动点的轨迹方程为； （2）设， 因为点为线段的中点，且，则， 又因为点在圆上运动， 则，可得， 所以点的轨迹方程为. （24-25高二上·安徽·期中）在平面直角坐标系中，圆为过点，，的圆.小试牛刀3 (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与交于，两点，求弦中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）利用中点弦知识，转化为圆的方程问题； 【详解】（1）设圆的标准方程为，故有： ， 所以圆的标准方程为； （2）设弦MN的中点，    当直线斜率不存在时，点与点重合， 当直线斜率为0时，点与点重合， 当直线斜率存在且不为0时，由垂径定理知， 点的轨迹是以CG为直径的圆． 由， 得，， 整理得：； 【题型7：与圆的方程有关的最值问题】 【练方法】 公式结论 1.圆心定点 圆上动点到距离最值： 2.代数式几何意义：圆上动点与定点距离 3.几何意义：圆上动点与定点连线斜率 方法技巧 1.先由一般方程求出圆心坐标与半径 2.优先使用几何模型求解最值避开复杂代数运算 3.斜率型最值利用直线与圆相切临界条件列式求解 （25-26高二下·浙江·期中）设是圆上的动点，是圆上的动点，为坐标原点，则最小值是_________.经典例题1例题 【答案】8 【分析】由题可知圆即以和，满足的阿氏圆，将问题转化为求即可求解. 【详解】圆的方程为，其圆心，半径． 设，根据两点间距离公式，由可得：， 两边平方整理得， 因为在圆（即）上， 将代入得：， 即． 由于该式对圆上所有成立， 所以且，解得，即点，且满足． 所以， 而，所以. （25-26高一下·甘肃兰州·阶段检测）已知，，，若点满足，则的最大值为（    ）小试牛刀1 A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定在上，再表示出，将转化为到点的距离，最后利用圆的性质求解即可. 【详解】设，则，而， 可得，而，，， 则，得到， 即表示到点的距离， 而由两点间距离公式得点到圆心的距离为， 得到的最大值为，故D正确. （25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，已知x，y满足，则的取值范围为____.小试牛刀2 【答案】 【分析】根据方程确定圆心及半径，再利用定点到圆上的点的距离的范围即可求解． 【详解】可化为， 所以表示圆心为，半径为2的圆上的点. ， 所以的几何意义是圆上的点与的距离的平方减8， ， 所以， 所以． （2026高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知动点在圆：上，则的取值范围为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点在圆上，利用三角代换，转化为三角函数的值域问题求解即可. 【详解】由可得， 由圆的对称性，不妨设在轴及轴上方， 则可设， 所以， 由，可知，故， 所以，即， 故选：D 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·山西忻州·模拟预测）圆的圆心到直线的距离为（  ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意，求得圆心的坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】将圆，化为，可得圆心为， 圆心到直线的距离为． 2．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知a是实数，则“”是“方程表示圆”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】配方得到圆的充要条件即可判断. 【详解】方程配方得， 若方程表示圆，则，解得， 则“”是“方程表示圆”的充分不必要条件. 4．（25-26高二下·广东深圳·期中）已知圆，则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】法一：将圆的一般方程化为标准方程， 由此可知圆的半径，所以该圆的面积. 法二：由圆的一般方程知， 所以圆的半径，所以该圆的面积. 5．（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆的判别式结合一元二次不等式计算求解. 【详解】因为方程表示圆， 则，即得，解得， 则整数m的值为. 6．（25-26高二上·陕西西安·期末）若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方程表示圆和点在圆外建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为点在圆C外，所以，解得， 所以a的取值范围为． 故选：B. 7．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知直线的倾斜角为，点，圆，若圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线的方程，并将圆化为标准方程，求出点关于直线对称的点，即可根据圆心和半径写出方程. 【详解】由题意知，直线的方程为，即， 圆可化为， 故圆心，半径为， 设点关于直线对称的点为， 则，，解得， 因为圆与圆关于直线对称，所以， 又圆的半径为，故圆的标准方程为. 故选：C 8．（25-26高二上·福建龙岩·阶段检测）已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出圆的圆心和半径，再根据两条直线垂直，斜率之积为，再利用点斜式求出直线方程即可. 【详解】由圆的方程可求出圆心， 又因为直线的斜率，且直线与直线垂直， 所以根据两条直线垂直，斜率之积为，可得直线的斜率是， 根据点斜式方程可知直线的方程是：,整理得. 故选：C 二、多选题 9．（2026·江苏淮安·模拟预测）在中，，的内心，下列说法正确的有（   ） A．的内切圆的半径为3 B．直线方程为 C．直线方程为 D．外接圆的方程为 【答案】BCD 【分析】对于A，求出到直线的距离即可判断；对于BC，设直线方程根据点到直线的距离公式即可判断；对于D，求出点坐标，设圆的一般方程，代入即可判断. 【详解】直线的方程为，即， 内心到直线的距离为， 故的内切圆的半径为，故A错误； 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到直线的距离为，不符合的内切圆的半径为， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 则，解得或， 其中时，表示的是直线，舍去， 所以直线方程为，即，故B正确； 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到直线的距离为，不符合的内切圆的半径为， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 则，解得或， 其中时，表示的是直线，舍去， 所以直线方程为，即，故C正确； 联立，解得，所以， 设外接圆的方程为， 所以，解得， 所以外接圆的方程为，故D正确. 10．（2026·江苏扬州·模拟预测）解析几何能将原本的几何图形转化为代数运算，在如今的数学解题中被广泛应用，下列命题中，是真命题的是（   ） A．已知直线与平行，则或 B．已知，点为轴上一动点，则的最大值为 C．已知实数满足方程，则的最大值为 D．已知两点，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 【答案】BC 【分析】根据两直线平行的条件检验从而判断A，关于轴的对称点为，由对称性得，然后利用平面几何知识求解最大值判断B，用三角换元法求解判断C，利用直线与线段相交时，观察直线的斜率是否有不存在的情形，并计算出的斜率后可得结论从而判断D. 【详解】对A，时，两直线方程分别为和，平行，时，两直线方程分别为，，两直线方程可以化为相同（如第一个方程两边乘以），两直线重合，A错； 对B，关于轴的对称点为，则，当是的延长线与轴交点时取等号， 所以的最大值是，B正确； 对C，方程表示的曲线是圆，其中圆心坐标是，半径是，设，，，，所以时，，C正确； 对D，，，点横坐标在两点的横坐标之间，过与轴垂直的直线与线段有交点，所以所求的范围是，D错. 11．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）设点和均在上，圆心在直线上，则下列结论正确的是（   ） A．圆心为 B．半径为 C．一般方程为 D．点到直线距离为 【答案】AC 【分析】分析可知圆心在线段的中垂线上，将线段的中垂线方程与直线方程联立，可求出圆心的坐标，可判断A选项；利用两点间的距离公式求出圆的半径为，可判断B选项；写出圆的标准方程，并化为一般方程，可判断C选项；求出直线的方程，利用点到直线的距离公式可判断D选项. 【详解】对于A，因为点和均在上，则圆心在线段的中垂线上， 直线的斜率为，线段的中点为， 所以线段的中垂线方程为，即， 又因为圆心在直线上，联立，解得， 故圆心为，A对； 对于B，圆的半径为，B错； 对于C，圆的标准方程为，其一般方程为，C对； 对于D，直线的截距式方程为，化为一般方程为， 故点到直线的距离为，D错. 12．（25-26高二上·河南郑州·期中）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．该方程一定是圆的方程 B．该方程一定能表示过坐标原点的圆 C．若该方程表示圆，则圆心在定直线上 D．若该方程表示圆，则圆上总存在两点到原点的距离为1 【答案】ACD 【分析】化一般方程为标准方程，再结合选项逐个判断即可. 【详解】对于A：由得：，显然该方程表示圆心为， 半径为的圆，所以A正确； 对于B：将点代入圆的方程得：，显然该圆不过坐标原点，所以B错误； 对于C：因为圆心始终在直线上，所以C正确； 对于D：由得：， 所以，解得或， 所以该方程表示的圆恒过两点， 因为这两点到原点的距离都为1， 所以圆上总存在两点到原点的距离为1，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题 13．（25-26高二下·云南玉溪·期末）若方程表示圆，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】∵ 方程表示圆. 将方程两边同除以2，化为圆的一般方程标准形式：. ∵ 二元二次方程表示圆的充要条件为， 此处，，，代入得， 展开计算得，解得或， 即实数的取值范围是. 14．（25-26高二上·上海·期末）已知实数满足，，，则的最大值为________ 【答案】 【分析】设，线段的中点为，分析可知点的轨迹以为圆心，半径的圆，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，可得，结合圆的性质分析求解即可. 【详解】设，，为坐标原点，则，， 因为，，可知两点在以为圆心，半径的圆上， 又因为，且， 即，可得， 且，则， 可知三角形为等边三角形，则， 设线段的中点为，则，可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 过点分别作直线的垂线，垂足分别为， 则， 因为点到直线的距离， 则，当且仅当点在线段上时，等号成立， 可得， 所以的最大值为. 15．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知圆经过三点，，，则圆的方程为______. 【答案】 【分析】设圆的一般方程，用待定系数法可得圆的方程. 【详解】设圆的方程为，由圆经过点，得； 由圆经过，得，即①； 再由圆经过，得，即②； 联立①②解得，所以圆的方程为， 故答案为： 16．（25-26高二上·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为_____. 【答案】 【分析】设，根据两点间距离公式，化简求动点的轨迹方程. 【详解】设动点，又，，则，， 因为点满足， 所以，化简整理得， 所以动点的轨迹方程为. 四、解答题 17．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知 的斜边为，且，求： (1)若边所在直线的一个方向向量为，求边所在直线方程; (2)求直角顶点的轨迹方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由方向向量确定直线斜率，进而由点斜式即可求解； （2）法一：由即可求解，法二：设线段的中点为，由，结合圆的方程即可求解. 【详解】（1）设直线的斜率为， 因为直线的一个方向向量为，所以， 所以直线的方程为，即； （2）方法一：设，因为三点不共线，所以. 因为，且斜率均存在，所以， 又，所以，化简得， 因此，直角顶点C的轨迹方程为，即. 方法二：线段的中点为，由中点坐标公式得， 由直角三角形的性质知, 由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆 （由于三点不共线，所以应除去与x轴的交点）. 所以直角顶点的轨迹方程为. 18．（25-26高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，已知点与，点为线段上的动点，点为线段上的动点， (1)求过点三点圆的标准方程. (2)若，试问过点三点的圆是否存在定点？若存在，请求出定点.若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，和. 【分析】（1）根据已知得到圆心在直线上，设圆心，利用半径列方程求参数，即可得； （2）设，得，根据三点共圆，应用待定系数法求得圆的方程为，进而求圆所过的定点. 【详解】（1）已知点，则的中点坐标为， 由三点共圆，且，所以圆心在直线上， 设圆心，所以，解得， 所以圆的标准方程为； （2）因为，设，所以，则， 设圆的一般方程为，圆过点， 令可得的两个根为0和，所以， 所以方程为，再代入，解得， 所以方程为， 所以， 所以，解得或. 所以过点三点的圆存在定点和. 19．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知圆E经过点，且恒被直线（）平分. (1)求圆E的标准方程； (2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.（当点P经过点A时，规定点M与点P重合） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知圆心坐标为，进而可得半径，即可得圆的方程； （2）设，根据中点坐标公式可得，代入圆的方程运算求解即可. 【详解】（1）因为直线（）可化为：， 所以直线恒过点， 又因为圆E恒被直线（）平分，则（）恒过圆心， 可知圆心坐标为，且圆E经过点，所以圆的半径， 所以圆E的方程为. （2）设， 因为M为线段AP的中点，且，则， 因为点P是圆E上的动点，则，即， 所以M的轨迹方程为. 20．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）已知圆心在轴上的圆过两点，其中为坐标原点. (1)求的标准方程； (2)设为上的一动点，，探究是不是定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)是定值，5 【分析】（1）设圆心得到圆的方程，代点坐标得到方程组，解方程组即可求得圆的方程； （2）设点坐标，列出，代入坐标的关系式化简即可得到定值. 【详解】（1）设，圆的方程为， 圆过两点， ∴， 解得， 故的标准方程为. （2）设，则， ∴， ∵为上的动点，， ， 为定值5. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【2.4.2 圆的一般方程】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．圆的一般方程 圆的一般方程是______（______0），圆心为______，半径为______． 注意：（1）对于方程， ①当时，方程表示_圆_____； ②当时，方程表示一个点______； ③当时，方程__不表示任何图形____． （2）圆的一般方程有如下特点： ①与项的系数相同且不为零； ②不含xy项； ③，叫做圆的方程的判别式． （3）无论是圆的标准方程还是圆的一般方程，其中都含有三个需要确定的常数a、b、r或D、E、F，因此，必须具备三个独立条件，才能确定一个圆的方程． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：二次方程表示的曲线与圆的关系】 【练方法】 公式结论 1.二元二次方程 化简为 2.方程表示圆 3.方程仅表示一个点（点圆） 4.方程无实数解不表示任何曲线 5.二元二次方程成为圆的必要条件：系数相等且不为0不含xy交叉项 方法技巧 1.先检查二次项系数：与系数相等且不为0无xy项 2.计算判别式根据符号判定曲线类型 3.含参数方程利用列不等式求解参数范围 （25-26高二下·贵州铜仁·期末）若方程表示圆，则k的取值范围为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ）小试牛刀1 A． B． C．或 D．或 （25-26高二上·安徽·期中）若方程表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：求圆的一般方程】 【练方法】 公式结论 1.一般式待定系数法：设 代入3个点坐标得到三元一次方程组解出D、E、F 2.标准方程展开可直接转化为一般方程 3.已知圆心半径优先写标准方程再展开得到一般方程 方法技巧 1.已知三个点优先选用一般方程待定系数法运算多为一次方程组 2.求出D、E、F后必须验证确保方程代表圆 3.已知圆心、半径条件优先标准式再展开化为一般式 （25-26高二上·广东湛江·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、.经典例题1例题 (1)求边的高线的直线方程； (2)求边的垂直平分线的直线方程； (3)求的外接圆方程. （25-26高二上·四川遂宁·期中）已知点，求解满足下列条件的直线或圆的方程.小试牛刀1 (1)经过点，且在轴上的截距为的直线的一般式方程； (2)以点为圆心，且与轴相切的圆的一般方程. （25-26高三上·广东佛山·阶段检测）及的坐标分别是及，其中是一个常数．设为直角坐标平面上的一动点使得．若的轨迹方程是，求的值．（　　）小试牛刀2 A．-8 B．-6 C．6 D．8 （24-25高二上·北京房山·期中）已知点在同一个圆上，则这个圆的方程为______.小试牛刀3 【题型3：圆过定点问题】 【练方法】 公式结论 1.含参圆系方程： 2.求定点方法：分离参数令参数系数、常数项全部等于0联立方程组求解 3.定点坐标恒满足方程与参数取值无关 方法技巧 1.将含参圆方程整理为“参数·式子+不含参数式子=0”形式 2.令参数系数与剩余式子分别等于0联立二元方程组求交点 3.代入两组特殊参数得到两个圆方程联立求交点即为定点 （25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______．经典例题1例题 （24-25高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，C，记的外接圆为圆①当时，圆E的一般式方程是__________;②圆E恒过的两个定点是__________.小试牛刀1 （23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点______．小试牛刀3 【题型4：点和圆的位置关系求参数】 【练方法】 公式结论 圆点 记 1.点在圆外 2.点在圆上 3.点在圆内 同时必须保证方程为实圆 方法技巧 1.将点坐标代入圆左侧代数式判断正负 2.含参数题目同时满足两个条件：、点位置对应的不等式 3.联立不等式求解参数取值范围 （25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为（    ）小试牛刀1 A． B．（－10，6） C． D． （25-26高二上·广东·期末）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高二上·湖北咸宁·期末）点在圆外，则k的取值范围为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：圆的对称性的应用】 【练方法】 公式结论 1.圆心是圆的对称中心任意直径都是圆的对称轴 2.圆关于直线对称：圆心关于直线对称得到新圆心半径不变 3.圆关于点对称：圆心关于定点对称得到新圆心半径不变 方法技巧 1.对称变换只改变圆心坐标半径保持恒定 2.求圆心对称点：使用中点公式、垂直斜率关系联立求解 3.对称完成后用新圆心与原半径写出圆方程 （25-26高二下·上海青浦·期末）若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________．经典例题1例题 （2026·四川巴中·一模）若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是_____.小试牛刀1 （24-25高二下·安徽铜陵·阶段检测）已知圆关于直线对称，则实数（    ）小试牛刀2 A．4 B．5 C．6 D．8 （24-25高二上·北京·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（    ）小试牛刀3 A． B． C．1 D．-1 【题型6：与圆有关的轨迹方程求法】 【练方法】 公式结论 1.直接法：设动点根据几何条件直接列出等式整理 2.定义法：满足到定点距离为定值轨迹直接为圆 3.代入法（相关点法）：主动点在已知圆上建立主动点与动点坐标关系 4.参数法：引入参数消参得到x,y关系式 方法技巧 1.先观察几何条件是否符合圆定义优先定义法 2.存在动点依托已知圆运动使用相关点代入法 3.化简方程后剔除不符合条件的点注意轨迹范 （25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知为圆上一动点，则线段的中点B的轨迹方程为__________．经典例题1例题 （25-26高二上·江西景德镇·期末）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、．小试牛刀1 (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． （25-26高二上·内蒙古包头·期中）（1）已知动点到定点的距离与到定点的距离之比为,求动点的轨迹方程；小试牛刀2 （2）已知圆，线段的一端点在圆上运动，另一个端点．求线段的中点的轨迹方程. （24-25高二上·安徽·期中）在平面直角坐标系中，圆为过点，，的圆.小试牛刀3 (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与交于，两点，求弦中点的轨迹方程. 【题型7：与圆的方程有关的最值问题】 【练方法】 公式结论 1.圆心定点 圆上动点到距离最值： 2.代数式几何意义：圆上动点与定点距离 3.几何意义：圆上动点与定点连线斜率 方法技巧 1.先由一般方程求出圆心坐标与半径 2.优先使用几何模型求解最值避开复杂代数运算 3.斜率型最值利用直线与圆相切临界条件列式求解 （25-26高二下·浙江·期中）设是圆上的动点，是圆上的动点，为坐标原点，则最小值是_________.经典例题1例题 （25-26高一下·甘肃兰州·阶段检测）已知，，，若点满足，则的最大值为（    ）小试牛刀1 A．4 B． C． D． （25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，已知x，y满足，则的取值范围为____.小试牛刀2 （2026高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知动点在圆：上，则的取值范围为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·山西忻州·模拟预测）圆的圆心到直线的距离为（  ） A． B．2 C． D．3 2．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知a是实数，则“”是“方程表示圆”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二下·广东深圳·期中）已知圆，则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 6．（25-26高二上·陕西西安·期末）若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知直线的倾斜角为，点，圆，若圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·福建龙岩·阶段检测）已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·江苏淮安·模拟预测）在中，，的内心，下列说法正确的有（   ） A．的内切圆的半径为3 B．直线方程为 C．直线方程为 D．外接圆的方程为 10．（2026·江苏扬州·模拟预测）解析几何能将原本的几何图形转化为代数运算，在如今的数学解题中被广泛应用，下列命题中，是真命题的是（   ） A．已知直线与平行，则或 B．已知，点为轴上一动点，则的最大值为 C．已知实数满足方程，则的最大值为 D．已知两点，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 11．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）设点和均在上，圆心在直线上，则下列结论正确的是（   ） A．圆心为 B．半径为 C．一般方程为 D．点到直线距离为 12．（25-26高二上·河南郑州·期中）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．该方程一定是圆的方程 B．该方程一定能表示过坐标原点的圆 C．若该方程表示圆，则圆心在定直线上 D．若该方程表示圆，则圆上总存在两点到原点的距离为1 三、填空题 13．（25-26高二下·云南玉溪·期末）若方程表示圆，则实数的取值范围是__________． 14．（25-26高二上·上海·期末）已知实数满足，，，则的最大值为________ 15．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知圆经过三点，，，则圆的方程为______. 16．（25-26高二上·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为_____. 四、解答题 17．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知 的斜边为，且，求： (1)若边所在直线的一个方向向量为，求边所在直线方程; (2)求直角顶点的轨迹方程. 18．（25-26高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，已知点与，点为线段上的动点，点为线段上的动点， (1)求过点三点圆的标准方程. (2)若，试问过点三点的圆是否存在定点？若存在，请求出定点.若不存在，请说明理由. 19．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知圆E经过点，且恒被直线（）平分. (1)求圆E的标准方程； (2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.（当点P经过点A时，规定点M与点P重合） 20．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）已知圆心在轴上的圆过两点，其中为坐标原点. (1)求的标准方程； (2)设为上的一动点，，探究是不是定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $