专题04 图形的轴对称 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册.

专题04 图形的轴对称 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.轴对称基础：轴对称图形、两个图形成轴对称的定义、区别与联系 2.轴对称核心性质：对称图形全等、对称轴与对应点连线的位置关系 3.线段垂直平分线：定义、性质定理、判定定理、几何意义、尺规作图 4.轴对称作图：作图形对称轴 5.逆命题与互逆定理：命题、逆命题、互逆定理概念及本节专属互逆定理 6.基础应用：利用轴对称及垂直平分线性质解题、规范作图与证明 ✺学习目标 1.理解轴对称图形、两个图形成轴对称的概念，清晰区分二者的区别与联系，能够准确识别常见轴对称图形并找出其对称轴。 2.熟练掌握轴对称的基本性质，明确对称图形的全等关系，掌握对称轴与对应点、对应线段、对应角的数量及位置关系，能完成基础几何推理与计算。 3.掌握线段垂直平分线的定义、性质定理和判定定理，理解其几何意义，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图方法。 4.掌握轴对称作图方法，能够准确作出图形的对称轴，熟练掌握尺规作图规范。 5.理解命题、逆命题、互逆定理的概念，明晰命题与定理的区别，熟练掌握线段垂直平分线的一对互逆定理，能辨析真假命题。 6.能灵活运用轴对称性质、线段垂直平分线定理，规范完成线段相等证明、角度计算、作图类基础题型，养成严谨的几何解题思维 ✺题型归纳 题型1.轴对称图形的识别 题型2.成轴对称的两个图形的识别 题型3.根据成轴对称图形的特征进行判断 题型4.根据成轴对称图形的特征进行求解 题型5.台球桌面上的轴对称问题 题型6.轴对称中的光线反射问题 题型7.折叠问题 题型8.线段垂直平分线的性质 题型9.线段垂直平分线的判定 题型10.写出命题的逆命题 题型11.判断是否为互逆命题 题型12.互逆定理 题型13.作已知线段的垂直平分线 题型14.作垂线(尺规作图) 题型15.画对称轴 题型16.求对称轴条数 题型17.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 2.两个图形成轴对称：把两个图形沿着某一条直线折叠，如果这两个图形能够完全重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，这条直线为对称轴，折叠后重合的点为对应点（对称点）。 3.区别：轴对称图形是一个图形自身具备对称特征；两个图形成轴对称是两个独立图形之间的对称关系。 4.联系：二者性质完全相同；若把两个成轴对称的图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条直线对称。 5.常见轴对称图形：线段、角、长方形、正方形、圆、等腰梯形等。 知识点二、轴对称 1.定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 2.性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么这两个图形全等，对应线段相等，对应角相等；对称轴是连接任意一对对应点所得线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴，垂直平分图形上任意一对对应点的连线。 3.轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系 对比项目 轴对称图形 两个图形成轴对称 对象数量 一个独立图形 两个独立的图形 对称本质 图形自身两部分折叠后可重合 两个图形沿直线折叠后可互相重合 对称轴数量 至少一条 有且只有一条 区别总结 单个图形的自身特性 两个图形的位置关系 二者联系：① 性质完全一致，均满足轴对称的所有性质；② 将成轴对称的两个图形视为一个整体，就是一个轴对称图形；③ 将轴对称图形沿对称轴拆分为两部分，这两部分关于对称轴成轴对称。 知识点三、线段的垂直平分线 1.定义：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。如下图： . ∵MN⊥AB，且与AB 交于点C，C为AB中点，∴MN是线段AB的垂直平分线。 ★线段的垂直平分线必须满足两个条件：经过线段的中点，垂直于这条线段。两者缺一不可。 2.性质定理：线段垂直平分线上的任意一点，与这条线段两个端点的距离相等 几何语言：∵MN垂直平分AB,∴PA=PB 3.判定定理：在平面内，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：∵PA=PB,∴点P在AB的垂直平分线上。 知识点四、轴对称作图方法 1. 作图形的对称轴：找出图形的一组对应点，连接两点，作出该线段的垂直平分线，即为图形的对称轴。 知识点五、线段垂直平分线的尺规作图及实际应用 1.已知线段AB，求作AB的垂直平分线 作图步骤： (1)分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧在线段AB两侧分别交于C、D两点； (2)作直线CD； (3)所得直线CD即为线段AB的垂直平分线。如下图. 2.利用线段垂直平分线解决实际问题 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，利用此性质可以解决生活中由同一点到几个不同地点距离相等的问题。 知识点六、逆命题与互逆定理 1.命题的组成：任何命题都由题设（条件）和结论两部分组成，一般可写成“如果……，那么……”的形式。 2.逆命题定义：把一个命题的题设和结论互换，得到的新命题就是原命题的逆命题。 ★注意：所有命题都有逆命题，无论原命题真假，都可以互换条件结论得到逆命题。 3.互逆命题：如果一个命题是另一个命题的逆命题，那么这两个命题互为互逆命题。 4.逆定理、互逆定理：若一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理互为互逆定理，其中一个定理是另一个定理的逆定理。 ▲本节专属互逆定理：原定理（性质）：线段垂直平分线上的点，到线段两端点距离相等。 逆定理（判定）：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ✺题型精讲 题型1.轴对称图形的识别 1．下列四个图形中，其中不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．已知直线，垂足为，则图形①与图形______成轴对称．    3．下列图形中，哪些是轴对称图形？哪些不是轴对称图形？ （1）（2）（3）（4） 题型2.成轴对称的两个图形的识别 1．如图，线段AC，AD关于直线AB成轴对称，点E，F分别在AC，AD上，且．ED，CF相交于点B．图中关于AB成轴对称的三角形共有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 2．下列关于轴对称的说法：①一个轴对称图形可以有多条对称轴；②成轴对称的两个图形一定全等；③若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧；④若点A，B关于直线对称，则且平分．其中正确的是_________．（填序号） 3．如图，和关于直线成轴对称，请写出对应角和对应线段． 题型3.根据成轴对称图形的特征进行判断 1．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不正确的是（     ） A． B． C．D． 2．如图，将一张纸对折后用针扎出一系列小孔，展开后得到成轴对称的两个图形，的对应线段是________，的对应角是________． 3．如图，与关于直线对称，与的交点在直线上． (1)指出图中的两对对称点； (2)指出图中相等的线段； (3)指出图中其他关于直线对称的三角形． 题型4.根据成轴对称图形的特征进行求解 1．如图，点C是内的一点，点，分别是点C关于的对称点，交于点D，交于点E．若，则的周长是（     ） A．12 B．13 C．15 D．18 2．网格小正方形边长为1，点A、B关于中间竖直线对称，点C在B正上方6格，则点C的对称点与A的竖直距离为_________． 3．如图，已知与关于直线对称，直线分别与、交于点，，，，，． (1)求的长． (2)求的面积． (3)求的面积． 题型5.台球桌面上的轴对称问题 1．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 2．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为.则点的坐标是______.    3．如图，汾河岸边有A，B两个住宅小区，恒富然气公司想在汾河边L上修建一个天然气站，问天然气站位置选在什么地方时，才能使管道铺设用材最少？（写出画法，并保留痕迹） 题型6.轴对称中的光线反射问题 1．如图，一束光线射向一个水平镜面后在点处被反射，请借助量角器或者直尺判断反射光线一定会经过（     ）    A．点 B．点 C．点 D．点 2．光线从如图所示的角度照射到平面镜上，然后在平面镜之间来回反射．已知，，则______． 3．根据以下素材，完成下面项目． 项目任务单：《光的镜面反射》 项目 项目内容 图形 素材 光线照射到平面镜上会发生光的反射现象．根据光学规律：反射光线与镜面所成的锐角，和入射光线与镜面所成的锐角大小相等，例如：在图中，有． 完成项目： (1)项目1：如图，已知有两个平面镜镜面与镜面，入射光线先后经镜面，形成反射，记反射光线分别为，． ①若，求的度数． ②若，，，求，之间的数量关系． (2)项目2：如图3，现有三个平面镜，，，入射光线先后经镜面，，反射，反射光线依次为，，，且满足． ①若，，求的度数． ②求，，的数量关系． 题型7.折叠问题 1．如图，四边形中，点、分别在、上，将沿翻折，得，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图所示，将一张长方形纸片沿折叠，点D落在上的点处，点C落在点处．若，则的度数为________度． 3．如图，在中，点、分别是边、上一点，将沿直线折叠，使点与点重合，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，则的周长为__________． 题型8.线段垂直平分线的性质 1．到三角形三个顶点的距离相等的点是这个三角形的（     ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三边垂直平分线的交点 2．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若，，则的长为________．    3．如图，在中，是的垂直平分线，分别交、于点、，连接，，的周长为，求的长． 题型9.线段垂直平分线的判定 1．如图，四边形中，若，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等 2．如图，已知线段与线段外一点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧分别交于点，连接，若，四边形的面积为，则的长为______． 3．请结合图形阅读作法，并将证明“”的过程补充完整． 已知直线和外一点，下面是小明设计的“过点作直线的垂线”的作法： 作法：①在直线上取点，； ②分别以点、为圆心，、为半径作弧，两弧在直线下方交于点； ③作直线． 结论：，且经过点． 证明：连接，，，． 由作法可知， ∵ ，∴点在线段的垂直平分线上； ∵ ，∴点在线段的垂直平分线上；（依据： ） ∴直线是线段的垂直平分线（依据：两点确定一条直线） ∴． 题型10.写出命题的逆命题 1．命题“如果，那么”的逆命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为__________． 3．写出下列命题的逆命题： (1)如果，那么； (2)同角的余角相等； (3)如果，那么； (4)等腰三角形的两个底角相等． 题型11.判断是否为互逆命题 1．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 2．题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______． 3．下面两个命题是互逆命题吗？ （1）如果是整数，那么是有理数； （2）如果是有理数，那么是整数． 题型12.互逆定理 1．关于定理和逆定理，下列说法正确的是（   ） A．定理的逆命题一定是定理 B．定理的逆命题如果正确，就是逆定理 C．每个真命题都有逆定理 D．所有定理都有逆定理 2．定理“等角的补角相等”_________(填“有”或“没有”)逆定理． 3．按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 题型13.作已知线段的垂直平分线 1．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线分别与边、相交于点，连接．若点为的中点，，则的长为（   ）． A．3 B．4 C．5 D．7 2．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，交于点，连接，若，的周长为6，则的值为_____． 3．如图，已知，利用尺规作图法求作边上的中线．（不写作法，保留作图痕迹） 题型14.作垂线(尺规作图) 1．如图，，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线交于点F，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接，若，，则的周长为______． 3．如图，点在的边上，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 题型15.画对称轴 1．如图，给出的虚线是图形的对称轴的是（    ） A．①③⑤ B．②④⑥ C．①②④ D．②⑤⑥ 2．角的对称轴是_________，线段的对称轴是_________． 3．分别画出如图所示图形的对称轴． 题型16.求对称轴条数 1．中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列4个选项中分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材埋壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，有且只有一条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，正五边形的对称轴条数为______条． 3．指出如图所示的图形中各有多少条对称轴，并在各个轴对称图形上画出它们所有的对称轴． ✺巩固测试 一、单选题 1．甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，不属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列四个图形中，对称轴数量最多的是（     ） A． B． C． D． 4．如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，点在的边上，且，则点在某一线段的垂直平分线上．这条线段是（   ） A． B． C． D．不确定 6．如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 二、填空题 7．命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题______． 8．轴对称图形的对称轴___________连结两个对称点的线段． 成轴对称的两个图形是______图形． 9．如图，在中，点、分别在、边上，连接，，与关于所在直线对称．若，则的度数为________． 10．【跨学科·物理】如图，凸透镜的主光轴与平静的水面重合，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示（注：入射光线与水平面的夹角等于反射光线与水平面的夹角，图中的光线经凸透镜折射后与水平面平行），若，则的度数为______． 三、解答题 11．如图，在中，，平分，点在上，． (1)用尺规作，垂足为（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 12．如图，在中，，． (1)求的度数； (2)是线段上一点，连接，将沿折叠，点落在同一平面内的点处，且，求的度数． 13．如图，在中，，点在边上，点在边上，点与点关于直线对称．若，求的度数． 14．解答以下问题 (1)尺规作图，在中，，作点C关于斜边的对称点D，连接，，．(保留作图痕迹，不写作法) (2)若，，求四边形的面积． 15．如图：已知线段，请完成以下任务： (1)用尺规作图法作出线段的垂直平分线（不写作法，保留清晰的作图痕迹）． (2)某同学按照如下步骤完成作图： ①分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在线段的上方交于点； ②保持圆心、不变，更换另一个大于的长度为半径，再次画弧，两弧在线段的上方交于点； ③过、两点作直线． 该同学认为这条直线就是线段的垂直平分线．请判断该同学的结论是否正确，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 图形的轴对称 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.轴对称基础：轴对称图形、两个图形成轴对称的定义、区别与联系 2.轴对称核心性质：对称图形全等、对称轴与对应点连线的位置关系 3.线段垂直平分线：定义、性质定理、判定定理、几何意义、尺规作图 4.轴对称作图：作图形对称轴 5.逆命题与互逆定理：命题、逆命题、互逆定理概念及本节专属互逆定理 6.基础应用：利用轴对称及垂直平分线性质解题、规范作图与证明 ✺学习目标 1.理解轴对称图形、两个图形成轴对称的概念，清晰区分二者的区别与联系，能够准确识别常见轴对称图形并找出其对称轴。 2.熟练掌握轴对称的基本性质，明确对称图形的全等关系，掌握对称轴与对应点、对应线段、对应角的数量及位置关系，能完成基础几何推理与计算。 3.掌握线段垂直平分线的定义、性质定理和判定定理，理解其几何意义，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图方法。 4.掌握轴对称作图方法，能够准确作出图形的对称轴，熟练掌握尺规作图规范。 5.理解命题、逆命题、互逆定理的概念，明晰命题与定理的区别，熟练掌握线段垂直平分线的一对互逆定理，能辨析真假命题。 6.能灵活运用轴对称性质、线段垂直平分线定理，规范完成线段相等证明、角度计算、作图类基础题型，养成严谨的几何解题思维 ✺题型归纳 题型1.轴对称图形的识别 题型2.成轴对称的两个图形的识别 题型3.根据成轴对称图形的特征进行判断 题型4.根据成轴对称图形的特征进行求解 题型5.台球桌面上的轴对称问题 题型6.轴对称中的光线反射问题 题型7.折叠问题 题型8.线段垂直平分线的性质 题型9.线段垂直平分线的判定 题型10.写出命题的逆命题 题型11.判断是否为互逆命题 题型12.互逆定理 题型13.作已知线段的垂直平分线 题型14.作垂线(尺规作图) 题型15.画对称轴 题型16.求对称轴条数 题型17.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 2.两个图形成轴对称：把两个图形沿着某一条直线折叠，如果这两个图形能够完全重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，这条直线为对称轴，折叠后重合的点为对应点（对称点）。 3.区别：轴对称图形是一个图形自身具备对称特征；两个图形成轴对称是两个独立图形之间的对称关系。 4.联系：二者性质完全相同；若把两个成轴对称的图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条直线对称。 5.常见轴对称图形：线段、角、长方形、正方形、圆、等腰梯形等。 知识点二、轴对称 1.定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 2.性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么这两个图形全等，对应线段相等，对应角相等；对称轴是连接任意一对对应点所得线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴，垂直平分图形上任意一对对应点的连线。 3.轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系 对比项目 轴对称图形 两个图形成轴对称 对象数量 一个独立图形 两个独立的图形 对称本质 图形自身两部分折叠后可重合 两个图形沿直线折叠后可互相重合 对称轴数量 至少一条 有且只有一条 区别总结 单个图形的自身特性 两个图形的位置关系 二者联系：① 性质完全一致，均满足轴对称的所有性质；② 将成轴对称的两个图形视为一个整体，就是一个轴对称图形；③ 将轴对称图形沿对称轴拆分为两部分，这两部分关于对称轴成轴对称。 知识点三、线段的垂直平分线 1.定义：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。如下图： . ∵MN⊥AB，且与AB 交于点C，C为AB中点，∴MN是线段AB的垂直平分线。 ★线段的垂直平分线必须满足两个条件：经过线段的中点，垂直于这条线段。两者缺一不可。 2.性质定理：线段垂直平分线上的任意一点，与这条线段两个端点的距离相等 几何语言：∵MN垂直平分AB,∴PA=PB 3.判定定理：在平面内，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：∵PA=PB,∴点P在AB的垂直平分线上。 知识点四、轴对称作图方法 1. 作图形的对称轴：找出图形的一组对应点，连接两点，作出该线段的垂直平分线，即为图形的对称轴。 知识点五、线段垂直平分线的尺规作图及实际应用 1.已知线段AB，求作AB的垂直平分线 作图步骤： (1)分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧在线段AB两侧分别交于C、D两点； (2)作直线CD； (3)所得直线CD即为线段AB的垂直平分线。如下图. 2.利用线段垂直平分线解决实际问题 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，利用此性质可以解决生活中由同一点到几个不同地点距离相等的问题。 知识点六、逆命题与互逆定理 1.命题的组成：任何命题都由题设（条件）和结论两部分组成，一般可写成“如果……，那么……”的形式。 2.逆命题定义：把一个命题的题设和结论互换，得到的新命题就是原命题的逆命题。 ★注意：所有命题都有逆命题，无论原命题真假，都可以互换条件结论得到逆命题。 3.互逆命题：如果一个命题是另一个命题的逆命题，那么这两个命题互为互逆命题。 4.逆定理、互逆定理：若一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理互为互逆定理，其中一个定理是另一个定理的逆定理。 ▲本节专属互逆定理：原定理（性质）：线段垂直平分线上的点，到线段两端点距离相等。 逆定理（判定）：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ✺题型精讲 题型1.轴对称图形的识别 1．下列四个图形中，其中不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、是轴对称图形； D、是轴对称图形． 2．已知直线，垂足为，则图形①与图形______成轴对称．    【答案】② 【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键，根据轴对称图形的定义即可得到答案． 【详解】解：观察图形可知，图形和图形是关于对称的． 故答案为：． 3．下列图形中，哪些是轴对称图形？哪些不是轴对称图形？ （1）（2）（3）（4） 【答案】轴对称图形是（1）和（3）和（4），（2）不是轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形定义：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，逐个判断图形形状． 【详解】解：依据轴对称图形定义： 图形（1）：能找到一条水平对称轴，沿对称轴对折后上下两边完全重合，是轴对称图形； 图形（2）：凹凸图形分布不对称，找不到任何一条直线使对折后两边重合，不是轴对称图形； 图形（3）：存在斜对称轴，沿对称轴折叠两边完全重合，是轴对称图形； 图形（4）：能找到一条水平对称轴，沿对称轴对折后上下两边完全重合，是轴对称图形． 题型2.成轴对称的两个图形的识别 1．如图，线段AC，AD关于直线AB成轴对称，点E，F分别在AC，AD上，且．ED，CF相交于点B．图中关于AB成轴对称的三角形共有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 根据轴对称的性质结合图形写出成轴对称的三角形即可． 【详解】解：关于成轴对称的三角形有：和，和，和，和，共对． 故选：D． 2．下列关于轴对称的说法：①一个轴对称图形可以有多条对称轴；②成轴对称的两个图形一定全等；③若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧；④若点A，B关于直线对称，则且平分．其中正确的是_________．（填序号） 【答案】①② 【分析】根据轴对称图形的性质逐项判断即可． 【详解】解：①一个轴对称图形可以有多条对称轴，正确； ②成轴对称的两个图形一定全等，正确； ③若两个图形关于某直线对称，它们的对应点可能都在对称轴上，原说法错误； ④若点A，B关于直线对称，则且平分，原说法错误； 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，熟练掌握基础知识是解题的关键． 3．如图，和关于直线成轴对称，请写出对应角和对应线段． 【答案】对应角是和和和．对应线段是和和和 【分析】本题考查了成轴对称图形的定义，熟练掌握成轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后与另一个图形能够互相重合，那么这两个图形就叫做成轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的角叫对应角，能够重合的线段叫对应线段． 【详解】解：对应角是和和和．对应线段是和和和． 题型3.根据成轴对称图形的特征进行判断 1．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不正确的是（     ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】根据成轴对称的两个图形全等，对应点的连线被对称轴垂直平分，逐一判断即可． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，对应点的连线被对称轴垂直平分， ∴，，，故选项A，C，D正确； 与不一定平行，故选项B不正确． 2．如图，将一张纸对折后用针扎出一系列小孔，展开后得到成轴对称的两个图形，的对应线段是________，的对应角是________． 【答案】 【分析】此题考查了轴对称性质，根据轴对称性质求解即可． 【详解】根据题意得，的对应线段是，的对应角是． 故答案为：，． 3．如图，与关于直线对称，与的交点在直线上． (1)指出图中的两对对称点； (2)指出图中相等的线段； (3)指出图中其他关于直线对称的三角形． 【答案】(1)和和和和（任写两对即可）． (2)． (3)和，和． 【分析】本题考查轴对称，掌握轴对称的知识点是解题的关键． （1）根据轴对称的定义，即可解答； （2）根据轴对称的定义，即可解答； （3）根据轴对称的定义，即可解答． 【详解】（1）解：对称点：和和和和（任写两对即可） （2）解：相等的线段：． （3）解：和，和都关于直线对称． 题型4.根据成轴对称图形的特征进行求解 1．如图，点C是内的一点，点，分别是点C关于的对称点，交于点D，交于点E．若，则的周长是（     ） A．12 B．13 C．15 D．18 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质可得，再由三角形的周长公式可得答案． 【详解】解：由轴对称的性质可得， ∴的周长． 2．网格小正方形边长为1，点A、B关于中间竖直线对称，点C在B正上方6格，则点C的对称点与A的竖直距离为_________． 【答案】6 【详解】解：由对称性可知，点C的对称点与A的竖直距离等于点与点的竖直距离， ∵点C在B正上方6格， ∴点C的对称点与A的竖直距离为6. 3．如图，已知与关于直线对称，直线分别与、交于点，，，，，． (1)求的长． (2)求的面积． (3)求的面积． 【答案】(1)5 (2)12 (3)18 【分析】（1）先得出，再求出的长，由此即可得； （2）先得出，再根据三角形的面积公式计算即可； （3）先求出，再根据的边上的高与的边上的高相等可得的面积与的面积之间的关系，由此即可得． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称，且， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵与关于直线对称， ∴，即， ∵，， ∴的面积为． （3）解：由（1）已得：，，的面积为12， ∴， 又∵的边上的高与的边上的高相等， ∴的面积为． 题型5.台球桌面上的轴对称问题 1．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 则球最后落入的球袋是2号袋． 故选：B． 2．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为.则点的坐标是______.    【答案】 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每次反弹为一个循环组依次循环，用除以，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，    根据图形可以得到：每次反弹为一个循环组依次循环，经过次反弹后动点回到出发点，， ， 当点第次碰到矩形的边时为第个循环组的第次反弹，点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、点的坐标的规律；作出图形，观察出每次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 3．如图，汾河岸边有A，B两个住宅小区，恒富然气公司想在汾河边L上修建一个天然气站，问天然气站位置选在什么地方时，才能使管道铺设用材最少？（写出画法，并保留痕迹） 【答案】见解析． 【分析】直接利用轴对称求最短路线方法得出天然气站的位置． 【详解】如图所示：首先作出A点关于汾河边L的对称点A′，再连接A′B，A′B与汾河边L的交点处就是P处，即天然气站位置． ． 【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，在直线L上的同侧有两个点A，B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 题型6.轴对称中的光线反射问题 1．如图，一束光线射向一个水平镜面后在点处被反射，请借助量角器或者直尺判断反射光线一定会经过（     ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据入射线与反射线的关系，作出入射角等于反射角即可． 【详解】解：作，在右侧量出等于且以为边，N为顶点的角即可．    2．光线从如图所示的角度照射到平面镜上，然后在平面镜之间来回反射．已知，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称，三角形内角和定理，根据镜面反射原理，入射角等于反射角得出，，，根据三角形内角和是，即可求解． 【详解】解：如图：分别过入射点做垂线，根据结合反射定律可知，，， 故，，， ∴， ， ∴． 故答案为：． 3．根据以下素材，完成下面项目． 项目任务单：《光的镜面反射》 项目 项目内容 图形 素材 光线照射到平面镜上会发生光的反射现象．根据光学规律：反射光线与镜面所成的锐角，和入射光线与镜面所成的锐角大小相等，例如：在图中，有． 完成项目： (1)项目1：如图，已知有两个平面镜镜面与镜面，入射光线先后经镜面，形成反射，记反射光线分别为，． ①若，求的度数． ②若，，，求，之间的数量关系． (2)项目2：如图3，现有三个平面镜，，，入射光线先后经镜面，，反射，反射光线依次为，，，且满足． ①若，，求的度数． ②求，，的数量关系． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】（1）①根据光的反射规律得，结合平角的定义即可解答； ②由反射规律得，， 结合平行线的性质即可解答； （2）①由反射规律得，， 结合平角的定义即可求出，， 过点作，根据和平行线的性质得出即可求解； ②设，，由反射规律得，， 则，，同①可得，再表示出，即可解答； 【详解】（1）解：①根据光的反射规律得：， ∵， ∴； ②由反射规律得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得； （2）解：①由反射规律得：，， ∴，， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴； ②设，， 由反射规律得：，， ∴，， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵，， ∴（或等价形式等也正确）． 题型7.折叠问题 1．如图，四边形中，点、分别在、上，将沿翻折，得，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据翻折变换的性质、平行线的性质以及多边形的内角和进行计算即可． 【详解】解：观察图形可知， 由翻折变换可知， ， ， ， ， 在四边形中，， ． 2．如图所示，将一张长方形纸片沿折叠，点D落在上的点处，点C落在点处．若，则的度数为________度． 【答案】60 【分析】由平行线的性质和邻补角互补求出的度数，再由折叠的性质求出的度数，据此根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． 3．如图，在中，点、分别是边、上一点，将沿直线折叠，使点与点重合，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，则的周长为__________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形内角和定理得，由折叠的性质得，即可求解； （2）由折叠的性质得，将的周长转化为即可求解． 【详解】（1）解：， 由折叠的性质得：， ∴． （2）解：由折叠的性质得：， 的周长． 题型8.线段垂直平分线的性质 1．到三角形三个顶点的距离相等的点是这个三角形的（     ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】D 【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所对边的垂直平分线上， 因此到三角形三个顶点距离都相等的点，是这个三角形三边垂直平分线的交点. 2．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若，，则的长为________．    【答案】6 【分析】先求出，再根据线段的性质可得． 【详解】解：∵，， ∴， 又是的垂直平分线， ∴． 3．如图，在中，是的垂直平分线，分别交、于点、，连接，，的周长为，求的长． 【答案】的长为 【分析】根据是的垂直平分线，可得，再借助的周长为，可求得，据此求解即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴． 题型9.线段垂直平分线的判定 1．如图，四边形中，若，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等 【答案】B 【分析】连接，交于点，利用线段垂直平分线的判定定理即可得出结论. 【详解】解：连接，交于点， ∵， ∴， ∴正确，错误. 2．如图，已知线段与线段外一点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧分别交于点，连接，若，四边形的面积为，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，由题意得，， 进而根据线段垂直平分线的判定得到是的垂直平分线，再根据得到，代入已知计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，设与相交于点， 由题意知，，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴ ， ∵，四边形的面积为， ∴， 解得， 故答案为：． 3．请结合图形阅读作法，并将证明“”的过程补充完整． 已知直线和外一点，下面是小明设计的“过点作直线的垂线”的作法： 作法：①在直线上取点，； ②分别以点、为圆心，、为半径作弧，两弧在直线下方交于点； ③作直线． 结论：，且经过点． 证明：连接，，，． 由作法可知， ∵ ，∴点在线段的垂直平分线上； ∵ ，∴点在线段的垂直平分线上；（依据： ） ∴直线是线段的垂直平分线（依据：两点确定一条直线） ∴． 【答案】，，到线段两端点距离相等的点在这条线段垂直平分线上 【分析】先根据同圆的半径相等可知，，再根据到线段两端点距离相等的点在这条线段垂直平分线上可得点都在线段的垂直平分线上，然后根据两点确定一条直线可得直线是线段的垂直平分线，由此即可得证． 【详解】证明：连接，，，． 由作法可知，∵， ∴点在线段的垂直平分线上； ∵， ∴点在线段的垂直平分线上；（依据：到线段两端点距离相等的点在这条线段垂直平分线上） ∴直线是线段的垂直平分线，（依据：两点确定一条直线） ∴． 题型10.写出命题的逆命题 1．命题“如果，那么”的逆命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题． 【详解】解：由题意得，原命题的逆命题为如果，那么． 2．已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为__________． 【答案】 对应边相等的两个三角形全等 【分析】本题考查逆命题的概念，找出原命题的条件和结论，将条件和结论互换，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“全等三角形对应边相等”中，条件为“两个三角形全等”，结论为“两个三角形对应边相等”，将条件和结论互换，得到逆命题为：对应边相等的两个三角形全等. 故答案为对应边相等的两个三角形全等． 3．写出下列命题的逆命题： (1)如果，那么； (2)同角的余角相等； (3)如果，那么； (4)等腰三角形的两个底角相等． 【答案】(1)如果，那么 (2)相等的两个角是同一个角的余角 (3)如果，那么 (4)有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】本题考查了逆命题的概念，熟练掌握逆命题的概念是解决本题的关键． （1）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解； （2）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解； （3）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解； （4）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解． 【详解】（1）解：如果，那么的逆命题为：如果，那么； （2）解：同角的余角相等的逆命题为：相等的两个角是同一个角的余角； （3）解：如果，那么的逆命题为：如果，那么； （4）解：等腰三角形的两个底角相等的逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 题型11.判断是否为互逆命题 1．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 2．题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______． 【答案】 互逆命题 逆命题 【解析】略 3．下面两个命题是互逆命题吗？ （1）如果是整数，那么是有理数； （2）如果是有理数，那么是整数． 【答案】是互逆命题 【分析】互逆命题是指两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件．‌ 【详解】解：是互逆命题，理由如下： 命题（1）的条件为“是整数”，结论为“是有理数”； 命题（2）的条件为“是有理数”，结论为“是整数”； ∴这两个命题是互逆命题． 题型12.互逆定理 1．关于定理和逆定理，下列说法正确的是（   ） A．定理的逆命题一定是定理 B．定理的逆命题如果正确，就是逆定理 C．每个真命题都有逆定理 D．所有定理都有逆定理 【答案】B 【分析】本题考查定理与逆定理的概念．定理的逆命题不一定为真，因此不一定是定理；只有逆命题为真时，才是逆定理． 【详解】解：∵定理的逆命题不一定为真，∴ A错误； ∵定理的逆命题如果为真，就是逆定理，∴ B正确； ∵真命题的逆命题不一定为真，∴ 不一定有逆定理，∴ C错误； ∵并不是所有的定理都有逆定理，∴ D错误， 故选B． 2．定理“等角的补角相等”_________(填“有”或“没有”)逆定理． 【答案】有 【分析】本题考查了逆定理．原定理的逆命题成立，则原定理有逆定理，否则没有；定理“等角的补角相等”的逆命题是“补角相等的两个角相等”．根据等式的性质即可得出其逆命题成立，即可求解． 【详解】解：定理“等角的补角相等”的逆命题是“补角相等的两个角相等”． 设两个角分别为和，它们的补角分别为和． 若补角相等，即，根据等式的性质，可得， 因此逆命题成立．故有逆定理． 故答案为：有 3．按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【答案】(1)①如果两个角是内错角，那么这两个角相等；②如果，那么 (2)不是 【分析】本题考查原命题和逆命题的相关知识，关键是明确逆命题的概念． （1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设，进而求解即可； （2）根据逆定理的性质求解即可． 【详解】（1）解：①“相等的角是内错角”的逆命题；如果两个角是内错角，那么这两个角相等． ②“如果，那么”的逆命题；如果，那么． （2）解：因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题， 故（1）中①的原命题和逆命题不是互为逆定理． 题型13.作已知线段的垂直平分线 1．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线分别与边、相交于点，连接．若点为的中点，，则的长为（   ）． A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【分析】由作图步骤可知直线是线段的垂直平分线，根据垂直平分线性质得又为中点，结合长度求出，即可得到的长． 【详解】解：由尺规作图的方法可得，直线是线段的垂直平分线， 根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等， ． 点为的中点，， ， ． 2．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，交于点，连接，若，的周长为6，则的值为_____． 【答案】4 【分析】由尺规作图可知直线是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得，进而将的周长转化为，代入数据即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线， ， 的周长为， ， ， 即， ， ， ． 3．如图，已知，利用尺规作图法求作边上的中线．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【分析】依据尺规作垂直平分线得到中点，连接，就是所求中线． 【详解】解：分别以，为圆心，选取大于的相同长度为半径画弧，弧线分别在线段上下方各产生一个交点； 过上两个交点画出直线，直线与交于点，此时是中点； 连接，线段即为边上的中线． 题型14.作垂线(尺规作图) 1．如图，，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线交于点F，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图过程可知，直线，然后通过三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由作图过程可知，直线， ． ， ， ． 2．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接，若，，则的周长为______． 【答案】 【分析】由作图流程可得是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得，结合等量代换可知，的周长即为与之和． 【详解】解：由尺规作图可知，是的垂直平分线， ∵点在上， ∴， ∴的周长为． 3．如图，点在的边上，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【分析】连接，作线段的垂直平分线，交于点，再连接即可． 【详解】略． 题型15.画对称轴 1．如图，给出的虚线是图形的对称轴的是（    ） A．①③⑤ B．②④⑥ C．①②④ D．②⑤⑥ 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的的定义，如果把一个图形沿着一条直线折起来，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴，据此解答即可求解，掌握轴对称图形的的定义是解题的关键． 【详解】解：由图可得，图形的对称轴是②④⑥， 故选：． 2．角的对称轴是_________，线段的对称轴是_________． 【答案】 角平分线所在的直线 垂直平分线 【分析】分别利用各图形，结合对称轴的定义得出答案． 【详解】解：角的对称轴是角平分线所在的直线，线段的对称轴是垂直平分线， 故答案为：角平分线所在的直线，垂直平分线． 【点睛】本题考查了轴对称图形，得出其对称轴位置是解题的关键． 3．分别画出如图所示图形的对称轴． 【答案】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则这条直线就是该轴对称图形的对称轴，根据轴对称的定义画出图形即可． 【详解】略 题型16.求对称轴条数 1．中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列4个选项中分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材埋壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，有且只有一条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和对称轴的定义，逐一分析选项． 【详解】解：选项A（圆中方形）：该图形是轴对称图形，共有4条对称轴，不符合题意； 选项B（方形圆径）：该图形是轴对称图形，共有4条对称轴，不符合题意； 选项C（圆材埋壁）：该图形是轴对称图形，只有过图形中点的水平1条对称轴，符合题意； 选项D（勾股容圆）：该图形的直角三角形两条直角边长度不相等，不是轴对称图象，不符合题意． 2．如图，正五边形的对称轴条数为______条． 【答案】 5 【分析】正五边形的对称轴为其顶点与该顶点对边中点的连线所在的直线． 【详解】解：如图所示，正五边形有5条对称轴． 3．指出如图所示的图形中各有多少条对称轴，并在各个轴对称图形上画出它们所有的对称轴． 【答案】对称轴分别有：2条，1条，1条；图见详解． 【分析】此题主要考查了轴对称变换，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 直接利用轴对称图形的性质分别分析得出答案． 【详解】图（1）对称轴2条， 作图如下： ； 图（2）对称轴1条， 作图如下： ； 图（3）对称轴1条， 作图如下： ． ✺巩固测试 一、单选题 1．甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，不属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的定义“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”进行排除选项即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故符合题意； B、是轴对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，故不符合题意． 2．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质逐一判断即可． 【详解】解：与关于直线对称， ，，故A、C、D选项正确，不符合题意， 不一定成立，故B选项错误，符合题意． 3．下列四个图形中，对称轴数量最多的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念，分别找出各图形的对称轴条数，然后进行比较即可得出答案． 【详解】解：A、该图形是等边三角形结构，有条对称轴； B、该图形不是轴对称图形，有条对称轴； C、该图形是正五边形与五角星的组合，有条对称轴； D、该图形是圆与正六边形的组合，有条对称轴， 对称轴数量最多的是D． 4．如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由长方形的性质可知，由此可得出，再根据折叠的性质求得图2中，由此即可算出图3中度数． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴， ． 由折叠的性质可知： 图2中，， ∴， ∴图3中，． 5．如图，点在的边上，且，则点在某一线段的垂直平分线上．这条线段是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，熟练掌握该知识点是解题的关键． 由，，得到，根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到结论． 【详解】解：， 而， ， ∴点在的垂直平分线上． 故选：B． 6．如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】A 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P， ∵2022÷6=337， ∴当点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的最后一次反弹， ∴第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点P， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 二、填空题 7．命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题______． 【答案】两锐角相等的三角形是直角三角形 【分析】先确定原命题的条件与结论，再将条件和结论互换即可得到原命题的逆命题． 【详解】原命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题为：两个锐角相等的三角形是直角三角形． 8．轴对称图形的对称轴___________连结两个对称点的线段． 成轴对称的两个图形是______图形． 【答案】 垂直且平分 全等 【分析】根据轴对称图形的性质，对称轴是对称点所连线段的垂直平分线，以及成轴对称的两个图形是全等图形，进行作答即可． 【详解】解：轴对称图形的对称轴垂直且平分连结两个对称点的线段；成轴对称的两个图形是全等图形． 故答案为：垂直且平分；全等． 【点睛】本题考查轴对称图形以及成轴对称的两个图形的性质．熟练掌握对称轴是对称点所连线段的垂直平分线，成轴对称的两个图形是全等图形，是解题的关键． 9．如图，在中，点、分别在、边上，连接，，与关于所在直线对称．若，则的度数为________． 【答案】 45 【详解】解：∵，， ∴， ∵与关于所在直线对称， ∴. 10．【跨学科·物理】如图，凸透镜的主光轴与平静的水面重合，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示（注：入射光线与水平面的夹角等于反射光线与水平面的夹角，图中的光线经凸透镜折射后与水平面平行），若，则的度数为______． 【答案】 【分析】利用光的反射规律和平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， 根据光的反射规律可得， ∵， ∴． 三、解答题 11．如图，在中，，平分，点在上，． (1)用尺规作，垂足为（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2)证明：平分，，于， ， ， ， ． 【分析】（1）根据尺规作垂直平分线的方法求解即可； （2）根据角平分线的性质可求得，进而可证得，即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 12．如图，在中，，． (1)求的度数； (2)是线段上一点，连接，将沿折叠，点落在同一平面内的点处，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理计算即可得出结果； （2）由折叠可知，由平行线的性质可得，求出，再由折叠的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：， ，， ； （2）解：由折叠可知．   ∵， ∴．   ∴．   由折叠可知． 13．如图，在中，，点在边上，点在边上，点与点关于直线对称．若，求的度数． 【答案】 【详解】在中，，， ， 点在边上，点在边上，点与点关于直线对称， ， ， ． 14．解答以下问题 (1)尺规作图，在中，，作点C关于斜边的对称点D，连接，，．(保留作图痕迹，不写作法) (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)如图所示：点D是点C关于斜边的对称点，，，为所求作线段， (2) 【分析】（1）利用作关于直线的对称三角形，得到点D的位置，再连线即可； （2）利用四边形的面积等于的面积的2倍求面积． 【详解】（1）证明：由作图可知：，， 故点和点都在的垂直平分线上，即垂直平分， ∴点D是点C关于斜边的对称点； （2）解：由作图可知：，， 又∵， ∴， ∴四边形的面积等于的面积的2倍， ∴四边形的面积为：． 15．如图：已知线段，请完成以下任务： (1)用尺规作图法作出线段的垂直平分线（不写作法，保留清晰的作图痕迹）． (2)某同学按照如下步骤完成作图： ①分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在线段的上方交于点； ②保持圆心、不变，更换另一个大于的长度为半径，再次画弧，两弧在线段的上方交于点； ③过、两点作直线． 该同学认为这条直线就是线段的垂直平分线．请判断该同学的结论是否正确，并说明理由． 【答案】(1)解：线段的垂直平分线，如图所示： (2)解：正确， 理由如下： 连接和，如图所示： ，， 在和中， ， ， 在和中， ， ，， ， ，即， ， 直线就是线段的垂直平分线． 【分析】（1）分别以为圆心，大于的长度为半径画弧交于两点，过这两点作直线即可作出线段的垂直平分线； （2）连接和，由尺规作图得到，，由全等三角形的判定与性质得到、，结合垂直平分线定义即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $