1.7 空间向量法求空间中的距离（6类必考点）讲义-2026年暑假预习新高二数学人教A版选择性必修第一册

专题1.7 空间向量法求空间中的距离 【知识梳理】 1 【考点1：求点到线的距离】 2 【考点2：与点到线距离有关的最值问题】 5 【考点3：求点到面的距离】 10 【考点4：由点到面的距离求参】 17 【考点5：求线到面的距离】 26 【考点6：求面到面的距离】 34 【知识梳理】 1、 点到线的距离 若为直线外的一点， 在直线上，为直线的方向向量，，则点到直线距离为. 2、点到面的距离 已知平面的法向量为，A是平面内的定点，P是平面外一点，过点P作平面的垂线l,交平面于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此 . 3、线到面的距离 线到面的距离问题一般情况下需要转化为点到面的距离问题进行求解. 【考点1：求点到线的距离】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为，则点到对角线所在的直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接用向量的方法求点到线的距离可得. 【详解】如图：分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，所以， 所以向量在向量上投影向量的模为， ， 所以点到直线的距离为. 2．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知向量，，，则三棱锥的体积为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先求出平面的法向量，再利用向量求出点到平面的距离，然后利用向量求出点到直线的距离，进而求出的面积，最后利用三棱锥的体积公式即可. 【详解】设平面的法向量为， 则，则， 则点到平面的距离为， 又，， 则点到直线的距离为， 则， 故三棱锥的体积为. 3．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】建立如图空间直角坐标系，    则， ，. 故点到直线的距离. 4．（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 5．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，对正方体­，，，分别是和的中点. (1)求到的距离； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合点到直线的距离向量求法求结论； （2）结合向量夹角公式求结论. 【详解】（1）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长，故，，，， 所以，， 所以， ， ， 所以点到的距离； （2）由（1），已有， 所以，，， 设异面直线与所成角为，则. 【考点2：与点到线距离有关的最值问题】 1．（25-26高二下·河北衡水·开学考试）（多选）如图，在长方体中，，，P为侧面内一点.若点P到平面的距离与到直线的距离相等，则的值可以是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】CD 【分析】建立空间直角坐标系，设，其中，根据题意得到，表达出，得到其范围. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，其中，，则点到平面的距离为， 所以，， 点到直线的距离为：， 所以， 则， ，则. 2．（25-26高二上·广东·期末）在正三棱柱中，，是线段上的一动点，则点到直线的距离的最小值是________. 【答案】 【分析】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量求法得出距离表达式，并根据二次函数性质即可求出距离最小值. 【详解】以为原点，，所在直线分别为轴、轴，在平面内过并垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图：    因为，所以，，，， 所以，，. 设，则， 故点到直线的距离. 当时，等号成立； 因此点到直线的距离的最小值是. 故答案为： 3．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为_____. 【答案】 【分析】在直三棱柱中，因为平面，，所以可以建立空间直角坐标系，利用参数设动点的坐标，利用点到直线的距离公式表示点到直线的距离，再根据函数单调性求出最值. 【详解】在直三棱柱中，因为平面，，所以三条两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则.    因为点是棱的中点，所以. 设，其中， 连接，则，， 所以点到直线的距离 ． 设，，则， 所以． 所以当，即，即点与点重合时，点到直线的距离取得最小值，最小值为. 故答案为：. 4．（25-26高二上·湖北·期末）如图，三棱锥中，底面为直角三角形，为直角，面，且，为棱上一个动点，则到直线的距离的最小值为______． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，根据点到直线距离的向量公式即可求解． 【详解】以为原点，以所在直线为轴，如图建系， 则， 设，则， 在方向上投影向量长度为， 故到直线的距离， 当时，， 故答案为：． 5．（25-26高二下·福建宁德·期中）在空间直角坐标系中，曲线的方程为，（为参数，），点在曲线上，直线过坐标原点且的一个方向向量，则点到直线的最短距离为__________. 【答案】 【分析】先将曲线参数方程上的点表示为参数形式，用空间向量投影公式写出点到直线的距离表达式，转化为单变量函数求最值问题，再通过求导分析单调性，找到函数最小值，进而得到最短距离． 【详解】，则， 在上的投影长， 点到直线的距离， 记， 由， 令，， 当，，当，，， 所以在上递减，在上单调递增， 在上取得最小值，所以， 所以单调递减；单调递增， 所以， 所以时，. 【考点3：求点到面的距离】 1．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，则，又平面的法向量为， 则点到平面的距离为. 2．（25-26高二下·福建龙岩·期末）如图，在正三棱柱中，M为线段的中点，N为线段上的动点． (1)求证：； (2)若，，二面角的余弦值为，求点到平面的距离． 【答案】(1)连接， 在正三棱柱中，为等边三角形，   又因为M为的中点，所以．   又因为平面，平面，所以   又因为，，平面， 所以平面．   又因为平面，所以． (2) 【分析】（1）连接，则由等边三角形的性可得，再由正三棱柱的性质得，然后由线面垂直的判定可得平面，最后由线面垂直的性质可证得结论； （2）如图建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）设为的中点， 由（1）知，，， 如图，以M为原点，以，，的方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 因为，，设，， 所以，， 设平面的法向量为， 所以， 令，得，， 所以平面的一个法向量为， 由已知得，，， 所以的中点， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 因为二面角的余弦值为， 所以， 化简得，解得，， 因为，所以， 所以平面的一个法向量为，， 又，所以， 所以点到平面的距离， 所以点到平面的距离为． 3．（25-26高二上·安徽宣城·期末）如图，在直三棱柱中，是的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明：连接交于，连接， 在三角形中，是三角形的中位线， 所以，又平面，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）连接交于，连接，由三角形中位线性质得，再由线面平行的判定定理即可证明结果； （2）根据条件，建立空间直角坐标系，由条件求得平面的法向量和，再利用空间距离的向量法，即可求出结果. 【详解】（1）略 （2）由是直三棱柱，且， 故，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，又， 则， 则， 设平面的法向量为， 由，得到，令，得，所以， 又，设点到平面的距离为， 则. 【点睛】 4．（2026·山东青岛·三模）如图，在矩形中、，．为线段中点，将沿翻折至，使得． (1)证明：平面； (2)点，分别为线段，上的点，，当直线与平面所成角最大时，求点到平面的距离． 【答案】(1)由，得，则， 又，平面，则平面，平面，故， 由，为中点，得，而平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法列式确定点位置，再利用点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）略 （2）作，由（1）得平面，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设， ， 设平面的法向量为，则， 取，得， 记直线与平面所成角为， 则 ， 当时，；当时，， 当且仅当时取等号，此时最大， 平面的法向量为，， 所以点到平面的距离. 5．（24-25高二下·江苏徐州·期末）如图在多面体中，四边形是边长为4的正方形，四边形为等腰梯形，且，，，． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形，，     ，，平面，平面，     平面，∴平面平面． (2) (3) 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明可得； （2）过点作于，作，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量方法可得； （3）由空间点到面的距离公式计算可得. 【详解】（1）略. （2）过点作于，由（1）知平面， ∵四边形是等腰梯形，，，， ，．         作，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，             ，，，，． ，． 设平面的一个法向量，则，即， 令，，         又，， 同理设平面的一个法向量，则，即， 令，，         ，     ， 故平面与平面所成角的正弦值为． （3）设点到平面的距离为， 由（2）知，平面的一个法向量， ． 【考点4：由点到面的距离求参】 1．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图所示，四棱锥底面为菱形，点，为棱的三等分点，点是棱中点. (1)过，，三点的平面与线段交于点，求证：； (2)若面，，点到平面的距离为，求四棱锥体积的最小值. 【答案】(1)取线段的中点，连接，，由于， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面， 所以平面. 又平面，平面平面，故. (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明面，再由线面平行的性质定理证得. （2）建立空间直角坐标系，设，，由点到平面距离的向量求法，表示出点到平面的距离，即可得的关系，根据棱锥的体积公式，利用基本不等式可求得四棱锥体积的最小值. 【详解】（1）略 （2）连接，交于点，因为底面为菱形，所以. 又平面，所以如图建立空间直角坐标系， 设，，则，，，，， 得，，. 设平面的法向量， 则， 所以点到平面的距离为，化简得， 因为，所以，即，当且仅当时，等号成立. 故，即四棱锥体积的最小值为． 2．（2026高二·全国·专题练习）如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，． (1)证明：平面； (2)已知二面角是，，点到平面的距离为．求； 【答案】(1)过点作的垂线，设垂足为，即有， 因为，平面， 平面平面，平面平面，所以平面， 又因为平面，所以，因为四边形是矩形，所以， 所以，因为，， ，平面，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）作，由面面垂直的性质定理得到面，进而得出，结合，证得平面； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量方法，根据点到面的距离公式，求出. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面， 所以，又因为， 所以是二面角的平面角，即， 所以可以以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由已知得，，设，， 则，，且由得. 设平面的法向量为，而, 则有即有， 令，则，，所以，又， 所以点到平面的距离. 即，又因为， 所以可解得，因此. 3．（25-26高二上·北京·期中）如图，四边形是矩形，面，面，，，点在棱上. (1)求二面角的余弦值； (2)若点到平面的距离为，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值； （2）设，则，，利用空间向量法可得出关于的方程，结合的范围可求得的值. 【详解】（1）因为平面，平面，平面， 所以，，又因为是矩形，， 所以、、两两垂直，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，    则、、，所以，. 设平面的一个法向量为，则， 取，可得， 取平面的一个法向量为，则， 由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值是. （2）设，则，，所以， 因为点到平面的距离. 因为，解得，故. 4．（25-26高二下·广东湛江·期末）如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，，四边形为矩形．    (1)若是的中点，求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)若点到平面的距离为，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接交于点，连接.    因为四边形为矩形，所以点为中点. 在中，是的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）连接交于点，连接，可得，再利用线面平行的判定定理即可证明. （2）建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量即可求二面角的余弦值. （3）设，利用点到面的向量公式即可求的值，进而可求的长. 【详解】（1）略 （2）平面， 以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.    则 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即. 令，则，，所以. 设平面的法向量为， 则，即. 令，则，，所以. 所以. 由图可得二面角为钝角，所以二面角的余弦值为. （3）设 因为，所以. 点到平面的距离为，解得. 所以.则. 所以的长为 5．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点位于线段的靠近点的三等分点 【分析】（1）连接，证明，结合面面垂直性质定理证明平面，取边的中点记为，建立空间直角坐标系，求的坐标，再求线段的长度； （2）求平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值； （3）设，求平面的法向量，结合点到平面的距离的向量求法求点到平面的距离，列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）由已知，连接，因为为线段的中点，所以； 因为平面平面，又平面平面，又面， 所以平面；取边的中点记为，则； 以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，所以； （2）由（1），，，， 所以，，， 记平面的法向量为， 所以， 不妨取，得， 所以为平面的一个法向量； 记直线与平面的所成角为， 则， 所以，直线与平面的所成角的正弦值为； （3）设，其中， ，， ，， ， 记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得， 即； 则点到平面的距离， 整理得：即， 解得或（舍去）， 所以，当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为． 【考点5：求线到面的距离】 1．（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）已知正方体的棱长为分别为正方体的棱的中点． (1)求证：平面； (2)求线段到平面的距离． 【答案】(1)取的中点，连接，， 因为点是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 由于，分别为正方体的棱，的中点， 所以，，所以四边形为平行四边形，即， 因为平面，平面，所以平面， 由于，平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. (2) 【分析】（1）由面面平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系进行求解． 【详解】（1）略 （2）如图建立空间直角坐标系， 则、、，， 所以，，， 设平面的法向量为，所以， 所以，令，则，所以， 设点到平面的距离为，则， 由（1）知，∥平面， 则线段到平面的距离即为点到平面的距离， 故线段到平面的距离为． 2．（25-26高二上·山东临沂·期末）如图，在直三棱柱中，是AB的中点，是的中点，是与的交点.    (1)在线段上找一点，使得平面; (2)在（1）的条件下，求PQ与平面的距离. 【答案】(1)以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则 ， 设平面的法向量，则，即， 令，得，是平面的一个法向量， 设， 则， 若平面，则， 从而，即，解得， ， 当为线段上靠近的三等分点时，平面; (2) 【分析】（1）首先以点为原点建立空间直角坐标系，并求平面的法向量，并利用参数表示向量，利用向量，即可证明线面平行； （2）根据（1）的结果，利用点到平面的距离的向量公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由(1)知， ， 到平面的距离为. 3．（2026高二·全国·专题练习）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点， (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离； 【答案】(1)证明：因平面，即两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，设， 因为 则， 又因为是的中点，所以， 所以， 设平面的法向量为，则有， 所以是平面的一个法向量， 又因为，所以， 因为平面，所以直线平面． (2) 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，求出向量和平面的一个法向量，即可证明； （2）利用点到面的距离向量求法求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得直线平面且平面的一个法向量为， 所以直线到平面的距离为点到平面的距离， 又因为，所以直线到平面的距离为． 4．（25-26高二下·天津河东·期末）如图，在长方体中，，点分别是棱的中点． (1)求长方体外接球的表面积； (2)求证：平面； (3)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2)在长方体中，以为原点，建立空间直角坐标系，如图： 则， ， 于是，而点直线， 则，又平面，平面， 所以平面. (3). 【分析】（1）利用长方体的结构特征求出其外接球直径，进而求出球的表面积. （2）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （3）求面的法向量，再利用点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）在长方体中，， 则该长方体外接球直径， 所以该长方体外接球的表面积. （2）略 （3）由平面，得点到平面的距离即为直线到平面的距离． ，设平面的法向量为， 则，取，得， 因此点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为. 5．（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，在正四棱锥中，，点，分别为，的中点，且是二面角的平面角． (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】(1)通过构造平行四边形，结合线面平行的判定定理证得平面. (2)建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线到平面的距离. (3)利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值的表达式，结合二次函数的性质求得其最大值. 【详解】（1）取的中点，连接、. 由为中点，得且； 由为中点，得且，故且， 所以四边形为平行四边形，因此. 又平面，平面，故平面. （2）连接，设，连接，则平面， 以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系. 由为二面角的平面角，得、， 而是的中点，所以，所以是等边三角形， 因为，所以，高， ，，，，， ，，， ，设平面的法向量为， 则，故可设平面的法向量， 由平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离， ，所以直线到平面的距离为. （3）设为线段上的动点，令()， 则 ， 则，向量. 设直线与平面所成角为， 则, ， 当时，取得最小值， 此时取得最大值为：. 【考点6：求面到面的距离】 1．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 2．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. 【答案】2 【分析】先由题设求证平面平面得到平面与平面的距离即为点C到平面的距离，接着建立适当空间直角坐标系求出和平面的一个法向量，再由向量法距离公式即可求解. 【详解】由正方体结构性质可知且，且， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，又在平面外，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离即为点C到平面的距离， 由题可建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面与平面的距离即点C到平面的距离为. 故答案为：2 3．（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【详解】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 4．（25-26高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点．    (1)求证：平面ABD； (2)求证：平面EGF平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，应用向量法可得，，再由线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）同（1）可证平面EFG，结合（1）结论及线面垂直的性质即可证； （3）向量法求点F到平面ABD的距离，结合（2）结论即可得结果. 【详解】（1）由题设，两两互相垂直， 以B为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，    则，设，则. 所以，易得，， 所以，，所以，， 又，且都在平面内，故平面ABD. （2）由题意知，则， 所以，，则，， 所以，， 又且都在平面内，所以平面EFG， 结合（1）知，平面EGF平面ABD. （3）由（1）（2）知，，是平面ABD的法向量， 所以点F到平面ABD的距离为， 由（2）知，平面EGF与平面ABD的距离等于点F到平面ABD的距离， 所以两平面间的距离为. 5．（25-26高三下·湖南张家界·阶段检测）如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，侧棱，，，均垂直于底面，满足，，侧棱长为．已知：点为体对角线与的交点，点为线段上的点，且；点为线段的中点，点为棱上的点，且；点为棱上的点，且平面． (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】（1）以为坐标原点，分别用，，确定各点坐标．先利用的分点条件写出平面的法向量，再由平面确定的位置；由与的坐标判断，从而证明平面； （2）将线面距离转化为点到该平面的距离即可． 【详解】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则， 因为侧棱长为，所以，，，，， 由，则， 得，由为线段的中点，得. 设在线段上，令，， 则，，， 设平面的一个法向量，则， 则平面的一个法向量可取 因为平面，所以. 即， 即，解得. 所以，又为棱上的点，且，所以. 所以，， 因此．因为平面，且平面，所以平面． （2）由，，. ，， 设平面的一个法向量， 则，即，令，则， 则平面的一个法向量. 由（1）知平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，， 于是. 所以直线到平面的距离为． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $专题1.7空间向量法求空间中的距离 【知识梳理】 1 【考点1：求点到线的距离】 2 【考点2：与点到线距离有关的最值问题】 3 【考点3：求点到面的距离】… .4 【考点4：由点到面的距离求参】… .7 【考点5：求线到面的距离】… 12 【考点6：求面到面的距离】 16 【知识梳理】 1、点到线的距离 若Q为直线外的一点，P在直线上，ā为直线的方向向量，=P0,则点Q到直线l距离为 d=日刚-(a- a d 2、点到面的距离 已知平面“的法向量为n,A是平面内的定点，P是平面外一点，过点P作平面的垂线l,交平 面Q于点Q,则n是直线1的方向向量，且点P到平面a的距离就是AP在直线1上的投影向量QP的长度， 因此 aP.naP.n 第1页共19页 3、线到面的距离 线到面的距离问题一般情况下需要转化为点到面的距离问题进行求解 【考点1：求点到线的距离】 ABCD-ABCD A BC 1.(2026高三·全国专题练习)已知正方体 的棱长为“，则点”到对角线心所在的直 线的距离为() 6 -a A.2 B.a C.2a D.2 2.(2526高一下广东深圳期末)已知向量B=(4,-1,0),C=0.3,0),否=(3，-4，则三棱锥 S-ABC的体积为() A.2 B.4 C.6 D.8 3.(25-26高二上云南文山阶段检测)如图，在棱长为4的正方体 4BCD-4B,CA中，E为BC的中点， P、D,E BB 为 的中点，则点P到直线 的距离为() D B B A. 8.3 c.2v2 .3 ABC-ABC 4.(25-26高二下福建宁德期末)在三棱台 中，4B=BC=2,BB=48= ,且 第2页共19页 ∠ABC= 2,若BB⊥平面ABC,则点B到直线AC的距离为() A B C A C √6 25 26 A.3 B.3 C.3 D.3 5.(2526高二上福建厦门阶段检测)刻图，对正方体4 BCD ABCD,8=2,M,N分别是D和 AD的中点· D C A 6 B N.BM (1)求到的距离； BM DN (2)求异面直线与所成角的余弦值。 【考点2：与点到线距离有关的最值问题】 ABCD-ABC D AA=AB=2 1.(25-26高二下河北衡水开学考试)（多选)如图，在长方体 中， 第3页共19页 BC=1,P为侧面 A ABB ADD A CD AP 内一点若点P到平面 的距离与到直线的距离相等，则的值可以是 ( ) D B D C A.1 8.V c v3 D.2 2.(25-26高二上广东期末)在正三棱柱 BC-A8C中，B=2A=2,P是线段18上的一动点，则 BC 点P到直线C的距离的最小值是 3。(25-26商二上湖南岳阳期末)在直三棱柱4BC-ABC中，∠4CB= 2,AC=2,BC=2,A4=3, 点D是棱4C的中点，点E在棱B上运动，则点P到直线C的距离的最小值为一 BB 、CE 4.(25-26高二上湖北期末)如图，三棱锥D-ABC中，底面ABC为直角三角形，∠C为直角，DA⊥面 ABC,且CA=CB=DA=1,P为棱AC上一个动点，则P到直线BD的距离的最小值为一 B x=t y=ln(t+1)-1 5.(25-26高二下·福建宁德·期中)在空间直角坐标系中，曲线的方程为 2=2 ,(为参数， C >-1),点P在曲线C上，直线过坐标原点且的一个方向向量 i=(1,1,0 ,则点P到直线的最短距离 为 第4页共19页 【考点3：求点到面的距离】 A(1,2,4 1.(25-26高二下河南洛阳·期末)已知经过点 的平面“的法向量为=-0，则点B(-2,32列 到平面的距离为() A2 c.32 0.25 2.(25-26高二下福建龙岩·期末)如图，在正三棱柱 BC-ABC中，M为线段AB的中点，N为线段 CC 上的动点。 A B M B (1)求证：AB⊥MN: V10 (2)若AB=4,A4=3,二面角M-AN-A的余弦值为4，求点B到平面4MN的距离. 3.(25-26高二上·安徽宣城期末)如图，在直三棱 ABC-ABC中， AB=BC=2AA=2,∠ABC=90°，MBC 是的中点 第5页共19页 B B AB//AMC (1)求证： 平面 AMC (2)求点到平面的距离. 4.(2026山东青岛三模)如图，在矩形48CD中、4B=2,MD=25.E为线段4D中点，将△BCD 沿BD翻折至△BPD,使得AP=2. B C B (1)证明：PE⊥平面ABD; 回点F:G分别为线段B:D上的点，G=方，当直我G与平面PD所皮角录大时，来点E到叶面 FPD的距离. 5.(24-25高二下江苏徐州期末)如图在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，四边 第6页共19页 形coEP为等腿稀形，且GD1E,4D1DE,EF=2CD,∠CDE=6 2 A B (1)证明：平面ABCD⊥平面CDEF; (2)求平面ADE与平面AFC所成角的正弦值； (3)求点B到平面AFC的距离. 【考点4：由点到面的距离求参】 1.(2026安徽安庆模拟预测)如图所示，四棱锥P-ABCD底面为菱形，点E,F为棱PD的三等分点， 第7页共19页 点G是棱BC中点 G (1)过A,E,G三点的平面Q与线段PC交于点H,求证：CFIIEH; (2)若PA⊥面ABCD,PA=1,点B到平面PCD的距离为2，求四棱锥P-ABCD体积的最小值. 2.(2026高二全国专题练习)如图，在以A,B,C,D,E,F项点的五面体中，四边形BCFE是矩形，平面 ACFD⊥平面ABC,∠DAC=90° 第8页共19页 D B (1)证明：BE⊥平面ABC: 2W5 (2)已知二面角A-BE-C是90°，AC=AD=BE=2,点B到平面ACE的距离为5.求BC; 3.(25-26高二上北京期中)如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥面ABCD,DE⊥面ABCD, AB=DE=1,AD=PA=2,点F在棱PA上 第9页共19页 ◇ E B (1)求二面角C-PE-A的余弦值； (2)若点F到平面PCE的距离为3，求线段4F的长， 4.(25-26高二下广东湛江·期末)如图，直线PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC=∠BAD=90°， F为线段P4上一点，PD=2,AB=AD-CD=1,四边形p0CE为矩形. 2 第10页共19页 B (1)若F是PA的中点，求证：AC∥平面DEF; (2)求二面角A-BP-C的余弦值： 1 (3)若点F到平面BCP的距离为6，求PF的长。 5.(25-26高二下江苏扬州期中)如图，等边三角形ABC的边长为8，E,F分别为所在边的中点，O 为线段EF的中点，现将三角形ABC沿直线EF折起，使得二面角A-EF-B为直二面角. 第11页共19页 B (1)求线段AC的长度： (2)求直线BE与平面ABC所成角的正弦值； 4V33 (3)棱AC上是否存在异于端点的点M,使得点A到平面OBM的距离为11·若存在，请指出点M的位 置：若不存在，请说明理由. 【考点5：求线到面的距离】 ABCD-ABCD 1.(25-26高二下·湖南株洲阶段检测)已知正方体 的棱长为2E,F 分别为正方体的棱 第12页共19页 BC,CD 的中点. F C D E 4 B (1)求证： EFII平面 ACD 2)求线段EF到平面 ACD 的距离 2.(25-26高二上山东临沂期末)如图，在直三棱 ABC-ABG中， 第13页共19页 ∠BAC=90°，AB=AC=2,AA=4,M 是1B的中点，N是BC的中点，P是BC与C 的交点 B M A 国在线段4v上找一点°，使得P0/平面4CM ACM (2)在(1)的条件下，求PQ与平面 的距离 3.(2026高二全国专题练习)如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC,PA1平面 第14页共19页 ABCD,且PA=AB=1,点E是PD的中点， (1)求证：直线PB/平面AEC: (2)求直线PB到平面AEC的距离： 4.(25-26高二下·天津河东·期末)如图，在长方体 8C0-4BCD中，B=4D=3M=2, ，点 E.F.G BC,CD,AD 分别是棱 的中点. D G (1)求长方体外接球的表面积： AGI平面 CEF (2)求证： )求直线1C到平面 EF 的距离。 第15页共19页 5.(25-26高二下江苏南通期中)如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=2,点M,N分别为PA,BC 的中点，且∠BMD是二面角B-PA-D的平面角. (1)求证：MN∥平面PCD: (2)求直线MN到平面PCD的距离： (3)点Q是线段MN上的动点，求直线P№与平面PCD所成角的正弦值的最大值. 第16页共19页 【考点6：求面到面的距离】 1.(2026高三全国专题练习)如图所示，正方体的棱长为1，E,F,M,N分别为棱AD,AB, DC BC AEF BNMD 的中点，则平面 与平面 间的距离为() M E R C A B 2W2 35 A.3 B.3 C.3 D.3 2W3 ABCD-ABCD ADB 2.(25-26高二上贵州贵阳阶段检测)如图，在棱长为的正方体 中，平面 与 DCB 平面 的距离为， D C B A C B ABC-ABC 3.(25-26高二上·新疆巴州阶段检测)如图所示，在直三棱柱 中 ∠ABC=90°，BC=2,CC=4 BB ，点E在线段上，且 E81,D、R、G分别为 C,CB,CA 的中点 第17页共19页 B (1)求证：平面EGFI1平面ABD: (2)求平面EGF与平面ABD的距离 4.(25-26高二上·内蒙古赤峰阶段检测)如图所示，在直三棱 ABC-ABC中， ∠ABC=90°，BC=2,CC1=4 段B上，且B=1,D、R、G分别为 ,点E在线段上，且 C,CB,CA的中点. B B BD⊥ (1)求证： 平面ABD: (2)求证：平面EGF/1平面ABD: (3)求平面EGF与平面ABD的距离. 第18页共19页 5.(25-26高三下·湖南张家界阶段检测)如图，在直四棱 ABCD-AB,CD中，底面 BCD为平行四边 花，酸从.8.C.D0%京在T底8D,起-20=-4.aD=120,装长为25 已知：点5为休对角线8D与1C的交点，点6为线段D8上的点，且DG=2GB:点F为线段0的中 BD AC AD 点，点X为楼4D上的点，且X=3D:点P为楼0上的点，且 AD FO//BAG 平面. E XO//GCC (1)求证： 平面 XO GCC (2)求直线到平面的距离. 第19页共19页