等比数列的通项公式 专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦等比数列通项公式，通过基础计算、性质应用、递推构造及跨科综合，系统提炼公式法、方程思想、构造法等解题方法，形成从定义到综合应用的完整知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-5/填空8-13|基本公式法、方程思想|定义→通项公式→前n项和公式| |性质综合|多选6-7/填空14-15|性质法、分类讨论|等比性质→与等差数列综合| |递推构造|解答16-22|构造法、错位相减/分组求和|递推关系→等比数列证明| |跨科综合|解答23-25|解析几何与数列结合|数列与解析几何综合应用|

2027届高考数学一轮复习作业——等比数列的通项公式 一、单选题 1．已知为等比数列的前项和，且公比，．若将除以所得余数记为，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．5 2．某公司计划用10年时间（从2026年初到2036年初）完成产能升级，若初始产能为，每年产能的增长率为定值，2030年初产能为，则2036年初的产能是（     ） A． B． C． D． 3．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，则数列的公比为（   ） A．2 B． C． D． 4．已知各项均为正数的等比数列的前项积为，且，成立，则(     ) A． B． C． D． 5．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，成等差数列，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 6．在等差数列中，公差为，且，，是公比为的等比数列，，则（   ） A． B． C． D．数列的前1000项和大于 7．已知等差数列的前项和为，各项均为正数的等比数列的前项和为，则下列说法正确的有（   ） A．对任意，，数列为等差数列 B．对任意，，数列为等比数列 C．存在无穷数列，，使得数列为等比数列 D．存在无穷数列，，使得数列为等差数列 三、填空题 8．已知等比数列，公比，且，则______． 9．设数列的前项和为，满足．若数列中存在连续三项成等比数列，则实数的取值集合为____． 10．已知等比数列中，，则______；又数列满足，，若为数列的前项和，那么______． 11．等比数列中，，，其前项和为，若是，的等差中项，则的值为________． 12．已知数列满足，，则数列前2026项的和为__________． 13．已知为等比数列，，，则__________． 14．设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列．则的最大值为__________． 15．已知为等比数列的前 n项和， 若，则 ______. 四、解答题 16．已知数列的前项和为，且 ，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)若满足，求的前项和. 17．已知等比数列的公比为q（且），等差数列的公差为d，满足条件：，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 18．在数列中，，，． (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)求的前n项和． 19．黑板上先写有两个数1，1，记为第1行.由第n行得到第行的规则如下：保持原有各数及顺序不变，并在每两个相邻数之间插入这两个数的和.例如：前三行为1，1→1，2，1→1，3，2，3，1.设第n行所有数之和为. (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)记第n行中位于偶数位置的所有数之和为，求的通项公式. 20．在数列中， ， ， ， ． (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)求． 21．已知等差数列的前项和为，，，，其中为常数.数列满足，，. (1)求数列和的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：； (3)集合，.将中的所有元素从小到大依次排列构成数列，记为数列的前项和，求使得成立的的最小值. 22．已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 23．已知椭圆仅经过点，，中的两个． (1)求C的方程； (2)椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点．已知C的左、右焦点分别为，，点在C上且在第二象限内，从发出的光线经过C的反射，反射光线所在直线与的另一个交点为；记直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，如此交替进行，得到点列． （ⅰ）设直线的斜率为，证明：数列是等比数列，并求出其公比； （ⅱ）设的面积为，证明：． 24．已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 25．将抛物线列记为，其焦点列为，过焦点的直线与抛物线交于，两点，点在x轴上方，点在x轴下方，点O为坐标原点，连接，并延长分别与交于，两点． (1)已知直线的斜率，求直线的斜率； (2)已知直线的倾斜角为，且，记的面积为． （ⅰ）求数列的前n项和； （ⅱ）求所有满足方程的正整数对． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 《2027届高考数学一轮复习作业——等比数列的通项公式》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B B A B C BC AC 1．B 【分析】先根据等比数列前项和公式求出，从而得到的通项公式，再根据二项式定理的展开式即可求出． 【详解】由等比数列公比， 则， 解得，所以， 又， 又， 则不含有因子的只有最后一项， 所以除以7的余数为1，则除以7的余数为2，即． 2．B 【详解】设初始产能， 从2026年初到2030年初，经过了年，此时产能为， 所以两边约去， 得， 从2026年初到2036年初，经过了年，此时的产能为 ， 所以答案是B. 3．A 【详解】设等比数列的公比为.根据题意可得， 解得或.因为各项均为正数，所以. 4．B 【分析】利用等比数列前项积的定义，结合已知条件建立关于首项和公比的方程，求解后计算目标表达式的值. 【详解】设等比数列的公比为，由前项积定义，， 则，，，，. 由，得，两边约去，得. 将代入，得，即， 因，两边除以，得. 由，，故. 将代入，得，即， 因式分解得.因， 三次式，故，则. ，， 故. 故选：B. 5．C 【分析】利用等差数列中项性质列方程，结合等比数列通项公式求出公比，再化简代入计算结果. 【详解】设等比数列的公比为，由题意知，（）， 因为成等差数列，由等差中项性质可得， 由于，，代入上式得： ， 由于，整理得： 解得或， 又，故舍去，得，则， 将代入得. 6．BC 【分析】根据等差数列及等比数列的性质求出，，求出，即可判断ABC；求出的通项公式，进而得到，结合裂项相消法求出数列的前1000项和，利用放缩法与比较，即可判断D. 【详解】由题意知，，，. 因为，，是公比为的等比数列，所以，，， 即，， 解得，，故B正确. ，故A错误. ，，，故C正确. 因为为等差数列，所以. 所以， 则数列的前项和 . ，故D错误. 7．AC 【分析】A利用等差数列的定义判断；B举反例；C举例；D利用反证法判断是否为关于的一次函数. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则， 故数列为等差数列，故A正确； 取，则，前项分别为， 显然此时数列不为等比数列，故B错误； 取，则，则， 此时数列为等比数列，故C正确； 若存在，，使得数列为等差数列， 则是关于的一次函数， 若，则， 显然不可能是关于的一次函数； 若， 则， 显然不可能是关于的一次函数； 故不存在，，使得数列为等差数列，故D错误. 8．256 【分析】根据题意，得到，，成等比，且公比为，结合等比数列的性质，即可求解. 【详解】因为等比数列中，且公比， 可得，，成等比，且公比为， 又因为，所以可得， 可得． 9． 【详解】由得， 当时，． 当时，，也满足． 因此是公差为2的等差数列．若存在连续三项成等比数列， 设这三项为，，． 则应满足，矛盾． 故不存在这样的实数，取值集合为． 10． 【分析】①根据等比数列的性质以及即可求出；②通过变形，可得到数列是一个周期数列，然后通过计算每一个周期内的和，从而求出数列的前项的和. 【详解】①已知数列是等比数列，设数列的首项为，公比为， 由于，则有，解得， 所以； ②由于数列满足，，则有， 因此，，， 说明数列是一个以为周期的周期数列，且一个周期内的项为， 设数列的通项公式为， 由于数列是一个以为周期的周期数列，将数列按每项为一组进行分组求和， 对于第组，即，有， 对应的的值为，，， 则第组的和为， 因此. 11．63 【详解】设等比数列的公比为，由，得， 由及是，的等差中项，得，则， 所以. 12． 【分析】变形可知数列是以首项为1，公比为2的等比数列，结合等比数列通项公式可得，利用裂项相消法运算求解. 【详解】因为，即， 且，可知数列是以首项为1，公比为2的等比数列， 则，可得， 所以数列前2026项的和为. 13． 【详解】设数列的公比为，则，则. 14． 【分析】由前项和公式推出每连续三项的和. 将连续9项按起始位置模3分类，每类中利用三项块和等于得到关于公比的比例关系，通过相邻块和之比解得的上界，即可取得最大值. 【详解】令，由题意得， 因此每个三项块的和为. 设这9项为，记. 由于，且完整三项块和均为正， 下面按除以3的余数讨论. 若，这9项正好包含三个完整三项块， 得，，， 于是且，矛盾，故这种起点不存在. 若，其中两个完整三项块为第块，第块， 得，，所以. 若，其中两个完整三项块为第块，第块， 得，，所以. 综上，所以，即的最大值为. 15．21 【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式逐项求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式可得 ， ， 因为数列为等比数列， 所以有， 所以有，即. 又因为 所以，且 所以 16．(1)，； (2) 【分析】（1）根据与的关系可求数列的通项公式，代入可得数列的通项公式； （2）由（1）可得，根据等差数列、等比数列前项和公式计算求解即可. 【详解】（1）已知数列的前项和， 当时，，解得， 当时，，即，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故， 所以； （2）由（1）可得， 所以数列奇数项是以为首项，为公差的等差数列， 偶数项是以为首项，为公比的等比数列， 数列的前项，包含个奇数项，和个偶数项， 所以. 17．(1)， (2) 【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程，结合且解出、的值，即可得出数列、的通项公式； （2）利用分组求和法可求得的表达式. 【详解】（1）由于等比数列的通项公式：且，所以， 故，因为且，所以，所以， 因为数列是等差数列，公差为， 所以，故，所以， 所以， 因此等比数列通项公式为，等差数列的通项公式为. （2）因为，根据题意得：， 由（1）得，. 故. 18．(1)由题意得，即，因此数列是以为首项，为公比的等比数列． . (2) 【分析】（1）由递推关系构造等比数列即可证明，结合等比数列的通项公式即可求得的通项公式. （2）使用分组求和分别求出等比数列的前项和与常数的前项和，将其相加即可. 【详解】（1）即，所以. （2）由上知， 则 . 19．(1)证明：由第行得到第行时，原有各数及顺序保持不变，并在每两个相邻数之间插入这两个数的和，因为每一行首尾均为1，所以第行所有相邻两数之和的总和为， 于是，即， 又，所以，故数列是首项为1，公比为3的等比数列， 从而，即. (2) 【分析】（1）通过分析第行到第行的和的递推关系，构造出，证明是等比数列，进而求出的通项； （2）先利用第行偶数位置数的来源，建立与的关系，再代入的通项，分和得到的分段通项. 【详解】（1）略 （2）当时，第1行为1，1，所以. 当时，第行偶数位置上的数正好是由第行相邻两数相加插入得到的数，所以. 由，得. 因此的通项公式为 20．(1)因为 ， 所以数列是以 为首项，为公比的等比数列， 所以 ，即 ； (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义，结合等比数列的通项公式进行运算证明即可； （2）结合等比数列前项和公式，根据分组求和法进行求解即可. 【详解】（1）略. （2）由（1）知， 所以. 21．(1)， (2)由（1）得， 所以，① ，② ①②，得， 所以. (3) 【分析】（1）利用和等差数列的定义求出数列的通项公式，再分奇偶项根据等比数列的定义求出数列的通项公式即可； （2）利用错位相减求和可得答案； （3）分、、讨论求出，得不等式，再解不等式可得答案. 【详解】（1）由题意，， ， 两式相减，得， 因为，所以， 由题意，得，，可得， 又，所以 ，又为等差数列， 所以，解得， 所以，故公差为， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以． 因为， ，， 所以数列的奇数项构成的数列是首项为公比为的等比数列， 所以， 令，则，为奇数； 数列的偶数项构成的数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 令，则，为偶数． 综上所述，. （2）略. （3）当 ， ，且数列的前项中有项数列中的项时， ， 由，得 ，解得 ，故 ， 故当 ，且 ， ，时，恒成立. 当 ，时， ， 由 ，解得，故 ， 故当 ，且 ，，，时，恒成立． 当时， ， 由，得，即 ， 所以，所以，即 ， 故当 ，且时， 恒成立， 综上，当 时，恒成立． 当 时，， 当 时，， 当 时，， 当 时，设 ， ， 恒成立， 即成立， 同理，当 时，恒成立， 综上， 是使成立的最小， 这时， 且 ，解得 ， 所以 ， 所以满足条件的的最小值为． 22．(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件可推出是公比为3的等比数列，进而求出的通项公式 （2）利用错位相减法即可求出的前项和. 【详解】（1）已知，即， 所以是以1为首项，公比为3的等比数列， 故， 因此，. （2），两边同乘3， 可得， 相减得： ， 故. 23．(1) (2)（ⅰ） 设直线l的方程为，l交C于，， 联立可得，化简可得， 由可得， 根据韦达定理可得，， 直线，的斜率之积为 ， 因为直线经过右焦点，所以， 因为直线经过左焦点，所以， 所以是定值，故数列是公比为4的等比数列． （ⅱ）依题意得直线的方程为， 所以的纵坐标， 因为，所以， 因为单调递增，， 所以，即， 因为，所以. 【分析】（1）根据椭圆的性质判断经过的点，代入方程解得参数的值，从而得到椭圆的方程； （2）（i）通过直线方程和椭圆方程联立，联立后的二次函数的根的判别式要大于零，结合韦达定理得到直线斜率之间的比值为定值，从而证明数列为等比数列 （ii）根据直线方程得到点的纵坐标，构建辅助函数，根据函数的单调性来证明不等式成立. 【详解】（1）检验可知，点，不可能同时在椭圆上， 若椭圆经过，，则，此时不在椭圆上， 所以C经过点，，代入C的方程可得，解得， 所以C的方程为. （2）（i）略 （ii）略 24．(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）通过基本量计算即可求得通项公式； （2）（i）分析和项的特征，结合集合的定义即可得解；（ii）利用分组求和法和错位相减法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为， 所以，即，解得或（公比不能为0，舍去）， 所以 （2）（i）由（1）知为偶数，为奇数，所以数列和没有相同项， 根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于项组成， 小于的正偶数有个，由得，， 所以数列中小于等于的项有个，中小于等于的项有个， 所以. （ii）当时，中小于等于的项有个， 又为偶数时，中小于等于的项有个，为奇数时，中小于等于的项有个， 所以， 所以， 从到共有项， 又为奇数时， 所以 ， 所以 令①， 则②， ①-②得 ， 所以， 所以 25．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）通过直线与抛物线联立求出交点坐标，再利用直线与抛物线的交点规律推导出后续点的坐标，最终计算出直线斜率，展现了解析几何中联立方程、坐标递推的常规解题思路． （2）（i）结合抛物线定义求出焦半径与点到直线的距离，得到三角形面积，再通过错位相减法求解数列的前项和，综合考查了解析几何与数列求和的核心知识． （ii)将方程转化为指数形式，利用“2的幂次的差为14”的约束条件，通过因数分解与奇偶性分析，最终求出满足条件的正整数对，体现了数论思想在数列方程中的巧妙应用． 【详解】（1）抛物线的焦点， 直线过，斜率为，则方程为， 由，得，解得，， 故，， 直线的方程为，直线的方程为， 分别与联立可得，， 所以，直线的斜率． （2）（ⅰ）由（1）知直线与的斜率相等， ∵直线的倾斜角为，∴直线的倾斜角为，且， 由抛物线的定义知，， ∴， 又点到直线的距离， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． （ⅱ）方程，可化为， 即， 左边是2的幂，所以右边也要是2的幂， 设，，其中，且， 所以，， 即， 要使等式成立，只能，， ∴，， 由，，得，， 所以，满足方程的正整数对只有一个为． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $