第12讲 解一元二次方程（100题）（暑假预习举一反三专项训练）新九年级数学上册新教材苏科版

**基本信息** 100题系统覆盖解一元二次方程全方法，通过分层训练构建方法选择与知识应用逻辑，提升运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础解法训练|1-50题|含直接开平方法、因式分解法等基本方程|从简单到复杂，构建方法选择阶梯，体现概念生成与应用拓展| |指定方法专项|51-80题|明确要求配方法、公式法等特定解法|强化每种方法的操作流程，突出原理推导与技能迁移| |综合应用与拓展|81-100题|含换元法、含参数方程等综合题|关联方程结构与方法适配，培养数学思维与问题解决能力|

第12讲 解一元二次方程（100题）（暑假预习专项训练） 【新教材苏科版】 1．（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）用适当方法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，熟记一元二次方程的常用解法是解决问题的关键． 先求出判别式，得到，再由一元二次方程求根公式，代入，，求解即可得到答案． 【详解】解：， ，，， ， ， ，． 2．（25-26九年级上·四川泸州·期中）用适当方法解方程： 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用公式法解方程即可． 【详解】解： ，，， ∴， ∴， 3．（24-25九年级上·广东东莞·期末）用适当方法解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得． 4．（24-25九年级上·青海海西·期末）选择适当方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程．运用因式分解法求解即可． 【详解】解：提取公因式得：， 或， ∴，． 5．解方程：用适当方法解方程． 【答案】， 【分析】利用公式法解方程即可． 本题主要考查了利用公式法解一元二次方程，选择合适的方法解方程是解题的关键． 【详解】解： ， ∴ ， ， ，． 6．（24-25九年级上·吉林·期中）用适当方法解方程： 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法解方程即可． 【详解】解： ， ， ∴． 7．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）选择适当方法解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是解一元二次方程，解题的关键在于掌握解一元二次方程的各种方法，并且根据方程选择合适的方法尤为重要． （1）根据方程情况提公因式，分别令或，即可求解； （2）根据方程情况选用公式法，分别找到二次项系数，一次项系数，常数项，然后验证的情况，看有没有实数根，然后根据公式，即可求解． 【详解】（1）解：， 提公因式得， 或， 故，． （2）解：， ，，， ， ， 故，． 8．（24-25九年级上·云南大理·期中）用适当方法解方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法解方程是关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ 则或， 那么，，； （2）解：∵， ∴， 则， 故，． 9．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）用适当方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 直接运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， 或， 所以． 10．（25-26九年级上·广东珠海·期中）用适当方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程．运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ 则或， ． 11．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，包括公式法与因式分解法，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法． （1）根据公式法，将对应的值代入求解即可； （2）先移项，再提取公因式，求解即可． 【详解】（1）解：原方程移项得， 即， ， ， ； （2）解：， ， ， ，， ． 12．（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法． （1）直接利用开平方的方法解方程即可． （2）利用因式分解的方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴或， ∴，． （2）解：， ∴， ∴或， 解得：，． 13．（24-25九年级上·广东珠海·期中）用适当方法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）运用配方法求解即可； （2）方程移项后，运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得， 配方得，即， 开方得， ∴，； （2）解：， 移项得， 因式分解得， ∴，， ∴，． 14．（24-25九年级上·全国·期中）用适当方法解下列方程． (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，观察原方程的结构特点选择合适的方法是本题的解题关键． （1）观察原方程可知含有公因式，故采用因式分解法进行求解即可； （2）使用十字相乘法将方程因式分解为后再求解即可． 【详解】（1）解：移项，得：， 提公因式，得：， 或； 解得：，； （2）解：十字相乘法因式分解，得：， 或； 解得，． 15．（24-25九年级上·四川达州·期中）用适当方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，， （2）解：， ， ， ， ， ． 16．选择适当方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解题的关键． （1）方程两边都除以2，再开方，求出方程的解即可； （2）先利用提取公因式法把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同除以2，得：， 开方，得：， 解得：，； （2）解：， ， ， 或， 解得：，． 17．（24-25九年级上·天津西青·期中）用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 这里，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， ， ∴或， 解得：，． 18．（24-25九年级上·全国·期中）用适当方法解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的知识点是解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）移项后利用配方法求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，． （2）解：， ， ， ， ，． 19．（24-25九年级上·天津·期中）用适当方法解下列方程． (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解法与解法步骤是解本题的关键； （1）先计算，再利用求根公式解方程即可； （2）把方程化为，可得，再化为两个一次方程求解即可． 【详解】（1）解：， ∴，，， ∴， ∴， 解得：，； （2）解： 方程变形得：， 分解因式得：，即， 所以或， 解得：，． 20．计算：用适当方法解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）把方程的左边分解因式，再把方程化为两个一次方程，再解一次方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解： 解得：，； （2）解： 或 解得：，． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法与因式分解法解一元二次方程”是解本题的关键． 21．（25-26九年级上·重庆綦江·期末）用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用配方法计算即可； （2）利用因式分解法计算即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2）解：， ， ， 解得． 22．（24-25九年级上·河南信阳·期末）用适当方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键； （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案； （2）先把右边的式子移到左边，再因式分解求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， 或， ，． 23．用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再两边加上一次项系数的一半的平方进行配方，据此解方程即可； （2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 24．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用适当方法解下列方程 (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）先把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可求解； （）先把方程整理成一般式，再利用公式法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：方程整理成一般形式，得， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：去括号得 方程整理成一般形式，得， ∴，，， ∵， ∴， 即，． 25．用适当方法解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， 或， ，． 26．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）用适当方法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键； （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， ，即， ， ，； （2）解：， ， 或， ，． 27．（25-26九年级上·宁夏中卫·期中）用适当方法解下列方程． (1)； (2) 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法． （1）先把方程左边分解得到，原方程转化为或，然后解一次方程即可； （2）整理后，提取公因式得到，然后解两个一元一次方程即可． 【详解】（1）解：∵， 因式分解得， ∴或， ∴，； （2）解：∵， 整理得， 因式分解得， ∴或， ∴． 28．（25-26九年级上·辽宁锦州·期中）用适当方法解下列方程． (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解： （1）先移项，再用因式分解即可； （2）方程化为一般式，用公式法求解． 【详解】（1）解： ∴ ∴或 解得：， （2）解： ； ∵，， ∵ ∴ ∴， 29．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）用适当方法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 30．（24-25九年级上·四川成都·期末）用适当方法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法解方程是关键． （1）利用配方法求解即可； （2）方程整理后，利用因式分解法求解即可； （3）利用配方法求解即可． 【详解】（1）解： ∴，； （2）解： 整理，可得 ∴，； （3）解： ∴，． 31．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）选择适当方法解下列方程： (1)； (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，选择合适的方法解方程是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （3）运用配方法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解： 或， ∴； （2）解： 或， ； （3）解： ∴， ． 32．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）用适当方法解方程： (1)． (2)． (3) 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解： ， ∴， （3）解： 或 ∴， 33．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）用适当方法解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用因式分解法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； （3）利用因式分解法即可求解； 【详解】（1）解：， ， 化简，得 解得： （2）解：， 解得： （3）解：， 解得： 34．用适当方法解下列一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)原方程没有实数根 【分析】此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个方程的特点选用恰当的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程； （3）利用配方法解方程． 【详解】（1）解： 因式分解得： 所以或 解得： （2）解： 整理得： 分解因式得： 即 所以或 解得： （3）解： 方程整理得： 配方得： 即 ∴原方程没有实数根． 35．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）用适当方法解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)，； (2)，； (3)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用开平方法解方程即可； （2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可． （3）先移项，然后利用配方法解方程即可； 【详解】（1） ∴或， 解得，； （2）解：， ∴， ∴， 则或 解得，； （3） ∴， ∴， 解得，； 36．（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）用适当方法解下列一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】此题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴或 ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴或 ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 37．（24-25九年级上·甘肃天水·阶段检测）用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活掌握一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有直接开方法，因式分解法，公因式法，配方法． （1）利用直接开方法求解即可． （2）利用提公因式法求解即可． （3）利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，． 38．用适当方法解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据一元二次方程的特点灵活选择解法是解题的关键． （1）方程两边同时加上4，再利用配方法解一元二次方程即可； （2）方程两边同时除以7，再利用直接开平方法解一元二次方程即可； （3）方程移项得，方程左边提取公因式进行因式分解即可求解方程． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，； （2）， ， ， ，； （3）， ， ， ， 或， ，． 39．用适当方法解方程： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3)无实数根 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）因式分解法求解； （2）因式分解法求解； （3）公式法求解． 【详解】（1）解： 或 ∴原方程的解为：； （2）解： ∴原方程的解为：； （3）解： ∴原方程无实数根． 40．请选择适当方法解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）将方程两边都除以5，再利用直接开平方法解方程即可； （2）将原方程变形为利，再用因式分解法解方程即可； （3）将方程化为一般形式，再利用公式法解方程即可． 熟练掌握各种解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， 方程两边都除以5，得， 直接开平方，得， 所以或， 即，； （2）， 原方程可变形为， 即， 方程左边因式分解，得， 所以或， 得，； （3）， 将方程化为一般形式，得， 因为， 所以， 即，． 41．（25-26九年级上·全国·期中）用适当方法解下列方程∶ (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2)，； (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择合适的解法，如直接开平方法、因式分解法、公式法等． （1）方程，可先将方程两边同时除以4，再用直接开平方法求解； （2）方程，尝试用因式分解法求解； （3）方程，用公式法求解； （4）方程，把看成一个整体，用因式分解法求解． 【详解】（1）解：（1），即， 或， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ； （4）解：， 设，则方程变形为， ， 即， 或， 或， 则或， 解得． 42．（24-25九年级上·四川资阳·阶段检测）用适当方法解方程： (1)； (2) (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程； （1），先移项，再根据因式分解法求出解即可； （2），根据直接开方法求解； （3），先求出，再用求根公式求解； （4），根据因式分解法求出解． 【详解】（1）解：整理，得， 移项，得， 因式分解，得， 即或， 解得； （2）解：移项，得， 开方，得， 即或， ∴； （3）解：， 由题意知， 则 根据求根公式，得， ∴； （4）解：， 因式分解，得， 即或， ∴． 43．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，并熟练掌握利用一元二次方程特征选用适合方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）先化为一般式，再利用公式法解一元二次方程即可； （4）先设，方程变形为，再利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 变形为， 直接开平方，得或， 解得：，； （2）解：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （3）解：， 化简为， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （4）解：， 设， 则方程变形为， 移项，得， 配方，得， 即， 开方，得或， 则或， 则或， 解得：，． 44．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）用适当方法解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，对于（1），根据直接开方法求解即可； 对于（2），先配方，再开方求解； 对于（3）（4），先移项，再因式分解求解. 【详解】（1）解：移项，得， ∴，； （2）移项，得， 配方，得， 开方，得，； （3）解：移项，得， 因式分解，得， 解得，； （4）解：移项，得， 因式分解，得， 解得，． 45．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）用适当方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3) (4)无解 【分析】本题考查了一元二次方程解法，解题关键是根据方程的特点选择合适的方法解方程． （1）利用开平方法解一元二次方程即可． （2）利用配方法解一元一次方程即可． （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． （4）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ， （2） ， （3） ， （4） ∵， ∴此方程无解． 46．选用适当方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）用直接开平方法求解即可； （2）用配方法求解即可； （3）用公式法求解即可； （4）移项后用因式分解法求解即可. 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）∵ ∴ ∴ ∴ （4）∵ ∴ ∴ ∴或 ∴ 47．用适当的方式解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，直接开平方法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用解一元二次方程-直接开平方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答； （3）利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答； （4）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： 解得：； （2）解： 或 解得：； （3）解： 解得：； （4）解： 或 解得：． 48．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）选择适当方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)，； (3)，； (4)， 【分析】此题考查了解一元二次方程， （1）利用开平方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， 则， 解得； （2）， 由题意得，， 则， ∴， 即，； （3）， 由题意得，， 则， ∴， 即，； （4）， ∴， 则或， 解得，． 49．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用直接开平方法求解即可； （3）利用配方法求解即可； （4）利用公式法求解即可． 【详解】（1）解： 或 ， （2）解： ， （3）解： ， （4）解： ， ， 50．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段检测）用适当方法解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据题目特点，选择适当的解法是解题的关键． （1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解； （3）利用配方法把方程化为的形式，然后可用直接开平方解方程； （4）两边分别开平方，得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；． 【详解】（1）解：， 移项得：， ∴， ∴或， 解得：； （2）解：， ，， ∴， 解得： （3）解：， 配方得：， ∴， 解得：； （4）解：， ∴或 ∴或 解得： 51．用适当方法解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题考查了直接开平方法，因式分解法和公式法解一元二次方程，选择适当解方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法求解即可． （2）利用直接开平方法计算即可． （3）利用因式分解法法求解即可． （4）利用因式分解法法求解即可． 【详解】（1）∵, 在这里， ∴， 解得，． （2）， ∴， ∴． （3）∵， ∴ ∴， 解得． （4）∵, ∴ ∴， 解得． 52．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）选用适当方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练选择合适的方法解方程是关键． （1）利用直接开平方法即可解答； （2）利用配方法即可解答； （3）利用公式法即可解答； （4）利用十字相乘法即可解答． 【详解】（1）解：， 移项，得， 两边都除以3，得， 两边开平方，得， 移项，得， 解得：，； （2）解：， 两边都除以2，得， 移项，得， 配方，得，即， 解得：， 即，； （3）解：， 这里，，， ， ， 解得：，； （4）解：， 方程左边因式分解，得，即， 解得：，． 53．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）用适当方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键， （1）利用提公因式法解方程即可得到答案； （2）利用直接开平方解方程即可得到答案； （3）利用因式分解法解方程即可得到答案； （4）利用公式法解方程即可得到答案 【详解】（1）解： 提公因式得： 解得：，． （2）解：， 开平方得：， 解得：，． （3）解： 因式分解得： 解得：，． （4）解： ∵， ∴， ∴， ∴，． 54．（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）用适当方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握相关解法是解题的关键． （1）将方程进行变形，利用开平方法进行求解即可； （2）利用配方法进行求解即可； （3）利用配方法进行求解即可； （4）利用因式分解法进行求解即可； 【详解】（1）解： ， （2）解： ， （3）解： ， （4）解： ， 55．（25-26九年级上·天津西青·阶段检测）用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． （1）利用直接开平方法解方程； （2）利用因式分解法解方程； （3）利用直接开平方法解方程； （4）利用因式分解法解方程． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， 或， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， 或， ． 56．（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）适当方法解方程． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）直接开方法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可； （3）公式法解方程即可； （4）因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得； （2）， ， ， 解得； （3）， ， ， ， 解得； （4）， ， ， ， ， 解得． 57．按要求解下列方程 (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） (4)（适当方法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了解一元二次方程，掌握方程解法的步骤是解题的关键． （1）首先移项化简，再在等式的两边加上一次项系数的一半的平方，即可得出答案； （2）找出方程的二次项系数一次项系数及常数项，计算出根的判别式的值大于0，将的值代入求根公式，即可求出方程的解； （3）首先去括号和移项，再进行分解因式，即可得出答案； （4）运用直接开平方法即可得到答案． 【详解】（1）解：， 整理得， ， ， ， 即或， ∴． （2）解：方程化为， ， ， 即， ∴． （3）解：， ， ， 即或， ∴． （4）解：， 整理得， 即， ∴． 58．（24-25九年级上·河南郑州·阶段检测）按要求解下列方程： (1)（用适当方法）； (2)（公式法）； (3)（用适当方法）； (4)（用适当方法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）先把原方程化为一般式，再利用因式分解法解方程即可； （4）利用直接开平方的方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得； （4）解：∵， ∴， 解得． 59．（24-25九年级上·北京·阶段检测）解方程： (1)（公式法） (2)．（配方法） (3)（选用适当方法） (4)（选用适当方法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据公式法解一元二次方程； （2）根据配方法解一元二次方程； （3）根据直接开平方法解一元二次方程； （4）先化为一般形式，根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：， 化简得：， ， ， 解得： ； （2）解：， 移项得：， 配方得：， 即， 故， 解得：； （3）解：， 移项得：， 开方得：， 解得：  ； （4）解：， 化简得：， 因式分解得：， 即或， 解得：． 60．（24-25九年级上·全国·阶段检测）解方程 (1)；（配方法） (2)；（公式法） (3)；（因式分解法） (4)．（适当方法） 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法：配方法，公式法，因式分解法的解答步骤是解题关键． （1）直接利用配方法求解，即可解题； （2）先确定求根公式中的a、b、c，再代入公式求解，即可解题； （3）先提取公因式分解因式，再取每个因式分别为0，即可解题； （4）直接利用配方法求解，即可解题． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解：， ，，， ， 方程有两个不等的实数根， ， ，； （3）解： 即或， 解得，； （4）解： ，． 61．用适当的方法解下列一元二次方程． (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)（因式分解）； (4)（适当方法）； (5)（适当方法）． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 方程利用配方法求解即可； 方程利用公式法求解即可； 方程利用因式分解法求解即可； 方程整理后，利用公式法求解即可； 方程利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：方程整理得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，； （2）解：，，， ， ， 解得：，； （3）解：方程整理得：， 分解因式得：， 所以或， 解得：，； （4）解：方程整理得：， ，，， ， ， 解得：，； （5）解：方程分解得：， 所以或， 解得：，． 62．选择适当方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）利用开平方法解方程即可； （2）变形后利用因式分解法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用公式法解方程即可； （5）变形后利用因式分解法解方程即可； （6）利用因式分解法解方程即可； 此题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法并根据方程特点灵活选择是解题的关键． 【详解】（1）解： ∴ 开平方得，， ∴ （2） ∴ ∴或 ∴ （3） ∴ ∴ ∴， ∴ （4） ∴ ∴， ∴， ∴ （5） ∴ ∴或 解得 （6） ∴ ∴或 解得． 63．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段检测）按指定方法解方程 (1)（配方法）； (2)（公式法） 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程，正确运用指定解法是解答本题的关键． （1）将方程的常数项移项后，方程两边同加上一次项系数一半的平方，配方后运用直接开平方解方程即可； （2）将方程整理为一般形式后，代入求根公式求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得， 即 所以 解得：； （2）解：， 整理为， 这里， ∴， 解得． 64．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）请用指定方法解下列方程： (1)（因式分解法）． (2)（公式法）． (3)（配方法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：， ， 移项得，， 提取公因式得，， 或， 解得，，； （2）解：， ∵，，， ∴， ， ，； （3）解：， 等式两边同时除以2得，， 移项得，， ∴配方得，， 即， 直接开方得，， ，． 65．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）用指定方法解下列方程： (1)；（公式法） (2)；（配方法） (3)（因式分解法） 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键. （1）先求出根的判别式，再用公式法计算即可； （2）将常数项移到方程右边，两边同时加上一次项系数一半的平方，配方即得，直接开方求解即可； （3）将所有项移到方程左边，然后提公因式得到，解方程即可． 【详解】（1）解：，， ，； （2）解： ，； （3）解： 或 ，． 66．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（配方法）． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键． （1）根据直接开平方法步骤计算可得； （2）将常数项移到右边后，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方式后开方可得； （3）将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边后，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方式后开方可得． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， 67．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）按照指定方法解下列方程． (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（公式法）； (4)（因式分解法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是能根据方程的特点选择适当的方法解一元二次方程． （1）移项，整理，利用直接开平方法求得方程的解即可； （2）利用配方法解方程求得答案； （3）利用公式法，首先求出判别式的值，继而求得答案； （4）利用因式分解法求得方程的解即可． 【详解】（1）解：， 整理得， ， 解得； （2）解：， ， ， ， ， 解得； （3）解：， ， ， 解得； （4）解：， ， ， 或 解得． 68．（25-26九年级上·甘肃酒泉·阶段检测）用指定方法解下列一元二次方程 (1)（因式分解法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（合适的方法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法、配方法、公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴，； （3）解：方程整理得， ∴，，， ∴， ∴方程有2个不相等的实数根， ∴ ∴，； （4）解： 或 ∴，． 69．（24-25九年级上·山东日照·阶段检测）用指定方法解一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题分别考查了利用配方法和公式法解一元二次方程，其中配方法的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方，公式法的关键 熟练掌握求根公式． （1）首先移项，然后方程两边同时加上9即可完成配方，然后解方程即可求解； （2）利用求根公式即可求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴， ，， （2）解： ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 70．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）用指定方法解下列方程： (1)；（配方法） (2)；（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）先移项，然后运用完全平方公式配方求解即可； （2）先把方程化成一般式，然后运用根的判别式判定根的存在，再运用根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 所以  ． （2）解：， ， ∴， ∴， ∴， ∴  ． 71．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）用指定方法解下列方程 (1)用公式法解方程： (2)用配方法解方程： 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：公式法与配方法是解题的关键． （1）根据公式法的步骤求解即可； （2）根据配方法的步骤求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， ， ， ∴，． 72．用指定方法解下列一元二次方程． (1) (直接开平方法) (2) (配方法) (3) (公式法) (4) (因式分解法) 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键． （1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可； （2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得； （3）确定出a、b、c的值，然后按照公式法的步骤进行求解即可； （4）方程左边利用完全平方公式进行分解，继而进行求解即可得． 【详解】（1）， ， ， ∴； （2）， ， ， ， ∴，； （3）， ，，， ， ∴， 即； （4）， ， ， ∴． 73．（24-25九年级上·山东滨州·阶段检测）用指定方法解下列方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解；∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 74．用指定方法解下列方程 (1)(用配方法)； (2)(用因式分解法)． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握指定的解法是解题的关键． （1）按照配方法解一元二次方程的一般步骤求解即可； （2）按照因式求解法解一元二次方程的一般步骤求解即可． 【详解】（1）解：（1） ∵， ∴ ， ∴ ∴， ∴ ， ∴ ∴ ， ∴， 即； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴；． 75．（25-26九年级上·四川达州·期末）按照指定方法解下列方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解可得答案； （2）利用公式法求解可得答案． 【详解】（1）解： ， 即， ∴， 解得：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 76．（25-26九年级上·宁夏银川·阶段检测）按照指定方法解下列方程： (1)（用直接开平方法） (2)．（用配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键． （1）根据指定的直接开平方法解方程即可； （2）根据指定的配方法解方程即可． 【详解】（1）解：开方，得 即或 ∴，； （2）解：移项，得 配方，得 即 开方，得 ∴，． 77．（24-25九年级上·山东滨州·期末）按指定方法解一元二次方程 (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次． （1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方式后，再开方，即可得出结果； （2）先求解，再利用求根公式计算即可． 【详解】（1）解： 移项，化“1”得：， 配方，得：， 即， 由此可得：， ，； （2）解： ，，， ， 方程有两个不等的实数根， ， 即，． 78．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段检测）请用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）； (4)（公式法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查解一元二次方程， （1）先移项，再直接开方即可求解； （2）等式两边同时乘以2，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开方即可求解； （3）移项，提取公因式即可求解； （4）确定的值，再运用判定根的情况，若，则，否则无解，由此即可求解． 【详解】（1）解：（直接开平方法） 移项得，， 直接开方得，， ∴， ∴； （2）解：（配方法） 等式两边同时乘以2得，， 等式两边同时加4得，， ∴， 直接开方得，， ∴， ∴； （3）解：（因式分解法） 等式右边提取公因式2得，， 移项得，， 提取公因式得，， ∴或， 解得，； （4）解：（公式法） ，， ∴， ∴． 79．解下列方程：（有指定方法必须用指定方法） (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)． (4)． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了配方法、公式法．因式分解法解一元二次方程．熟练掌握配方法、公式法．因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法进行求解即可； （2）利用公式法进行求解即可； （3）利用因式分解法进行求解即可； （4）整理到一般式后再利用因式分解法进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 解得，； （2）解：， ， ， 解得，，； （3）解：， ， 或， 解得，； （4）解：， 整理得，， ， 或， 解得，． 80．用指定方法解下列一元二次方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据直接开平方法解一元二次方程； （2）根据配方法解一元二次方程； （3）根据公式法解一元二次方程； （4）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴， 解得：； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：， ∵， ， ∴， 解得：； （4）解：， ∴， ∴或， 解得：． 81．（25-26八年级上·上海·阶段检测）解方程： (1)（用配方法）； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了公式法和配方法解一元二次方程，熟知公式法及配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 则， 所以； （2）解：， ， ， 则， 所以． 82．（25-26八年级上·上海·阶段检测）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 利用因式分解法来解这个方程即可． 【详解】解： ，即 解得，． 83．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）解关于x的不等式：． 【答案】当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或． 【分析】本题考查了求不等式的解集．分类讨论求解即可． 【详解】解：当时，不等式为，解得； 当时，由不等式， 可得， 所以， 若，则， 解不等式得或； 若，则，不等式的解集为； 若，解得时， 解不等式得或； 当时，由不等式， 可得， 所以， 解得， 综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或． 84．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程、配方法、二次根式的非负性，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将原方程中的式子配方，令，先求出的值，进而求解． 【详解】解：， ， ， ， 令，可知， 上式可化为：， 则，解得， ， ， ， ， ∴，（为负值，舍去）， ∴， ， 解得：，． 85．（25-26八年级上·上海·期中）解方程：（为正整数）． 【答案】当为偶数时，；当为奇数时，或 【分析】本题考查了解一元二次方程，设，则原方程可化为，利用因式分解法求出方程的解，进而分为偶数和奇数两种情况解答即可，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：设， 则原方程可化为， ∴， ∴或， ∴或， 即或， 当为偶数时，，此时仅有， ∴； 当为奇数时，或， ∴或； 综上，当为偶数时，；当为奇数时，或． 86．（24-25八年级下·北京·期中）用适当的方法解下列关于的方程： (1) (2) (3) (4)； 【答案】(1)，； (2)，，； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，并熟练掌握利用一元二次方程特征选用适合方法解一元二次方程是解题的关键． （1）整理后，利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先因式分解法求得，再利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）先设，方程变形为，再利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 变形为， ∴或， 解得：，； （2）解：， 分解因式得， ∴或， 解得：， 解， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （3）解：， 分解因式得， ∴或， ∴，； （4）解：， 设， 则方程变形为， 分解因式得， ∴或， ∴或， 当时，， 即， ∵， 没有实数解； 当时，， 即， ∵， ∴， 解得：，． 87．解方程 【答案】 【分析】本题考查了解含绝对值的一元二次方程．熟练掌握绝对值的非负性，分类讨论化简绝对值，解一元二次方程，是解题的关键． 分与，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解． 【详解】当，即时， 原方程可化为：， 整理得：， 解得：， 当，即时， 原方程可化为：， 整理得， ∵， ∴此方程无实数解． 综上所述，原方程的解为：． 88．解方程． 【答案】，，，． 【分析】本题考查了解高次方程和一元二次方程，根据题意可知，则，转化为，设，则，求出或，即或，然后转化为一元二次方程或，最后求解检验即可，熟练掌握知识点的应用及换元思想是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知， ∴， ， ， 令， ∴， 整理得：， 解得：或，即或， 整理得：或， 解得：，，，， 经检验：，，，是方程的解， ∴，，，． 89．解方程：． 【答案】 【分析】移项得出＝1+，两边平方得出3x﹣5＝1+x+2+2，整理后得出2＝2x﹣8，再两边平方得出4（x+2）＝（2x﹣8）2，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， ∴＝1+， 两边平方得：3x﹣5＝1+x+2+2， 整理得：2＝2x﹣8， 两边平方，得4（x+2）＝（2x﹣8）2， 整理，得x2﹣9x+14＝0， 解得：x＝2或7， 经检验x＝2不是原方程的解，x＝7是原方程的解， 所以原方程的解是x＝7． 【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键． 90．解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用拆项分组的方法把左边分解因式，再化为一次方程即可； （2）分四种情况去绝对值，化为一元一次方程，再解一元一次方程即可； （3）先整理为关于的一元二次方程，根据根的判别式求解 再代入原方程求解即可. 【详解】（1）解： 解得： （2）解： 当时，原方程为： 即 解得： 经检验符合题意； 当时，原方程为： 即 解得：，经检验不符合题意舍去， 当时，原方程为： 即 解得： 经检验不符合题意，舍去， 当时，原方程为： 即 解得：，经检验符合题意； 综上：方程的解为或 （3）解： 整理为： 则 所以原方程化为： 解得： 所以方程的解为： 【点睛】本题考查的是利用因式分解解高次方程，分段去绝对值符号解绝对值方程，利用一元二次方程根的判别式解二元二次方程，熟练的掌握解方程的合适的方法是解本题的关键. 91．解方程． 【答案】 【分析】把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得，然后设，解得y的值，最后解得x的值． 【详解】解：把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得 （x2+5x-14）（x2+5x+4）=19． 设，① 则（y-9）（y+9）=19， 即y2-81=19． 解得，将y1、y2的值代入①式得， 或， 解得． 【点睛】本题主要考查高次方程求解的问题，解决此类问题的关键是仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法降次解之，此类题具有一定的难度，同学们解决时需要细心． 92．解方程． 【答案】，，，． 【分析】将化为，设，则原方程可化为，解得，，即：或，分别求解即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 设，则原方程可化为， 化简得： ∴ ∴，， 即：或 解之得：，，或，， 经检验，，，，都是原方程得解， 则原方程得解为：，，，． 【点睛】本题考查了换元法解分式方程和解一元二次方程，熟悉相关解法是解题的关键． 93．解方程： 【答案】 【分析】将原方程整理，移项，令，然后解关于t的一元二次方程，获得t的值，代回原方程即可求解． 【详解】 移项，整理得： 令，原式变为 解得，（舍去） ∴，即 解得， 故答案为 ，． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，问题的关键是令，然后解关于t的一元二次方程，一定要注意舍去不合理的根． 94．（25-26八年级上·上海·期中）． 【答案】 ，，， ． 【分析】本题主要考查了用换元法解方程，首先把方程整理成：，设，则原方程可以转化为：，解一元二次方程求出的值，根据的值得到关于的分式方程，继续解分式方程即可求出原方程的解． 【详解】解：， 分组可得：， 方程两边同时乘以可得：， 整理得：， 可得：， 设， 可得：， 分解因式可得：， 解得：，， 当时， 可得：， 整理可得：， 其中， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：，， 经检验：，均为原分式方程的解； 当时， 可得：， 整理可得：， 其中， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ， 经检验：， 均为原分式方程的解； 综上所述，原分式方程的解为：，，， ． 95．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）阅读下面的例题：解方程， 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去），． 原方程的根是，． (1)解方程； (2)解方程． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程解法、解含绝对值的方程． （1）参照例题方法，根据绝对值的性质，将原方程化为两个一元二次方程求解，注意舍根； （2）根据绝对值的性质，将原方程化为两个一元二次方程求解，注意舍根． 【详解】（1）解：当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为， 解得，（不合题意，舍去）； 原方程的根是，． （2）当，即时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； 当，即时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； 原方程的解是，． 96．阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得；∴原方程的解为，； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），，，；（2），． 【分析】（1）根据阅读材料利用换元法降次，令，即原方程=，求解即可． （2）同理，令，即原方程=，求解即可． 【详解】（1）设， 得：， 解得：，． 当时，，解得：， 当时，，解得：，． ∴原方程的解为，，，． （2）设，则方程可变成， ∴， ，． 当时，，所以无解． 当时，， ∴， ∴，． 经检验，是原方程的解． 【点睛】本题考查利用换元法解一元二次方程．利用整体换元把一些形式复杂的方程变成一元二次方程，从而达到降次的目的是解答本题的关键． 97．（25-26九年级上·福建三明·期中）阅读一元二次方程的新解法，思考并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程，都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时，两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】 以课本37页例题为例， 设（为常数）， 则原方程化为．① 整理，得．② 为使方程②不含的一次项，令，解得：． 则 所以，方程②化为． 解，得，． 所以， ， ． 【类比推广】 按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． 任务： (1)直接写出材料中“特例分析”部分方程的解 ， ； (2)按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用和的值写出和的值即可； （2）设，原方程化为，整理得，令，解得，则，所以方程化为，利用直接开平方法解方程，然后计算出对应的x的值即可． 【详解】（1）解： ，，， ，， 故答案为：，． （2）解：设（为常数）， 则原方程化为① 整理，得② 为使方程②不含的一次项，令， 解得：， 则， 所以，方程②化为， 解得：，， 所以，，． 98．（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段检测）阅读材料，解答问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验：都是方程的解， ∴当时，，解得：， 当时，，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 【解决问题】 (1)若方程，设，则原方程可化为____________． (2)模仿上述换元法解方程： (3)已知满足方程，结合换元法的思路，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)14或 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，换元法解分式方程，公式法因式分解，将原式进行正确的换元是解题的关键． （1）设则原方程化为即可． （2）设，则原方程化为，解方程检验即可； （3），从而得到关于a的一元二次方程，解方程并代入求值即可． 【详解】（1）解：若方程，设，则原方程可化为， 故答案为：； （2），设， 则原方程可化为， 方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验：都是方程的解， ∴当时，，解得：， 当时，，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． （3）设， 则原方程为， ， ， ， 当时，， 当时， 99．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：_____________． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，直接写出一元二次方程的两根为_____________． 【答案】(1) (2) (3)、 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是掌握换根法的使用； （1）根据题意，设所求方程的根是，则，所以，然后把代入原方程，化简可求； （2）根据题意，设所求方程的根是，则，所以，然后把代入原方程，化简可求； （3）由（2）可知，对方程两边同时除以，得，则方程的两根是两根的倒数，进而求解． 【详解】（1）解：设所求方程的根是，则，所以， 把代入，得， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根是，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得； （3）解：由（2）可知，对方程两边同时除以， 得， 则方程的两根是两根的倒数， 所以方程的两根分别是、， 故答案为：、． 100．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两个根的3倍． 解：设所求方程的根为，则， 把代入，得，化简得， 这种利用方程的代换求新方程的方法称为“换元法”．请按照这种方法解决下列问题． (1)已知方程的两个根分别为和，求一个关于的方程，使得它的两个根分别为：，，则所求方程为___________（要求写成二次项系数为1，且为一般形式）． (2)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根与已知方程的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和 ，求关于的一元二次方程的两个实数根． 【答案】(1) (2)所求方程为 (3)关于的一元二次方程的两个实数根为 【分析】本题主要考查了定义新运算，一元二次方程的计算，理解定义新运算的概念及计算，掌握解一元二次方程的方法是关键． （1）根据题意得到，结合题意的计算即可求解； （2）令方程的根为，设所求方程的根为，结合题意的计算即可求解； （3）根据题意变形得到关于的一元二次方程为，结合题意的计算即可求解． 【详解】（1）解：关于的方程，两个根分别为：，， ∴， 关于的方程的两个根分别为和， ∴， 解得，， ∴所求方程为， 故答案为：； （2）解：令方程的根为，设所求方程的根为， ∴，则， ∴， 整理得，，即， ∴所求方程为； （3）解：关于的一元二次方程变形得， ， 由（2）可知，关于的一元二次方程与关于的一元二次方程的两根互为倒数， ∴与互为倒数或与互为倒数， ∴或， 解得，或， ∴关于的一元二次方程的两个实数根为． 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 解一元二次方程（100题）（暑假预习专项训练） 【新教材苏科版】 1．（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）用适当方法解一元二次方程：． 2．（25-26九年级上·四川泸州·期中）用适当方法解方程： 3．（24-25九年级上·广东东莞·期末）用适当方法解方程： 4．（24-25九年级上·青海海西·期末）选择适当方法解方程：． 5．解方程：用适当方法解方程． 6．（24-25九年级上·吉林·期中）用适当方法解方程： 7．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）选择适当方法解方程． (1)； (2)． 8．（24-25九年级上·云南大理·期中）用适当方法解方程： (1) (2) 9．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）用适当方法解方程：． 10．（25-26九年级上·广东珠海·期中）用适当方法解方程：． 11．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 12．（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 13．（24-25九年级上·广东珠海·期中）用适当方法解下列方程 (1)； (2)． 14．（24-25九年级上·全国·期中）用适当方法解下列方程． (1) (2) 15．（24-25九年级上·四川达州·期中）用适当方法解下列方程： (1) (2) 16．选择适当方法解方程： (1)． (2)． 17．（24-25九年级上·天津西青·期中）用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 18．（24-25九年级上·全国·期中）用适当方法解方程： (1) (2) 19．（24-25九年级上·天津·期中）用适当方法解下列方程． (1) (2) 20．计算：用适当方法解方程： (1)； (2) 21．（25-26九年级上·重庆綦江·期末）用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 22．（24-25九年级上·河南信阳·期末）用适当方法解下列方程： (1) (2) 23．用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 24．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用适当方法解下列方程 (1)； (2) 25．用适当方法解方程． (1)； (2)． 26．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）用适当方法解下列方程． (1)； (2)． 27．（25-26九年级上·宁夏中卫·期中）用适当方法解下列方程． (1)； (2) 28．（25-26九年级上·辽宁锦州·期中）用适当方法解下列方程． (1) (2) 29．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）用适当方法解方程： (1)； (2)； (3)． 30．（24-25九年级上·四川成都·期末）用适当方法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 31．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）选择适当方法解下列方程： (1)； (2) (3)． 32．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）用适当方法解方程： (1)． (2)． (3) 33．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）用适当方法解下列方程： (1) (2) (3) 34．用适当方法解下列一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 35．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）用适当方法解下列方程： (1) (2) (3) 36．（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）用适当方法解下列一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 37．（24-25九年级上·甘肃天水·阶段检测）用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 38．用适当方法解下列方程： (1) (2) (3) 39．用适当方法解方程： (1)； (2)； (3)； 40．请选择适当方法解下列方程： (1) (2) (3) 41．（25-26九年级上·全国·期中）用适当方法解下列方程∶ (1)． (2)． (3)． (4)． 42．（24-25九年级上·四川资阳·阶段检测）用适当方法解方程： (1)； (2) (3)； (4) 43．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 44．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）用适当方法解下列方程 (1) (2) (3) (4) 45．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）用适当方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 46．选用适当方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 47．用适当的方式解下列方程 (1) (2) (3) (4) 48．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）选择适当方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 49．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 50．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段检测）用适当方法解方程： (1) (2) (3) (4) 51．用适当方法解下列方程 (1) (2) (3) (4) 52．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）选用适当方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 53．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）用适当方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 54．（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）用适当方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 55．（25-26九年级上·天津西青·阶段检测）用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 56．（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）适当方法解方程． (1) (2) (3) (4) 57．按要求解下列方程 (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） (4)（适当方法） 58．（24-25九年级上·河南郑州·阶段检测）按要求解下列方程： (1)（用适当方法）； (2)（公式法）； (3)（用适当方法）； (4)（用适当方法） 59．（24-25九年级上·北京·阶段检测）解方程： (1)（公式法） (2)．（配方法） (3)（选用适当方法） (4)（选用适当方法） 60．（24-25九年级上·全国·阶段检测）解方程 (1)；（配方法） (2)；（公式法） (3)；（因式分解法） (4)．（适当方法） 61．用适当的方法解下列一元二次方程． (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)（因式分解）； (4)（适当方法）； (5)（适当方法）． 62．选择适当方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 63．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段检测）按指定方法解方程 (1)（配方法）； (2)（公式法） 64．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）请用指定方法解下列方程： (1)（因式分解法）． (2)（公式法）． (3)（配方法）． 65．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）用指定方法解下列方程： (1)；（公式法） (2)；（配方法） (3)（因式分解法） 66．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（配方法）． 67．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）按照指定方法解下列方程． (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（公式法）； (4)（因式分解法）． 68．（25-26九年级上·甘肃酒泉·阶段检测）用指定方法解下列一元二次方程 (1)（因式分解法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（合适的方法） 69．（24-25九年级上·山东日照·阶段检测）用指定方法解一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 70．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）用指定方法解下列方程： (1)；（配方法） (2)；（公式法） 71．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）用指定方法解下列方程 (1)用公式法解方程： (2)用配方法解方程： 72．用指定方法解下列一元二次方程． (1) (直接开平方法) (2) (配方法) (3) (公式法) (4) (因式分解法) 73．（24-25九年级上·山东滨州·阶段检测）用指定方法解下列方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）． 74．用指定方法解下列方程 (1)(用配方法)； (2)(用因式分解法)． 75．（25-26九年级上·四川达州·期末）按照指定方法解下列方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 76．（25-26九年级上·宁夏银川·阶段检测）按照指定方法解下列方程： (1)（用直接开平方法） (2)．（用配方法） 77．（24-25九年级上·山东滨州·期末）按指定方法解一元二次方程 (1)（配方法） (2)（公式法） 78．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段检测）请用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）； (4)（公式法）． 79．解下列方程：（有指定方法必须用指定方法） (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)． (4)． 80．用指定方法解下列一元二次方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 81．（25-26八年级上·上海·阶段检测）解方程： (1)（用配方法）； (2)． 82．（25-26八年级上·上海·阶段检测）解方程： 83．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）解关于x的不等式：． 84．解方程： 85．（25-26八年级上·上海·期中）解方程：（为正整数）． 86．（24-25八年级下·北京·期中）用适当的方法解下列关于的方程： (1) (2) (3) (4)； 87．解方程 88．解方程． 89．解方程：． 90．解方程： (1)； (2)； (3)． 91．解方程． 92．解方程． 93．解方程： 94．（25-26八年级上·上海·期中）． 95．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）阅读下面的例题：解方程， 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去），． 原方程的根是，． (1)解方程； (2)解方程． 96．阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得；∴原方程的解为，； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解下列方程： （1）； （2）． 97．（25-26九年级上·福建三明·期中）阅读一元二次方程的新解法，思考并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程，都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时，两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】 以课本37页例题为例， 设（为常数）， 则原方程化为．① 整理，得．② 为使方程②不含的一次项，令，解得：． 则 所以，方程②化为． 解，得，． 所以， ， ． 【类比推广】 按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． 任务： (1)直接写出材料中“特例分析”部分方程的解 ， ； (2)按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 98．（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段检测）阅读材料，解答问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验：都是方程的解， ∴当时，，解得：， 当时，，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 【解决问题】 (1)若方程，设，则原方程可化为____________． (2)模仿上述换元法解方程： (3)已知满足方程，结合换元法的思路，求的值． 99．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：_____________． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，直接写出一元二次方程的两根为_____________． 100．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两个根的3倍． 解：设所求方程的根为，则， 把代入，得，化简得， 这种利用方程的代换求新方程的方法称为“换元法”．请按照这种方法解决下列问题． (1)已知方程的两个根分别为和，求一个关于的方程，使得它的两个根分别为：，，则所求方程为___________（要求写成二次项系数为1，且为一般形式）． (2)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根与已知方程的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和 ，求关于的一元二次方程的两个实数根． 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $