第06讲 用空间向量研究距离问题（思维导图+2知识点+4大题型+综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版

第06讲 用空间向量研究距离问题 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 点到面的距离 题型02 点到线的距离 题型03 其他距离问题 题型04 距离中的探索性问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.点到直线、点到平面的距离 1. 掌握应用向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线间、相互平行的平面间的距离问题,培养逻辑推理的核心素养. 2. 体会向量方法在研究立体几何问题中的作用,提升数学运算的核心素养. 学习重点：向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线间、相互平行的平面间的距离问题 学习难点：距离中的探索性问题 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 点到线的距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、异面直线的距离（线线距） （1）公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条. （2）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度. 即时即练 1．（25-26高二上·辽宁大连·期末）在空间直角坐标系中，已知，，，则点A到直线的距离为______. 2．已知四棱锥平面，底面是为直角，的直角梯形，如图所示，且，点为的中点，则到直线的距离为__________.    【方法总结】 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的一个单位方向向量u. (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a. (4)利用公式d=计算点到直线的距离. 知识点02 点到平面的距离 1、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 注：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 即时即练 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知是平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为_______. 2．如图，在直三棱柱中，△ABC是正三角形，D为AC的中点，点E在棱上，且，若，，则点到平面BDE的距离为__________. 【方法总结】 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求出该平面的一个法向量. (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量. (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即为点到平面的距离. 题型01 点到面的距离 1．（2026高二·全国·专题练习）已知平面α的一个法向量，点在内，则到平面的距离为（    ） A．10 B．3 C． D． 2．如图，正方体棱长为4，点是棱的中点，点分别是线段的中点，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C．6 D．8 3．（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点，则点到平面的距离为（   ）    A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知平面的一个法向量为，点在平面内，若点到平面的距离为，则__________. 5．（25-26高二上·陕西安康·期末）在棱长为3的正方体中，为线段上靠近点的三等分点，则点到平面的距离为__________. 6．（25-26高二上·全国·课后作业）如图所示，在直四棱柱 中，，点在棱上，且，则点到平面的距离为______. 【技巧归纳】 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求出该平面的一个法向量. (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量. (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即为点到平面的距离. 题型02 点到线的距离 1．（25-26高二上·广东广州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点A到直线BC的距离为（   ） A． B． C． D．1 2．（25-26高二上·湖北·阶段检测）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·四川泸州·期末）在正四棱锥中，，，E，F分别是棱AB，PC的中点，则点D到直线EF的距离是_______________． 5．（25-26高二上·天津·期中）如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动，则点到直线距离的最小值为_____. 【技巧归纳】 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的一个单位方向向量u. (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a. (4)利用公式d=计算点到直线的距离. 题型03 其他距离问题 1．（25-26高二上·河南洛阳·期末）如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点，则直线到平面的距离为（   ）    A． B． C．1 D． 2．（24-25高二上·山东滨州·期末）在直四棱柱中，底面是正方形，，，点在棱上，若直线到平面的距离为，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 3．（25-26高二上·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. 5．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为________ 【技巧归纳】 (1)求线线距离可以转化为求直线上任意一点到另一直线的距离,利用求点到直线的距离的方法求解即可. (2)求线面距离、两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可. 题型04 距离中的探索性问题 1．如图，在多面体中，四边形为正方形，平面.    (1)求证： (2)在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为？若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由. 2．如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是棱上的一点. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)若平面平面，是否存在点，使得点到平面的距离为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 3．如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面，.    (1)证明：平面； (2)若点Q是线段的中点，M是直线上的一点，N是直线上的一点，是否存在点M，N使得?请说明理由. 4．（25-26高二·全国·暑假作业）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点． (1)求证：平面； (2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 1．（25-26高二上·安徽合肥·阶段检测）在空间直角坐标系中，，，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 2．如图，正方体的棱长为4，其中，点F为的中点，则点C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 4．（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，是平面外一点，平面的一个法向量为，的面积为3，且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）在正三棱锥中，分别是棱的中点，则点P到平面的距离是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·辽宁·期末）如图，平面ABCD，，，，，点M为BQ的中点，若，则N到平面CPM的距离为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·全国·课后作业）如图①，在中，，，E，F分别为AB，AC上的点，，．如图②，将沿EF折起，当四棱锥的体积最大时，点E到平面ACF的距离为（    ）    A． B． C． D． 9．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）已知点与点，在轴上求一点，使点到直线的距离为1，则点的坐标为__________. 10．四面体满足，，，，设、、的中点分别为、、，则点到直线的距离为_______. 11．（25-26高二上·广东·期末）在正三棱柱中，，是线段上的一动点，则点到直线的距离的最小值是________. 12．（25-26高二·全国·寒假作业）在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点.证明平面平面，并求平面与平面的距离. 13．已知直三棱柱中，侧面为正方形.，E，F分别为AC和的中点，. (1)求四棱锥的体积； (2)是否存在点D在直线上，使得异面直线BF，DE的距离为1?若存在，求出此时线段DE的长；若不存在，请说明理由. 14．（25-26高二上·湖北十堰·期中）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知点为中点，点在线段上，且满足，平面交于点. (1)求证平面； (2)求的值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 用空间向量研究距离问题 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 点到面的距离 题型02 点到线的距离 题型03 其他距离问题 题型04 距离中的探索性问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.点到直线、点到平面的距离 1. 掌握应用向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线间、相互平行的平面间的距离问题,培养逻辑推理的核心素养. 2. 体会向量方法在研究立体几何问题中的作用,提升数学运算的核心素养. 学习重点：向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线间、相互平行的平面间的距离问题 学习难点：距离中的探索性问题 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 点到线的距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、异面直线的距离（线线距） （1）公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条. （2）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度. 即时即练 1．（25-26高二上·辽宁大连·期末）在空间直角坐标系中，已知，，，则点A到直线的距离为______. 【答案】 【分析】利用点到直线的距离的向量公式即可求解. 【详解】已知，，， 则，，， 所以点到直线的距离为： . 故答案为： 2．已知四棱锥平面，底面是为直角，的直角梯形，如图所示，且，点为的中点，则到直线的距离为__________.    【答案】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，向量法求点到直线的距离. 【详解】由题意知，平面，平面，所以， 又，故以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系，    则，得 所以， 记， 则，， 所以到直线的距离为. 故答案为：. 【方法总结】 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的一个单位方向向量u. (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a. (4)利用公式d=计算点到直线的距离. 知识点02 点到平面的距离 1、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 注：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 即时即练 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知是平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为_______. 【答案】/ 【分析】表示出，再根据点到平面的距离公式计算可得. 【详解】因为点在平面内，又， 所以，又是平面的一个法向量， 所以点到平面的距离. 故答案为： 2．如图，在直三棱柱中，△ABC是正三角形，D为AC的中点，点E在棱上，且，若，，则点到平面BDE的距离为__________. 【答案】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出，其中是平面的法向量，结合公式即可运算求解. 【详解】如图，取的中点，因为平面，平面， 所以， 因为三角形是等边三角形，点是中点，所以， 所以两两互相垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为，，，D为AC的中点， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，解得， 所以可取， 点到平面BDE的距离为. 故答案为：. 【方法总结】 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求出该平面的一个法向量. (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量. (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即为点到平面的距离. 题型01 点到面的距离 1．（2026高二·全国·专题练习）已知平面α的一个法向量，点在内，则到平面的距离为（    ） A．10 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】由，，可得. 因为平面的一个法向量，点A在内， 所以到的距离为. 2．如图，正方体棱长为4，点是棱的中点，点分别是线段的中点，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离，再结合棱锥的体积公式求解. 【详解】以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，. 所以，，. 在中，，， 所以. 又，，. 设平面的法向量为，则 ，取可得. 所以点到平面的距离为：. 所以. 3．（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点，则点到平面的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间关系可证明线面垂直，从而可建立空间直角坐标系，表示各点坐标，即可用空间向量法求出点到平面的距离. 【详解】由取的中点为，连接，则， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又因为，所以可如图建立空间直角坐标系：    由，则， 可得：， 又因为为的中点，所以， 即， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 则点到平面的距离为， 故选：A. 4．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知平面的一个法向量为，点在平面内，若点到平面的距离为，则__________. 【答案】2或4 【分析】由空间中点到平面距离公式，结合条件即可求得的值. 【详解】因为，所以点到平面的距离， 解得或. 故答案为：2或4. 5．（25-26高二上·陕西安康·期末）在棱长为3的正方体中，为线段上靠近点的三等分点，则点到平面的距离为__________. 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，令得， 所以， 又，故点到平面的距离为 . 故答案为： 6．（25-26高二上·全国·课后作业）如图所示，在直四棱柱 中，，点在棱上，且，则点到平面的距离为______. 【答案】/ 【详解】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，由距离公式求解即可. 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 设平面的法向量为，则 令，则. 点到平面的距离. 故答案为：. 【技巧归纳】 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求出该平面的一个法向量. (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量. (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即为点到平面的距离. 题型02 点到线的距离 1．（25-26高二上·广东广州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点A到直线BC的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据空间向量的数量积计算即可. 【详解】因为点，，， 所以，所以. 所以点到直线的距离为. 故选：A. 2．（25-26高二上·湖北·阶段检测）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量点到线的距离公式进行求解即可. 【详解】因为，直线的方向向量， 所以， 因为， 所以点到直线的距离为， 故选：A 3．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线的距离. 【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，    由，得， 由点E在棱BC上，且，得，的重心， 则，，，， 所以点G到直线AE的距离. 故选：A 4．（25-26高二上·四川泸州·期末）在正四棱锥中，，，E，F分别是棱AB，PC的中点，则点D到直线EF的距离是_______________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得点D到直线EF的距离. 【详解】如图，连接AC，BD，DE，记，连接OP. 由正四棱锥的性质可知OB，OC，OP两两垂直， 则以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 因为，，所以，， 则， 所以， 则点到直线的距离是. 故答案为：. 5．（25-26高二上·天津·期中）如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动，则点到直线距离的最小值为_____. 【答案】/ 【分析】建系后引入动点共线参数，再利用空间向量法来求点到直线的距离，即可求得最小值. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，因正方体的棱长为，，分别是棱，的中点， 则可得， 则，， 设，，则 ， 过点作，垂足为， 则 ， 则当时，取得最小值为， 所以点到直线距离的最小值为， 故答案为：. 【技巧归纳】 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的一个单位方向向量u. (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a. (4)利用公式d=计算点到直线的距离. 题型03 其他距离问题 1．（25-26高二上·河南洛阳·期末）如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点，则直线到平面的距离为（   ）    A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面，则直线到平面的距离即为点到平面的距离，再由点到面的距离公式计算可得. 【详解】在直三棱柱中，， 如图建立空间直角坐标系，    则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得； 由，得，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离. 故选：A 2．（24-25高二上·山东滨州·期末）在直四棱柱中，底面是正方形，，，点在棱上，若直线到平面的距离为，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系后利用点到直线的距离空间向量求解后可得正确的选项. 【详解】由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示， 则，设．    因为，平面，平面，故平面， 故直线到平面的距离为到平面的距离. ，， 设平面的法向量为，则由可得： ，取， 故到平面的距离，故，故， 故选：C. 3．（25-26高二上·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得的长度最小值即异面直线和的距离，建立如图所示空间直角坐标系，再求出直线和的法向量，利用空间点面距离公式求解即可. 【详解】点在上，点在上， 则的长度最小值即异面直线和的距离， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设为直线和的法向量， 又因为，，， 则，令，则， 所以异面直线和的距离为， 即的长度最小值为. 故选：C. 4．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. 【答案】2 【分析】先由题设求证平面平面得到平面与平面的距离即为点C到平面的距离，接着建立适当空间直角坐标系求出和平面的一个法向量，再由向量法距离公式即可求解. 【详解】由正方体结构性质可知且，且， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，又在平面外，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离即为点C到平面的距离， 由题可建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面与平面的距离即点C到平面的距离为. 故答案为：2 5．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为________ 【答案】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则. 所以， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有，可取， 所以异面直线和的距离为. 故答案为： 【技巧归纳】 (1)求线线距离可以转化为求直线上任意一点到另一直线的距离,利用求点到直线的距离的方法求解即可. (2)求线面距离、两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可. 题型04 距离中的探索性问题 1．如图，在多面体中，四边形为正方形，平面.    (1)求证： (2)在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为？若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得； （2）设线段上存在一点，使得与所成角的余弦值为，利用空间向量法求出，再由向量法求出点到平面的距离. 【详解】（1）因为四边形为正方形，平面， 如图以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，    所以， 所以， 所以，所以. （2）设线段上存在一点，使得与所成角的余弦值为， 则，又， 所以，解得（负值舍去）， 所以存在满足条件， 所以，依题意可得， 设为平面的法向量， 则，设，可得， 所以点到平面的距离为. 2．如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是棱上的一点. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)若平面平面，是否存在点，使得点到平面的距离为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】见解析 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）解法一：取的中点，连接，利用面面垂直的性质定理得平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，利用点面距离的向量公式列式求解即可； 解法二：取的中点，连接，利用面面垂直的性质定理得平面，利用等体积法求得，利用求解即可. 【详解】（1）在四棱锥中，连接，交于点，连接， 因为四边形为菱形，所以为的中点， 因为为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. (2)存在，，理由如下： 解法一：取的中点，连接， 四边形是菱形，且，为正三角形，所以， 因为为正三角形，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，且，所以平面. 以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， ，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，则. 假设存在点，使得点到平面的距离为， 设，点到平面的距离为， 则解得， 所以存在点，当时，点到平面的距离为. 解法二：取的中点，连接， 四边形是菱形，且，所以为正三角形，所以， 因为为正三角形，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，且，所以平面. 又平面，所以，因为为等边三角形，边长为8， 所以，所以在， 又，可以求得， 所以， 因为，所以， 因为，所以，可得， 所以存在点，当时，点到平面的距离为. 3．如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面，.    (1)证明：平面； (2)若点Q是线段的中点，M是直线上的一点，N是直线上的一点，是否存在点M，N使得?请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可得线线垂直，根据线面垂直的判定即可求解 （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线的距离，即可求解. 【详解】（1）如图，取的中点O，因为，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以，又，平面，平面，， 所以平面. （2）因为，O为的中点，，所以， 过点O作交于点E，则由平面,平面,可得， 则以O为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设与，都重直的向量为， 则得 令，则， 设直线与直线的距离为d， 则， 则不存在点M和N使得. 4．（25-26高二·全国·暑假作业）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点． (1)求证：平面； (2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在点， 【分析】（1）取线段的中点，连接，证明为平行四边形，即可证明结论； （2）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，设，点点坐标用表示出来，根据点到直线距离向量公式解出参数，即可求出结果． 【详解】（1）取线段的中点，连接，在中，分别为的中点． ，且 又底面是菱形，且为的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形， 又平面平面 平面. （2）在平面内过点作， 又由平面底面,且平面平面,可得平面， 又菱形中，且，所以可得在中有， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，由且，所以是正三角形，所以， 设 ， ， ，， 即 化简得，故（舍负）. 综上，存在点，. 1．（25-26高二上·安徽合肥·阶段检测）在空间直角坐标系中，，，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由，，， 则， 则，， 所以点到直线的距离为. 故选：B 2．如图，正方体的棱长为4，其中，点F为的中点，则点C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，从而利用点到平面的距离公式进行求解. 【详解】以点D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 可得，, 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 其中， 点C到平面的距离. 故选：C． 3．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由线线平行得到线面平行，直线到平面的距离等于点到平面的距离，建立空间直角坐标系，得到平面法向量，得到点到平面的距离. 【详解】因为，平面，平面，所以平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴， 所在的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 设点到平面的距离为， 则，故直线到平面的距离为. 故选：D 4．（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，是平面外一点，平面的一个法向量为，的面积为3，且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点到平面距离的向量公式，求出点到平面的距离，再结合锥体体积公式计算即得. 【详解】因为，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 又的面积， 所以三棱锥的体积. 5．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）在正三棱锥中，分别是棱的中点，则点P到平面的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以H为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．利用空间向量法求出点P到平面的距离即可. 【详解】如图，取棱的中点F，连接， 则点P在平面的投影H在线段上，且， 连接，作，交线段于点G，易证两两垂直， 则以H为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为是边长为的等边三角形，所以，所以． 因为，所以， 所以，所以． 设平面的法向量为，则令，得， 故点P到平面的距离是． 故选：B 6．（24-25高二上·辽宁·期末）如图，平面ABCD，，，，，点M为BQ的中点，若，则N到平面CPM的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求点面距离即可. 【详解】因为平面，，易知AD，CD，PD两两垂直， 以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 依题意得，，，. 所以，，， 设为平面CPM的法向量，则，即， 不妨设，可得， 由，得， 则N到平面CPM的距离为. 故选：B 7．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合正四棱锥的几何特征建系，再应用空间向量法求与的公垂线方向向量为，最后应用异面直线距离公式计算求解. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于． 因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，． 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有，即，取． 又因为， 所以异面直线与的距离． 所以异面直线与的距离是． 故选：C. 8．（24-25高二上·全国·课后作业）如图①，在中，，，E，F分别为AB，AC上的点，，．如图②，将沿EF折起，当四棱锥的体积最大时，点E到平面ACF的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定四棱锥的体积最大时，平面，然后以为原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求点面距． 【详解】由得，所以，四边形的面积是确定的， 点到平面为，则，因此 四棱锥的体积最大时，取得最大值，所以平面， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，    则， ， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 所以点到平面的距离为， 故选：B． 9．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）已知点与点，在轴上求一点，使点到直线的距离为1，则点的坐标为__________. 【答案】. 【分析】设，然后由空间向量点到直线距离公式可得答案. 【详解】设，则，， 则方向上的单位向量为， 由点到直线的距离为：， 解得，故. 故答案为：. 10．四面体满足，，，，设、、的中点分别为、、，则点到直线的距离为_______. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，由求解. 【详解】由题意，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 所以点到直线的距离为， 故答案为：. 11．（25-26高二上·广东·期末）在正三棱柱中，，是线段上的一动点，则点到直线的距离的最小值是________. 【答案】 【分析】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量求法得出距离表达式，并根据二次函数性质即可求出距离最小值. 【详解】以为原点，，所在直线分别为轴、轴，在平面内过并垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图：    因为，所以，，，， 所以，，. 设，则， 故点到直线的距离. 当时，等号成立； 因此点到直线的距离的最小值是. 故答案为： 12．（25-26高二·全国·寒假作业）在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点.证明平面平面，并求平面与平面的距离. 【答案】证明见解析， 【分析】建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可求证平行，根据点到平面的向量法公式求解距离. 【详解】以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，. ,，, 设平面的法向量为， 由，得， 令，则，故. 设平面的法向量为， , 由，得， 令，则，故. 由于，所以平面平面. 平面与平面的距离为. 13．已知直三棱柱中，侧面为正方形.，E，F分别为AC和的中点，. (1)求四棱锥的体积； (2)是否存在点D在直线上，使得异面直线BF，DE的距离为1?若存在，求出此时线段DE的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)1 (2)存在，或 【分析】（1）找到四棱锥的高，利用四棱锥体积公式求出体积； （2）根据题目中的条件建立空间直角坐标系，表达出与，均垂直的向量，进而利用异面直线BF，DE的距离为1建立等式求出a. 【详解】（1） ∵侧面为正方形，∴， 又，且，面， ∴平面，又， ∴平面，取BC中点G， 则，∴平面. ∴. （2）以为原点，分别以BA，BC，所在直线建立空间直角坐标系，如图， 则，，， 设，则，，. 设与，均垂直的向量为， 则，即，取， ∴异面直线BF，DE的距离，解得或. ∴或. 故存在点D在直线上，使得异面直线BF，DE的距离为1，且此时或. 14．（25-26高二上·湖北十堰·期中）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知点为中点，点在线段上，且满足，平面交于点. (1)求证平面； (2)求的值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，的坐标为或. 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）利用共面向量定理及向量的坐标运算计算得解. （3）求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式列式求解. 【详解】（1）在四棱锥中，底面是正方形，平面，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，于是 即平面，而平面，所以平面. （2）设，则，， 由四点共面，得， 因此，解得，所以. （3）由（2）得，则，设， 于是点，，而， 设平面的法向量为，则，取，得， 点到平面的距离，解得或， 所以线段上存在一点满足条件，点的坐标为或. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $