1.4.2 用空间向量研究距离问题暑假预习讲义（6个题型归纳）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【1.4.2 用空间向量研究距离问题】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．用空间向量求距离 （1）点到直线的距离 设，是直线的单位方向向量，则向量在直线上的投影向量．在中，由勾股定理，得________．    （2）点到平面的距离 若平面的法向量为，平面内一点为，则平面外一点到平面的距离________，如图所示．    （3）线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离 2．异面直线与空间向量 设，分别是空间中直线与的方向向量． （1）若与异面，则与的关系为与不平行． （2）若与不平行，则与的位置关系为_相交或异面_______． （3）公垂线段：一般地，如果与是空间中两条异面直线，，，_，_______．则称为与的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的__距离______． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求点到平面的距离】 【练方法】 公式结论 设点为平面外一点，点为平面内任意一点，则点到平面的距离： 若平面方程为，点，坐标公式： 两平行平面间的距离：在一个平面上任取一点，转化为点到另一平面的距离 方法技巧 1.任选平面内定点构造向量 2.代入公式计算，分子必须加绝对值保证距离非负 3.平行平面距离不单独记公式，统一用点面距离转化求解 （25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，是平面外一点，平面的一个法向量为，的面积为3，且，则三棱锥的体积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______．小试牛刀2 （25-26高二上·广东潮州·期末）已知正方体的棱长为4，，，直线与交于点，则点到平面的距离为______．小试牛刀3 【题型2：求点到直线的距离】 【练方法】 公式结论 设为直线上任意一点，为直线方向向量，则点到直线的距离： 方法技巧 1.先求向量模长平方、投影长度平方 2.利用勾股定理作差开根号，完全规避超纲叉乘 3.高中考试优先使用此勾股公式，不用叉乘公式 （25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为________．经典例题1例题 （25-26高二下·江苏泰州·期中）已知直线l过点，其方向向量为，则点到直线l的距离为_____________.小试牛刀1 （25-26高二上·四川泸州·期末）在正四棱锥中，，，E，F分别是棱AB，PC的中点，则点D到直线EF的距离是_______________．小试牛刀2 （25-26高二上·云南楚雄·期末）是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是__________.小试牛刀3 【题型3：求异面直线的距离】 【练方法】 公式结论 设异面直线的方向向量为，分别在上，令，则异面直线距离： 方法技巧 1.几何转化法：过作平面平行于，异面距离等价于点到平面距离 2.公式仅适用于异面直线，平行直线不可用 （25-26高二上·山东临沂·期中）在三棱锥中，、均为等腰直角三角形，其中，，，点M，N分别在线段AB，PC上，则的最小值为______.经典例题1例题 （25-26高二上·陕西西安·阶段检测）在直三棱柱中，，，P，Q分别是直线，上的动点，则PQ的最小值为______.小试牛刀1 （25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知正方体的棱长为1，点和分别在和上，则长度的最小值为______．小试牛刀2 （24-25高二上·湖北宜昌·期中）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若，则直线BD1与CD之间的距离为________.小试牛刀3 【题型4：由点到平面的距离求参数】 【练方法】 公式结论 已知距离为定值，满足： 方法技巧 1.去掉绝对值得到正负两种情况列方程 2.等式平方消根号，化为整式方程求解参数 3.解完必须回代检验，舍去增根 （2026·安徽安庆·模拟预测）如图所示，四棱锥底面为菱形，点，为棱的三等分点，点是棱中点.经典例题1例题 (1)过，，三点的平面与线段交于点，求证：； (2)若面，，点到平面的距离为，求四棱锥体积的最小值. （2026高二·全国·专题练习）如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，．小试牛刀1 (1)证明：平面； (2)已知二面角是，，点到平面的距离为．求； （25-26高一下·浙江宁波·期末）如图，四棱锥的底面是平行四边形且，，为等边三角形，， 为中点．小试牛刀2 (1)证明：平面； (2)设 为侧棱 上一点，四边形是过 ， 两点的截面，分别交 ， 于， 两点，平面． （i）证明：； （ii）设，是否存在，使得点到面的距离为． （25-26高二下·江苏连云港·期中）如图，等边三角形的边长为8，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角．小试牛刀3 (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【题型5：由点到直线的距离求参数】 【练方法】 公式结论 已知点到直线距离为，满足： 方法技巧 1.两边平方去根号，构造含参二次方程 2.保证方向向量非零、距离非负，舍去无效参数 （25-26高二下·浙江杭州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．经典例题1例题 (1)证明：； (2)若， （i）设，点到直线的距离为3，求的值； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值． （2026·广东佛山·二模）如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形．点是棱上的动点（不与端点重合），且．小试牛刀1 (1)证明：平面； (2)已知圆柱的体积为，，点到直线的距离是1． （i）求的长度； （ii）求直线与平面所成角的正弦值． 如图，在四棱锥中，底面，在四边形中，，，．设．小试牛刀2 (1)若直线与平面所成的角为，求线段的长； (2)在线段上是否存在点，使得点到点的距离都相等？说明理由． （25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点．小试牛刀3 (1)求证： 平面； (2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【题型6：求距离的最值问题】 【练方法】 公式结论 1.点面距离最值：，为一次型函数最值 2.点线距离最值：，为二次函数最值 方法技巧 1.距离带根号，优先平方后求最值，最后再开根号还原 2.结合参数取值范围，取区间内最值，不取定义域外顶点 （24-25高三下·山西·阶段检测）如图，在直四棱柱中，，，，，．经典例题1例题 (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值： (3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值. （25-26高二上·浙江·期中）在直四棱柱中，底面为菱形，，，，点为棱的中点．小试牛刀1 (1)求平面和平面夹角的余弦值； (2)连接，若点为线段上的一动点，当点到直线距离最短时，求线段的长度． （25-26高二下·江苏宿迁·期末）如图，三棱锥中，底面，平面平面．小试牛刀2 (1)求证：； (2)若，且二面角的正弦值为． ①求的长； ②为平面内一点，且满足，求点到平面距离的最大值． （2025高三·天津·专题练习）已知正方体的棱长为3，点在上运动，点在棱上运动，上有一点满足，且，则动点到平面距离的最小值为______．小试牛刀3 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏连云港·阶段检测）正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，点M在上且N在上，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·湖北鄂州·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 6．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知向量，，，则三棱锥的体积为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、多选题 8．（25-26高二上·四川绵阳·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，平面，为中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．异面直线与间的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 三、填空题 9．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为________ 四、解答题 10．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）如图，已知四棱锥中，底面为正方形，，，是棱的中点，是棱上一点，. (1)若是棱的中点时， ①求证：平面； ②求直线与平面成角的正弦值； (2)若点到平面的距离为，求线段的长度. 11．（2026·河北石家庄·一模）如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是棱上的一点. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)若平面平面，是否存在点，使得点到平面的距离为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 12．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. (1)求证：平面； (2)若平面平面，，.若点到平面的距离为，求的值. 13．（2026·江苏南京·一模）如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面是菱形，平面平面，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 14．（2026·福建宁德·模拟预测）在长方体中，，，为棱上一动点. (1)当平面时，求线段的长度； (2)在（1）的条件下，求底面正方形的内切圆上点到平面距离的最大值. 15．（23-24高二上·四川广安·阶段检测）如图，在长方体中，，，为的中点． (1)求点到面的距离； (2)求点到面的距离． 16．（25-26高一下·浙江温州·期末）在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，． (1)若为的中点，求证：平面； (2)求点到平面的距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【1.4.2 用空间向量研究距离问题】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．用空间向量求距离 （1）点到直线的距离 设，是直线的单位方向向量，则向量在直线上的投影向量．在中，由勾股定理，得________．    （2）点到平面的距离 若平面的法向量为，平面内一点为，则平面外一点到平面的距离________，如图所示．    （3）线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离 2．异面直线与空间向量 设，分别是空间中直线与的方向向量． （1）若与异面，则与的关系为与不平行． （2）若与不平行，则与的位置关系为_相交或异面_______． （3）公垂线段：一般地，如果与是空间中两条异面直线，，，_，_______．则称为与的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的__距离______． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求点到平面的距离】 【练方法】 公式结论 设点为平面外一点，点为平面内任意一点，则点到平面的距离： 若平面方程为，点，坐标公式： 两平行平面间的距离：在一个平面上任取一点，转化为点到另一平面的距离 方法技巧 1.任选平面内定点构造向量 2.代入公式计算，分子必须加绝对值保证距离非负 3.平行平面距离不单独记公式，统一用点面距离转化求解 （25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，则，又平面的法向量为， 则点到平面的距离为. （25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，是平面外一点，平面的一个法向量为，的面积为3，且，则三棱锥的体积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点到平面距离的向量公式，求出点到平面的距离，再结合锥体体积公式计算即得. 【详解】因为，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 又的面积， 所以三棱锥的体积. （25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______．小试牛刀2 【答案】 【分析】以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】如图，以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则 ∴ ， ， ． 设平面的法向量为， 则即取，则，所以， 所以点C1到平面AD1C的距离为＝． （25-26高二上·广东潮州·期末）已知正方体的棱长为4，，，直线与交于点，则点到平面的距离为______．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据题意画出图形，分别以为轴作出空间直角坐标系，写出相应的坐标，求出的坐标，然后利用点到平面距离的向量求法求解即得.. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为4，，， 则， 在平面内，直线方程为，直线方程为，联立解得， 所以，， 设平面的法向量， 则，令，得， 于是点M到平面的距离. 【题型2：求点到直线的距离】 【练方法】 公式结论 设为直线上任意一点，为直线方向向量，则点到直线的距离： 方法技巧 1.先求向量模长平方、投影长度平方 2.利用勾股定理作差开根号，完全规避超纲叉乘 3.高中考试优先使用此勾股公式，不用叉乘公式 （25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为________．经典例题1例题 【答案】 【详解】由题意得，， ， ， 向量在直线上的投影长度为， 故点到直线的距离为 （25-26高二下·江苏泰州·期中）已知直线l过点，其方向向量为，则点到直线l的距离为_____________.小试牛刀1 【答案】2 【详解】依题意，，所以点到直线l的距离 （25-26高二上·四川泸州·期末）在正四棱锥中，，，E，F分别是棱AB，PC的中点，则点D到直线EF的距离是_______________．小试牛刀2 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得点D到直线EF的距离. 【详解】如图，连接AC，BD，DE，记，连接OP. 由正四棱锥的性质可知OB，OC，OP两两垂直， 则以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 因为，，所以，， 则， 所以， 则点到直线的距离是. 故答案为：. （25-26高二上·云南楚雄·期末）是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是__________.小试牛刀3 【答案】 【分析】先求向量及的模长，再利用空间点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为， ， ， ， 所以点到直线的距离是. 故答案为：. 【题型3：求异面直线的距离】 【练方法】 公式结论 设异面直线的方向向量为，分别在上，令，则异面直线距离： 方法技巧 1.几何转化法：过作平面平行于，异面距离等价于点到平面距离 2.公式仅适用于异面直线，平行直线不可用 （25-26高二上·山东临沂·期中）在三棱锥中，、均为等腰直角三角形，其中，，，点M，N分别在线段AB，PC上，则的最小值为______.经典例题1例题 【答案】 【分析】先利用线面垂直证得平面，然后将求的最小值转化为求异面直线AB，PC的距离，建立空间直角坐标系，利用异面直线距离的向量法公式即可得解. 【详解】因为为等腰直角三角形，， 因为，所以，又，，平面，所以平面， 又，补成长方体，以点为原点，建立空间直角坐标系如图， 则， 故， 点M，N分别在线段AB，PC上，要求的最小值，即求异面直线AB，PC的距离， 设同时垂直于，则， 取，则，故， 所以的最小值为. 故答案为： （25-26高二上·陕西西安·阶段检测）在直三棱柱中，，，P，Q分别是直线，上的动点，则PQ的最小值为______.小试牛刀1 【答案】/ 【分析】如图建系，求得各点坐标及坐标，进而可求得异面直线与的公垂线的方向向量，根据异面直线间距离公式，代入计算，即可得答案. 【详解】取中点D，中点E，连接DA，DE， 因为，所以， 因为直三棱柱，所以平面， 又平面， 所以， 因为，， 所以， 以D为原点，DB、DA、DE为x，y，z轴正方向建系， 所以， 则， 设异面直线与的公垂线的方向向量为， 则，即， 令，则， 所以异面直线与的公垂线的一个方向向量为， 所以PQ的最小距离即为异面直线与的距离d， 根据异面直线间距离公式，即PQ的最小值为. 故答案为：    （25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知正方体的棱长为1，点和分别在和上，则长度的最小值为______．小试牛刀2 【答案】/ 【分析】解法1：通过建立空间直角坐标系，将点、的坐标用参数表示，进而得到长度的平方的表达式，再根据二次函数的性质求最小值. 解法2：通过求异面直线与的法向量，再利用向量投影公式求出两异面直线间的距离，此距离即为长度的最小值. 【详解】解法1：如图，分别以，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，设，，，，则． 当，时，得到的最小值为． 解法2：同解法1建系，得，， 设的公共法向量，则. 取，则，，． 故答案为：. （24-25高二上·湖北宜昌·期中）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若，则直线BD1与CD之间的距离为________.小试牛刀3 【答案】 【分析】求得与，都垂直的一个向量，利用可求直线与之间的距离. 【详解】以为轴，为轴，为轴建立空间直线坐标系，    则，，， 设与，都垂直的一个向量， 则，取，则，， 所以与BD1，CD都垂直的一个向量， 所以直线与之间的距离为. 故答案为： 【题型4：由点到平面的距离求参数】 【练方法】 公式结论 已知距离为定值，满足： 方法技巧 1.去掉绝对值得到正负两种情况列方程 2.等式平方消根号，化为整式方程求解参数 3.解完必须回代检验，舍去增根 （2026·安徽安庆·模拟预测）如图所示，四棱锥底面为菱形，点，为棱的三等分点，点是棱中点.经典例题1例题 (1)过，，三点的平面与线段交于点，求证：； (2)若面，，点到平面的距离为，求四棱锥体积的最小值. 【答案】(1)取线段的中点，连接，，由于， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面， 所以平面. 又平面，平面平面，故. (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明面，再由线面平行的性质定理证得. （2）建立空间直角坐标系，设，，由点到平面距离的向量求法，表示出点到平面的距离，即可得的关系，根据棱锥的体积公式，利用基本不等式可求得四棱锥体积的最小值. 【详解】（1）略 （2）连接，交于点，因为底面为菱形，所以. 又平面，所以如图建立空间直角坐标系， 设，，则，，，，， 得，，. 设平面的法向量， 则， 所以点到平面的距离为，化简得， 因为，所以，即，当且仅当时，等号成立. 故，即四棱锥体积的最小值为． （2026高二·全国·专题练习）如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，．小试牛刀1 (1)证明：平面； (2)已知二面角是，，点到平面的距离为．求； 【答案】(1)过点作的垂线，设垂足为，即有， 因为，平面， 平面平面，平面平面，所以平面， 又因为平面，所以，因为四边形是矩形，所以， 所以，因为，， ，平面，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）作，由面面垂直的性质定理得到面，进而得出，结合，证得平面； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量方法，根据点到面的距离公式，求出. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面， 所以，又因为， 所以是二面角的平面角，即， 所以可以以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由已知得，，设，， 则，，且由得. 设平面的法向量为，而, 则有即有， 令，则，，所以，又， 所以点到平面的距离. 即，又因为， 所以可解得，因此. （25-26高一下·浙江宁波·期末）如图，四棱锥的底面是平行四边形且，，为等边三角形，， 为中点．小试牛刀2 (1)证明：平面； (2)设 为侧棱 上一点，四边形是过 ， 两点的截面，分别交 ， 于， 两点，平面． （i）证明：； （ii）设，是否存在，使得点到面的距离为． 【答案】(1)证明：为等边三角形， 为中点，故. 由得，则，. 平行四边形中 ，，在中，且， 即，故. 在中，由余弦定理得 已知，则，满足， 故. 又，平面， 因此平面. (2)（i）平面， 平面 ，平面平面， 所以由线面平行的性质定理得. （ii）存在，理由如下： 以 为坐标原点，方向为 轴正方向，过 作的平行线为 轴正方向， 方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 各点坐标为，，，，. 由，， 由得. 由，，取直线的一个方向向量为. ， 设平面的法向量为， 则， 故可设 ，点到平面的距离： 令，则，整理得， 解得（，符合取值范围）. 因此存在，使得点到面的距离为. （25-26高二下·江苏连云港·期中）如图，等边三角形的边长为8，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角．小试牛刀3 (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，点位于线段的靠近点的三等分点 【分析】（1）连接，证明，结合面面垂直性质定理证明平面，取边的中点记为，建立空间直角坐标系，求的坐标，再求线段的长度； （2）求平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值，再利用同角三角函数基本关系求出余弦值； （3）设，求平面的法向量，结合点到平面的距离的向量求法求点到平面的距离，列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）连接，因为为线段的中点，所以， 由题意知面面，且面面， 又面，所以平面，取边的中点记为，则． 以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系， 易知，所以； （2）由（1）可知， 所以，，， 记平面的一个法向量， 所以 ，不妨取，得，即， 记直线与平面所成角为， 则， 考虑到，有，从而， 所以直线与平面所成角的余弦值为． （3）设，其中． ， ， ，记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得，即， 则点到平面的距离， 整理得：，即， 解得或（舍去）， 所以当点位于线段的靠近点的三等分点时， 点到平面的距离为． 【题型5：由点到直线的距离求参数】 【练方法】 公式结论 已知点到直线距离为，满足： 方法技巧 1.两边平方去根号，构造含参二次方程 2.保证方向向量非零、距离非负，舍去无效参数 （25-26高二下·浙江杭州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．经典例题1例题 (1)证明：； (2)若， （i）设，点到直线的距离为3，求的值； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明： 因为，，． 所以，故， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面, 所以． (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据面面垂直的性质及线面垂直的性质即可证明； （2）建立空间直角坐标系，（i）根据点到直线距离公式列出方程即可求解；（ii）根据面面夹角的向量公式即可求解． 【详解】（1）略． （2）因为，，所以，又，， 所以，如图建系直角坐标系． 所以，，，，， （i）因为，所以点的坐标为， 所以，， 则直线的一个单位方向向量为， 点到直线的距离，解得． （ii）已知平面的一个法向量为， ， 设平面的一个法向量为， 由，即，取． 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． （2026·广东佛山·二模）如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形．点是棱上的动点（不与端点重合），且．小试牛刀1 (1)证明：平面； (2)已知圆柱的体积为，，点到直线的距离是1． （i）求的长度； （ii）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) 在正方形中，由，得，， 则，，因此， 由是圆柱的母线，得平面，而平面，则， 又平面，所以平面. (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）利用正方形的特征，线面垂直的性质、判断推理得证. （2）（i）以点为原点建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量求法列式求出；（ii）求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. 【详解】（1）略 （2）（i）设圆柱的底面圆半径为，圆柱的体积为，，得， 解得，则，显然直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设，则， ，由点到直线的距离是1， 得，则，而，解得， 所以. （ii），，设平面的法向量为， 则，取，得，设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 如图，在四棱锥中，底面，在四边形中，，，．设．小试牛刀2 (1)若直线与平面所成的角为，求线段的长； (2)在线段上是否存在点，使得点到点的距离都相等？说明理由． 【答案】(1)． (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）设，建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，根据已知即可列方程求解的长； （2）思路一：用空间向量求模长即可；思路二：由勾股定理求距离即可. 【详解】（1）因为平面平面， 所以．又，平面， 所以平面． 又平面，所以平面平面． 以为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图2）． 在平面内，作交于点，则． 在中，． 设，则． 由，得， 所以 设平面的法向量为， 由，得 取，得平面的一个法向量． 又，故由直线与平面所成的角为，得， 即， 解得或（舍去，因为），所以． （2）解法1  如图3，假设在线段上存在点，使得点到点的距离都相等． 设（其中）， 则． 由得，即①， 由得②， 由①，②消去，化简得③． 由于方程③没有实数根，所以在线段上不存在点， 使得点到点的距离都相等． 从而，在线段上不存在点， 使得点到点的距离都相等． 解法2  假设在线段上存在点，使得点到点的距离都相等，如图4． 由，得， 从而，即， 所以， 设，则． 在中，，这与矛盾． 所以在线段上不存在点，使得点到点的距离都相等，从而，在线段上不存在点，使得点到点的距离都相等． （25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点．小试牛刀3 (1)求证： 平面； (2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在点， 【分析】（1）取线段的中点，连接，证明为平行四边形，即可证明结论； （2）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，设，点点坐标用表示出来，根据点到直线距离向量公式解出参数，即可求出结果． 【详解】（1）取线段的中点，连接，在中，分别为的中点． ，且 又底面是菱形，且为的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形， 又平面平面 平面. （2）在平面内过点作， 又由平面底面,且平面平面,可得平面， 又菱形中，且，所以可得在中有， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，由且，所以是正三角形，所以， 设 ， ， ，， 即 化简得，故（舍负）. 综上，存在点，. 【题型6：求距离的最值问题】 【练方法】 公式结论 1.点面距离最值：，为一次型函数最值 2.点线距离最值：，为二次函数最值 方法技巧 1.距离带根号，优先平方后求最值，最后再开根号还原 2.结合参数取值范围，取区间内最值，不取定义域外顶点 （24-25高三下·山西·阶段检测）如图，在直四棱柱中，，，，，．经典例题1例题 (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值： (3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值. 【答案】(1)由直四棱柱知，底面， 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面，因为平面，所以． 因为，，． 所以，， 所以，所以， 因为，所以，所以， 又，平面，所以平面． (2) (3) 【分析】（1）由直棱柱的性质可得，再结合，可证得平面，则，然后根据已知的条件可得，从而可证得，进而可得，最后利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）由题意可证得，以为原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，从而利用向量的夹角公式可求得结果； （3）设，则表示出点的坐标，从而可表示出的坐标，然后表示出到直线的距离，化简可求出其最小值. 【详解】（1）略 （2）因为底面，平面， 所以，因为，所以两两垂直， 所以以为原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由（1）知，为平面的一个法向量． 设平面的一个法向量为， 因为， 则，令，则， 平面的一个法向量为． 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）设， 则， 设到直线的距离为， 则 ， 所以当时，，即到直线距离的最小值为． （25-26高二上·浙江·期中）在直四棱柱中，底面为菱形，，，，点为棱的中点．小试牛刀1 (1)求平面和平面夹角的余弦值； (2)连接，若点为线段上的一动点，当点到直线距离最短时，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量坐标，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出二面角的余弦值. （2）根据坐标求出到直线的距离最短的点的坐标，然后根据空间两点距离公式求出线段的长度即可. 【详解】（1）以为原点，以所在直线为轴，以过点垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 所以， 设平面和平面的法向量分别为. 则有，， 所以有，两式相减，令，则. ，令，则. 所以. 所以平面和平面的夹角的余弦值为 . （2）设，，因为，，， 所以，所以. 因为，,所以. 所以，所以， 所以点到直线的距离为， 其中，所以当时，点到直线的距离最短， 此时，又，所以. （25-26高二下·江苏宿迁·期末）如图，三棱锥中，底面，平面平面．小试牛刀2 (1)求证：； (2)若，且二面角的正弦值为． ①求的长； ②为平面内一点，且满足，求点到平面距离的最大值． 【答案】(1)在面内，过A作交于， 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面． 平面，所以． 因为底面，底面，所以． 又，且平面，所以平面． 因为平面，所以． (2)①；② 【分析】（1）由面面垂直的性质得到线面垂直，即可得到线线垂直，然后再证明线面垂直，由线面垂直的性质得证线线垂直； （2）①解法1：由二面角定义作出二面角的平面角，由线面垂直得到线线垂直，然后由直角三角形中边的关系即可求得； 解法2：建立空间直角坐标系，设点坐标，利用向量的数量积求得平面和平面的法向量，然后由二面角和向量的数量积公式求得点坐标.，从而求得. ②解法1：建立空间直角坐标系，设点坐标，由向量的数量积求得平面的法向量，由向量投影求得点到平面距离的表达式，即可求得答案； 解法2：利用等体积转换法求得点到平面距离的最大值. 【详解】（1）略 （2）①解法1：如图所示，在内过点M作交于，连接， 由（1）知，平面，又平面，所以． 又，平面，，所以平面． 又因为平面，所以． 故为二面角的平面角． 因为平面，平面PBC，所以． 因为平面，平面，平面，所以，． 设，则在中，，中，，． 在中，，即． 解得，即 解法2：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， ， 设，由（1）可知，即． 设平面的一个法向量， 又， 所以，即，取，则，， 所以． 由题意得，平面的一个法向量 因为二面角的正弦值为， 所以二面角的余弦值的绝对值为． 所以． 即，将代入得，． 解得，． 当时，，此时，与C重合，舍； 当时，，此时．     ②解法1：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则， ， ， ． 因为，为平面内一点， 所以在以为直径的圆上，则设． 设平面的一个法向量， 则，即，取，则． 所以． 到平面的距离为． 因为，所以到平面的距离最大值为． 解法2：因为平面，所以为三棱锥的高， 由（1）知，平面，平面，所以． 在直角三角形中，，，所以． 由（1）知， 设到平面的距离为h， 因为，所以，即． 又在平面内，且，所以在以为直径的圆上， 所以面积的最大值为． 故到平面的距离h的最大值为． （2025高三·天津·专题练习）已知正方体的棱长为3，点在上运动，点在棱上运动，上有一点满足，且，则动点到平面距离的最小值为______．小试牛刀3 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，计算证得线面垂直，得是平面的一个法向量．设到平面距离为，根据公式计算距离，设，结合辅助角公式计算最值． 【详解】如图所示，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， ， 则，，， 即， 连接，因为，所以， 则，， 又，又，平面， 平面， 则是平面的一个法向量， 设到平面距离为，则， 由上可设， 则，其中， 故动点到平面距离的最小值为． 故答案为：． 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏连云港·阶段检测）正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，点M在上且N在上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，由是异面直线与的公垂线段列出方程求解得，即可求得的长． 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 因为点M在上，点N在上，所以设， 因为是异面直线与的公垂线段， 所以，即，解得， 所以， 所以异面直线与间的距离为， 故选：C． 2．（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易得，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则点到平面的距离为. 3．（25-26高二下·湖北鄂州·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设有，设平面的法向量为， 则，故，取， 而，故点到平面的距离为. 4．（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 5．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】建立如图空间直角坐标系，    则， ，. 故点到直线的距离. 6．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 7．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知向量，，，则三棱锥的体积为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先求出平面的法向量，再利用向量求出点到平面的距离，然后利用向量求出点到直线的距离，进而求出的面积，最后利用三棱锥的体积公式即可. 【详解】设平面的法向量为， 则，则， 则点到平面的距离为， 又，， 则点到直线的距离为， 则， 故三棱锥的体积为. 二、多选题 8．（25-26高二上·四川绵阳·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，平面，为中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．异面直线与间的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】AD 【分析】建立恰当的空间直角坐标系，由空间向量线性运算的坐标表示，判断A；求得异面直线与的公垂线的方向向量，根据异面直线间距离的向量求法求得异面直线与间的距离，判断B；根据点到直线的距离的向量求法，求得点到直线的距离，判断C；根据点到平面距离的向量求法求得点到平面的距离，判断D. 【详解】因为平面，且，所以可以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系. 由题可知，. 因为为中点，所以. 对于A，，所以，所以A正确； 对于B，，. 设，且，则，所以. 令，则. 则满足条件的一个向量. 所以异面直线与间的距离为，所以B不正确； 对于C，，所以点到直线的距离为，所以C不正确； 对于D，，，设平面的法向量为，则， 所以，即，令，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，所以点到平面的距离，所以D正确. 故选：AD. 三、填空题 9．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为________ 【答案】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则. 所以， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有，可取， 所以异面直线和的距离为. 故答案为： 四、解答题 10．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）如图，已知四棱锥中，底面为正方形，，，是棱的中点，是棱上一点，. (1)若是棱的中点时， ①求证：平面； ②求直线与平面成角的正弦值； (2)若点到平面的距离为，求线段的长度. 【答案】(1)①是棱的中点，是棱的中点， ， 平面，平面， 平面． ② (2) 【分析】（1）①由直线与平面平行的判定定理证明即可. ②建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用直线与平面成角的正弦值，计算即可. （2）求平面的法向量，利用点到平面的距离公式计算即可 【详解】（1）①略 ②，， 底面为正方形，， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， ，， 是棱的中点，是棱的中点， ， 则各点坐标为：，，，，，， ，，， 设平面法向量为，则，即， 令，，，则， 直线与平面成角为， 则直线与平面成角的正弦值为： . （2）设 ，则，，，， 设平面法向量为，则，即， 令，则，，， 点到平面的距离为， ，解得：. 11．（2026·河北石家庄·一模）如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是棱上的一点. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)若平面平面，是否存在点，使得点到平面的距离为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 在四棱锥中，连接，交于点，连接， 因为四边形为菱形，所以为的中点， 因为为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. (2)存在，，理由如下： 解法一：取的中点，连接， 四边形是菱形，且，为正三角形，所以， 因为为正三角形，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，且，所以平面. 以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， ，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，则. 假设存在点，使得点到平面的距离为， 设，点到平面的距离为， 则解得， 所以存在点，当时，点到平面的距离为. 解法二：取的中点，连接， 四边形是菱形，且，所以为正三角形，所以， 因为为正三角形，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，且，所以平面. 又平面，所以，因为为等边三角形，边长为8， 所以，所以在， 又，可以求得， 所以， 因为，所以， 因为，所以，可得， 所以存在点，当时，点到平面的距离为. 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）解法一：取的中点，连接，利用面面垂直的性质定理得平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，利用点面距离的向量公式列式求解即可； 解法二：取的中点，连接，利用面面垂直的性质定理得平面，利用等体积法求得，利用求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 12．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. (1)求证：平面； (2)若平面平面，，.若点到平面的距离为，求的值. 【答案】(1) 连接，交于点，连接，如图所示： 因为四边形为正方形，所以为的中点， 又为中点，所以为的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面. (2)； 【分析】（1）利用线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，根据点到面的向量法建立方程求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面平面，，平面平面， 平面，所以平面， 所以以点为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 由，则， 设，所以， 由，所以， 即，所以， 由， 设平面的一个法向量为：， 由，令，则，所以， 又， 所以点到平面的距离为： ， 又，解得：. 13．（2026·江苏南京·一模）如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面是菱形，平面平面，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：连接，因为是等边三角形，是中点，所以． 又因为，，平面，，所以平面． 因为平面，所以． 因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）连接，结合等边三角形的性质，利用线面垂直的判定定理证明平面，进而由线面垂直的性质定理得，然后利用面面垂直的判定定理证明即可． （2）法一：利用线面垂直的判定定理证明平面，在平面内，作于，由线面垂直的性质定理和判定定理得平面，然后在中求解即可； 法二：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后点面距的向量公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）法一：在菱形中，， 又因为，，所以，． 因为，平面，，所以平面． 在平面内，作于． 因为平面，平面，所以． 又因为，，平面，， 所以平面， 所以的长度为点到平面的距离． 在中，因为，，， 所以，同理． 因为平面，平面，所以． 在中，因为，所以边上的高． 即点到平面的距离为． 法二：因为平面，平面，所以． 由（1）得、、两两垂直， 故以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，，． 设平面的法向量为， 所以所以 所以是平面的一个法向量． 所以点到平面的距离． 14．（2026·福建宁德·模拟预测）在长方体中，，，为棱上一动点. (1)当平面时，求线段的长度； (2)在（1）的条件下，求底面正方形的内切圆上点到平面距离的最大值. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行即可求线段长； （2）设内切圆上的点坐标为：，利用点到平面的距离公式结合三角函数求最值即可求解. 【详解】（1）以为原点， 所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 则 ， 设，则， . 设平面的法向量为 ，则： 令，解得，故. 因为平面，所以. 即 ，解得. 所以线段的长度为1. （2）由（1）知，，，平面的法向量 ， 底面正方形的内切圆圆心为，半径 . 设内切圆上的点坐标为：，， 则， 所以. 点到平面距离 ， 设，， 则 ，其中， 当时，取最大值，为， 所以点到平面距离的最大值为. 15．（23-24高二上·四川广安·阶段检测）如图，在长方体中，，，为的中点． (1)求点到面的距离； (2)求点到面的距离． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用长方体性质得到平面，再结合题意求出即可. （2）法一先计算关键三角形的面积，再利用等体积法建立方程，求解点面距离即可，法二建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再利用点到平面距离公式计算即可. 【详解】（1）由长方体性质得平面， 因为，为的中点，所以， 则点到面的距离为. （2）法一：设点到面的距离为， 在中，由勾股定理得，， 如图，连接，因为是的中点，所以，， 由勾股定理得， 故，而． ，，． 法二：如图，以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向， 建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，，可得， 则点到平面的距离. 16．（25-26高一下·浙江温州·期末）在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，． (1)若为的中点，求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用向量法证明线面平行即可； （2）利用向量法直接求解点到平面的距离. 【详解】（1）由题知，因为平面，平面， 且，所以两两互相垂直， 以为原点，所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以，，又， 令平面的一个法向量， 则，解得， 取，则，所以， 则， 所以平面. （2）由（1）知，平面的一个法向量， 又， 则点到平面的距离为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $