25.2.1—25.2.3 降次——解一元二次方程同步练习 2025-2026学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学人教版九年级上册“降次——解一元二次方程”同步练，以三层递进设计实现从基础运算到综合应用的知识巩固，培养运算能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|直接开平方法、配方变形、求根公式等单一知识点|选择/填空/基础解答结合，强化概念识记与基础运算，如直接开平方法解方程| |能力提升|解法择优、二次项系数不为1的配方、判别式应用|综合题型为主，突出解法优化与易错点，如含参数方程根的判别| |拔高拓展|公式推导、含参方程根的限定条件、多解法综合|探究性解答题，培养逻辑推理与创新意识，如配方法推导求根公式|

2026—2027学年度九年级数学（人教版）上册·同步练习 第二十五章一元二次方程 25.2.1—25.2.3 降次——解一元二次方程 一、基础巩固 【考查要点：直接开平方法基础运算、标准配方变形、求根公式识记、基础因式分解、解法择优、判别式基础判断】 1. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 无解 2. 用直接开平方法解方程，所得解为（ ） A. B. C. 或 D. 3. 用配方法将配方，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的求根公式是（ ） A. B. C. D. 5. 方程因式分解后正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 解方程最简便的方法是（ ） A. 配方法 B. 公式法 C. 因式分解法 D. 无法确定 7. 用配方法解方程，需在方程两边同时加上的常数是__________。 8. 一元二次方程中，__________。 9. 方程的解为__________。 10. 用直接开平方法解方程，解得__________。 11. 配方：____________________。 12. 方程的两个根是__________。 13. 用直接开平方法解方程： 14. 用配方法解方程： 15. 用公式法解方程： 16. 用因式分解法解方程： 17. 用因式分解法解方程： 18. 用配方法解方程： 19. 判断：一元二次方程有实数根（对或错）__________。 20. 用因式分解法解方程： 二、能力提升 【考查要点：择优解题、二次项系数不为1的配方、根的判别式应用、易错方程整理、参数求值】 21. 解方程，最简便的方法是（） A. 配方法 B. 公式法 C. 因式分解法 D. 以上方法均可 22. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（） A. B. C. D. 23. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则__________。 24. 方程的实数根为__________。 25. 选用合适的方法解方程： 26. 选用合适的方法解方程： 27. 用公式法解方程： 28. 用配方法解方程： 29. 已知方程的一个根为2，求的值。 30. 判断方程的实数根情况。 31. 解方程： 32. 解方程： 三、拔高拓展 【考查要点：公式推导、含参数方程根的限定条件、分类讨论、多解法综合应用】 33. 用配方法推导一元二次方程的求根过程。 34. 已知方程有两个实数根，求的取值范围。 35. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围。 36. 用多种方法解方程（至少两种方法）。 参考答案 1. 答案：B 解析：由，根据直接开平方法可得。 2. 答案：C 解析：，开平方得，解得。 3. 答案：A 解析：移项得，配方得，即。 4. 答案：D 解析：一元二次方程标准求根公式为。 5. 答案：A 解析：提取公因式，得。 6. 答案：C 解析：可利用平方差公式快速因式分解求解，方法最简便。 7. 答案：4 解析：一次项系数为4，一半为2，平方为4，配方需两边同时加4。 8. 答案：17 解析：，。 9. 答案： 解析：由或，直接得出两根。 10. 答案： 解析：整理得，开方得。 11. 答案：16，4 解析：完全平方公式：。 12. 答案： 解析：因式分解得，解得两根。 13. 解析： ，开平方得。 当时，；当时，。 所以。 14. 解析： 移项：，配方：，即。 开方得，解得。 15. 解析： ， ，解得。 16. 解析： 因式分解得，解得。 17. 解析： 移项得，提取公因式得。 解得。 18. 解析： 方程两边同除以2：，移项配方：。 开方得，解得。 19. 答案：错 解析：，方程无实数根。 20. 解析： 因式分解得，解得。 21. 答案：C 解析：左右均为完全平方式，移项后可用平方差公式因式分解，解法最简。 22. 答案：A 解析：原式化为，配方得。 23. 答案： 解析：两根相等则，解得。 24. 解析：，方程有两个相等实数根。 25. 解析： 因式分解得，解得。 26. 解析： 十字相乘得，解得。 27. 解析： ，，。 解得。 28. 解析： 原式化系数为1：，移项配方得。 开方化简得。 29. 解析： 将代入方程：，化简得，解得。 30. 解析： ，故此方程无实数根。 31. 解析： 整理得，因式分解得，解得。 32. 解析： 整理得，配方得，解得。 33. 解析： 对移项，得。 两边同时加上配方： 整理得：。 当时，开方得：。 移项得求根公式：。 当时，方程无实数根。 34. 解析： 方程有两个实数根，说明是一元二次方程且。 ① 二次项系数不为0：，即。 ② ，化简得，即。 综上：且。 35. 解析： 有两个不相等实数根，则为一元二次方程且。 ① ；② ，解得。 综上：且。 36. 解析： 方法一（因式分解法）： ，分解得，解得。 方法二（配方法）： 移项得，配方得。 开方得，解得。 方法三（公式法）： ，，解得。 学科网（北京）股份有限公司 $