第二章一元二次方程单元测试卷 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦一元二次方程核心知识，通过基础巩固、能力提升及创新应用的梯度设计，适配初中数学单元复习，有效落实数学抽象、运算能力与模型意识等核心素养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|一元二次方程定义、根的概念、判别式|第8题结合三角形边长考查根的取舍，发展几何直观| |填空题|6|韦达定理、几何与方程综合|第16题动点问题融合相似判定，体现数学思维的严谨性| |解答题|8|解法（配方法/因式分解）、实际应用（利润/行程）|22题利润问题渗透模型意识，24题行程情境强化应用能力，19题检验过程培养推理意识|

第二章一元二次方程单元测试卷 一、单选题 1.下列方程中，属于一元二次方程的是() A.2x2+3y-1=0 B.X2+1=2 C.2x-y=5 D.x2+2x-1=0 2.若方程m-3)x+3x-3=0 是关于x的一元二次方程，则m的值为() A.-3 B.-1 c.1 D.3 3.若2是方程x2-3x+c=0的一个根，则c的值为() A.1 B.2 c.-1 D.-2 4.若a是关于x的方程3x2-x-1=0的一个根，则2026-6a2+2a的值是() A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 5.若关于x的方程 m-1)x2+x+1=0 有实数根，则”的取值范围是() A.ms5 B.m≥5 5 5 4 C.ms 4且m≠1D.m 4且m≠1 6若关于”的一元二次方程-6+m=0两根为，，且 =2品，则”的值为(） A.10 B.8 C.6 D.4 b a 7.已知a,b是一元二次方程x+3x+1=0的两个实数根，则Va+Vb的值为() 1 A.-3 B.3 C.3 D.±3 8.已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程x2-14x+48=0的一个根，则此三 角形的周长为() A.13 B.14 C.15 D.13或15 9.某工厂因生产技术落后等因素，造成去年的利润比前年减少了10%，该工厂今年年初 试卷第1页，共3页 开展了技术革新，计划今年的利润比去年增长30%，设该工厂按计划完成任务后今年和去 年这两年平均增长的百分数为x,则下列方程正确的是() A.(1-10%)01+30%)=2x (1-10%)1+30%)=2x2 c.（1-10%+30%)=1+x) D.(1-10%)01+30%)=(1+x} 10.用配方法解一元二次方程x2-4x-3=0,配方正确的是() A.(x-2y=7B.(c-2}=6 C.(x-4=3 D.(x-4)2=9 二、填空题 11 11.己知a2+5a+3=0,2+56+3=0,且a≠b,则。+6一 2-(2m-1)x+m-2=0 12.已知关于x的一元二次方程 方程有两个互为相反数的实数根， 则m的值是 13.已知关于x的一元二次方程x2+bx+1=0有两个不相等的实数根m和n,且m2+n2=6, 则b= 14,已知产为实数，则-2+-的最大值为 15.如图，在△ABC中，∠C=90°，在△ABC内取一点G,使点G到三角形三边距离GD GE,GF都相等，连结4G,BG,已知BF=m,AE=n(m≥m） (1)若m=n,则CF的长是 (用含的代数式表示)； (2)当CF=1,4m2+4n2=109时，m-n的值为 16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10cm,BC=8cm,点M从点C出发，以 试卷第2页，共3页 2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以lcm/s的速度沿BC向点C匀速 运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动，经过秒后，△MCN的面积 3 等于AABC面积的10：经过_秒△MCN与aABC相似. 三、解答题 17.知架=之2是关于”的-元二次方程-4-1=0 的一个根，求”的值及方程的另一 个根， 18.解方程： r-4x-3=0 (2)r+6x-7=0 19.解方程：解一元二次方程x2-2x=3时，小江同学的解法如表所示： 小江同学： x(x-2)=3 解： 所以x=1或x-2=3, =1x2=5 所以 四你认为= 是原方程的解吗？请检验（写出检验过程）： (2)请选择合适的方法解原方程. 20.根据以下素材，解决问题. 弗朗索瓦·韦达被誉为“代数学之父”，他深 试卷第3页，共3页 入研究了一元二次方程的根与系数之间的关 系，这种关系以他的姓氏命名为“韦达定 理”，也被称为“根与系数的关系”. 材料1：关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0a≠0 ),如果 素材 b2-4ac≥0 设方程的两个实数根为 1 则与根系数a,b.c x X2 ”,,有如 b 下关系：+2= a, 材料2：已知一元二次方程 x2+2x-4= 的两个实数根分别为” ,n,求mn+mn2的值. 2-4ac=22-4×1×(-4)=20 解：因为 素材 2 所以m+n=-2,mn=4, 则 m2n+mn2=mn(m+n)=（-2)x(-4)=8 Q)先判断一元二次方程2+1=0是香存在实数根：若存在，则设实数根为，。，求 x1+x2 的值；若不存在，请说明理由 (2)已知一元二次方程2x2+2026x-4=0的两个实数根为m,n,求 试卷第4页，共3页 （2m2+2025m-6j02r+2027n-2）的值， 2-(2k+1)x+k2=0 (3)已知关于x的一元二次方程 有两个实数根为，七，满足 x=x+,求的值. mx2-(5m+3)x+6m+9=0 21.已知关于x的方程 (1)求证：方程总有实数根： (2)若方程有两个不相等的正整数根，求整数的值， 22.某超市销售一款薯片，每袋进价5元.当每袋售价为15元时，平均每天能卖出20袋. 超市计划降价促销以增加销量，调研发现：每袋价格每降低1元，每天销量会增加4袋. (1)若超市想让利给消费者，且每天销售该薯片的利润达到200元时，每袋薯片应降价多少 元？ (2)该超市每天能否通过降低价格实现250元的利润？若能，求出每袋的降价金额；若不能， 请说明理由， 23.关于x的一元二次方程x2+2k+6k-9=0. (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程有一个根不小于5，求k的取值范围. 24.如图，是一景区的平面示意图，点A为观景中心，景点B在观景中心A的北偏东30° 方向，景点C在景点B的正东方向500米处，景点D在C的东南方向600米处，休息站E在 景点C的南偏西30°，景点D.休息站E均在观景点A的正东方向上.（参考数据： V6≈2.45 北 B 西十东 南 309 (I)求观景中心A到景点D的距离.（结果保留根号） (2)游客甲从观景中心A出发沿AB骑行去景点B,同时游客乙从休息站E沿ED步行去景点 D,已知游客甲骑行的速度是游客乙步行速度的4倍，请问甲离开观景中心A多少米时， 试卷第5页，共3页 甲乙两人之间的距离恰好是甲与观景中心A之间的距离的1.5倍（结果保留小数点后一位）？ 试卷第6页，共3页 第二章一元二次方程单元测试卷 一、单选题 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需要满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A、含有，两个未知数，故A不符合题意； B、是分式，方程不是整式方程，故B不符合题意； C、含有，两个未知数，且未知数最高次数为1，是二元一次方程，故C不符合题意； D、只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，故D符合题意． 2．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 3．若2是方程的一个根，则c的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，将已知根代入原方程即可求解的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴把代入方程，得 ， 整理得，解得． 4．若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】先根据方程根的定义得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ 是关于的方程的一个根， ，即， ． 5．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】当，即时，原方程为一元一次方程，满足题意；当，即时，原方程是一元二次方程，利用判别式求出此时m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：当，即时，此时原方程为，解得，有实数根，符合题意； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵原方程有实数根， ∴， ∴， 解得，即此时满足条件的范围是且， 综上所述，的取值范围是． 6．若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和与已知条件先求出方程的两个根，再通过两根之积计算的值． 【详解】∵ 方程的两根为、， ∴ 根据根与系数的关系可得 ， ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ． 7．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，先判断a，b的符号，再化简所求二次根式，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∵，， ∴，， ∴． 8．已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．13或15 【答案】A 【分析】先解一元二次方程得到第三边的两个可能值，再根据三角形三边关系排除不能构成三角形的边长，最后计算周长得到答案． 【详解】解：， 解得，， ∵三角形的两边长为3和4，根据三角形三边关系可得第三边 ， 即第三边 ， ∴不符合要求，舍去， 则第三边长为6， ∴此三角形的周长为． 9．某工厂因生产技术落后等因素，造成去年的利润比前年减少了．该工厂今年年初开展了技术革新，计划今年的利润比去年增长，设该工厂按计划完成任务后今年和去年这两年平均增长的百分数为．则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设前年该工厂的利润为单位，分别用两种方式表示今年的利润，根据相等关系列出方程即可． 【详解】设前年该工厂的利润为单位， ∵去年利润比前年减少，今年计划比去年增长， ∴今年计划完成后的利润为 ； ∵两年平均增长的百分数为，即从前年到今年经过两年平均增长，年均增长率为， ∴今年的利润也可表示为 ； 由于两种方式表示的今年利润相等，因此可得方程． 10．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（  　  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用完全平方公式的特征就可以解决本题． 【详解】解： ， 故选：A． 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是把握完全平方公式的特征：． 二、填空题 11．已知，，且，则_____． 【答案】/ 【分析】根据题意a，b是一元二次方程的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，， ∴a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 12．已知关于的一元二次方程，方程有两个互为相反数的实数根，则的值是__________． 【答案】/ 【分析】根据两根互为相反数得出两根之和为0，求出的值后，再验证方程是否存在实数根，即可得到结果． 【详解】解：设方程的两个实数根为， 由根与系数的关系，结合两个根互为相反数，得：， 解得：， 将代入原方程，得， 此时判别式，方程有两个不相等的实数根，符合题意． 13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根和，且，则______． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程的判别式求出的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，利用完全平方公式变形，结合已知条件得到关于的方程，检验根后求解即可． 【详解】∵关于的一元二次方程的两个不相等实数根是和， ∴，即， ∴根据根与系数的关系得：，， ∵，且 ∴，即， ∵， ∴． 14．已知为实数，则的最大值为____________． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和配方法，掌握被开方数为非负数和配方法是解题关键． 先确定x的取值范围，然后利用配方法分析其最值． 【详解】解：由题意可得，解得， 令， 则 = = ∵ ∴的最大值为4， ∴y的最大值为2， 即的最大值为2． 故答案为：2． 15．如图，在中，，在内取一点G，使点G到三角形三边距离，，都相等，连结，，已知，．    （1）若，则的长是______（用含m的代数式表示）； （2）当，时，的值为______． 【答案】 【分析】（1）先证明四边形是正方形，进而证明，得出，同理：，在中，，得出，即可得出答案； （2）由（1）可得，在直角中，由勾股定理得出，即，得出，求出，再得出，，求出，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 同理：， ∴，，， 在中，， ∴， 又∵， ∴或（舍去） 故答案为：；    （2）由（1）可得，在直角中，由勾股定理得出，即， 又，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的判定与性质，完全平方公式，正确理解题意是解题的关键． 16．如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动，经过______秒后，的面积等于面积的；经过______秒与相似． 【答案】 或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，解题关键是审明题意找到相等关系； 设运动时间为秒①根据面积的关系列出方程即可；②分类讨论相似的两种情况列比例关系，解方程即可． 【详解】解：设运动时间是秒， ①∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵的面积等于面积的， ∴， 解得：（舍）， ②当时， ， ∴解得：； 当时， ， ∴解得：； 故答案为： ；或． 三、解答题 17．如果是关于的一元二次方程 的一个根，求的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【分析】将代入，解方程求出，再解方程即可求出另一个解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴将代入得：， 解得：， ∴方程为：， ∴， 解得：， ∴另一根为：． 18．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ， ， （2）解： 或， ，． 19．解方程：解一元二次方程时，小江同学的解法如表所示： 小江同学： 解：， 所以或， 所以，． (1)你认为是原方程的解吗？请检验（写出检验过程）； (2)请选择合适的方法解原方程． 【答案】(1)不是原方程的解； (2)，． 【分析】（）根据方程解的定义，将代入原方程，比较左右两边的值是否相等即可判断； （）先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：将代入得，左边，右边， ∵左边右边， ∴不是原方程的解； （2）解：， ， 或， ∴，． 20．根据以下素材，解决问题． 弗朗索瓦·韦达被誉为“代数学之父”，他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系，这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”，也被称为“根与系数的关系”． 素材1 材料1：关于的一元二次方程（），如果，设方程的两个实数根为，，则与根系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：因为， 所以，， 则． (1)先判断一元二次方程是否存在实数根；若存在，则设实数根为，，求的值；若不存在，请说明理由． (2)已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． (3)已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，满足，求的值． 【答案】(1)解：该一元二次方程不存在实数根，理由如下： 由题意得，， ∴该一元二次方程不存在实数根； (2) (3) 【分析】（1）利用判别式求解即可； （2）由根与系数的关系得到，由方程的解的定义得到，，则可推出，，可推出，据此代入求值即可； （3）由根与系数的关系得到，则可得到方程，解方程求出k的值，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴， ，， ∴，， ∴ ； （3）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根为，， ∴， ∵， ∴，即， 解得或； ∵原方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴． 21．已知关于x的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有两个不相等的正整数根，求整数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）分和两种情况讨论，时方程为一元一次方程，可直接得到有实数根；时，计算一元二次方程的判别式，证明判别式恒非负，即可证明方程总有实数根． （2）先求出方程的两个根，再根据"两个不相等的正整数根"和为整数的条件，筛选得到符合要求的的值． 【详解】（1）证明：分两种情况讨论：当时，原方程化为， 解得，有实数根； 当时，原方程是一元二次方程， ， 任意实数的平方非负， ，即，方程总有实数根； 综上，不论为何值，方程总有实数根． （2）解： 方程有两个不相等的正整数根， ，且，即，得． 将方程因式分解得， 解得，． 两个根都是不相等的正整数，是整数， 为整数，且为正整数， 因此是的约数，可能取值为． 逐一验证：已排除，不符合； 时，，不是正整数，舍去； 时，，是正整数，且，符合条件； 时，，是正整数，且，符合条件； 因此整数的值为或． 22．某超市销售一款薯片，每袋进价5元．当每袋售价为15元时，平均每天能卖出20袋．超市计划降价促销以增加销量，调研发现：每袋价格每降低1元，每天销量会增加4袋． (1)若超市想让利给消费者，且每天销售该薯片的利润达到200元时，每袋薯片应降价多少元？ (2)该超市每天能否通过降低价格实现250元的利润？若能，求出每袋的降价金额；若不能，请说明理由． 【答案】(1)每袋薯片应降价5元 (2)不能实现每天250元的利润，理由如下： 设每袋薯片应降价元，根据题意得： ， 整理得：， ， ∴方程无实数解， ∴不能实现250元的利润． 【分析】（1）设每袋薯片应降价元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设每袋薯片应降价元，根据题意，列出方程，再根据根的判别式判断是否有根即可求解． 【详解】（1）解：设每袋薯片应降价元，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 又∵让利给消费者， ， 答：每袋薯片应降价5元； （2）略 23．关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 【答案】(1)原方程有两个实数根，理由见解析 (2) 【分析】（1）计算判别式，据此判断方程实数根个数； （2）利用因式分解法解原方程，可得出原方程的解为，，结合原方程有一个根不小于5，即可得出． 【详解】（1）原方程有两个实数根，理由如下： ∵ ∴原方程有两个实数根； （2）∵， ∴， 解得：，， ∵方程有一个根不小于5， ∴， ∴． 24．如图，是一景区的平面示意图，点为观景中心，景点在观景中心的北偏东方向，景点在景点的正东方向米处，景点在的东南方向米处，休息站在景点的南偏西，景点．休息站均在观景点的正东方向上．（参考数据：） (1)求观景中心到景点的距离．（结果保留根号） (2)游客甲从观景中心出发沿骑行去景点，同时游客乙从休息站沿步行去景点，已知游客甲骑行的速度是游客乙步行速度的倍，请问甲离开观景中心多少米时，甲乙两人之间的距离恰好是甲与观景中心之间的距离的倍（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)米． (2)米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用问题，通过作适当的辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题解决. （1）明四边形是平行四边形，可得米，过点C作，垂足为H，把分成两个直角三角形，再解三角形即可求出、，由即可求解； （2）游客甲所在位置为P，游客甲所在位置为N，过点作，垂足为，构造，利用勾股定理表示甲乙两人之间的距离，再根据题意列方程即可求解． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为H， ∵景点在观景中心的北偏东方向，休息站在景点的南偏西， ∴，，即， ∴， 由题意可知：， ∴四边形是平行四边形， ∴米， 由景点在的东南方向米处，可得，米， ∴（米）， （米） ∴（米）， ∴米． （2）解：如图，游客甲所在位置为P，游客甲所在位置为N，过点作，垂足为，设甲离开观景中心距离为米时，即米，由题意可得米， ∴（米）， （米）， ∴米， ∴， ∵甲乙两人之间的距离恰好是甲与观景中心之间的距离的倍，即， ∴ ∴， 解得：，（负数根不符合题意已经舍去）， 答：甲离开观景中心米时，甲乙两人之间的距离恰好是甲与观景中心之间的距离的倍． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $