1.4.1 二次函数与一元二次方程的关系（教学课件）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，核心内容为通过判别式△=b²-4ac判断方程根的情况及抛物线与x轴交点数量。课堂导入采用分组合作探究，观察三个具体二次函数图像，填写表格对比判别式、交点及对应方程根的情况，搭建从具体实例到抽象关系的学习支架，衔接二次函数图像与一元二次方程根的判别式知识。 其亮点在于以探究式学习为主线，通过观察图像、分析表格培养学生数学眼光，归纳判别式与根、交点的关系发展数学思维，结合喷水池、小球飞行等实际问题强化数学语言应用。如典例利用抛物线对称轴求方程根，课堂练习融入运动情境，帮助学生提升抽象能力和应用意识，为教师提供结构化探究素材，提升教学效率。

1.4.1 二次函数与一元二次方程的关系 （第1课时） 第一章 二次函数 浙教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 能正确计算二次函数对应的判别式△=b2-4ac，依据△>0、△=0、△<0三类取值，判定一元二次方程实数根的不同情况。 可以借助判别式，判断二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的数量，准确写出交点坐标的通用形式。 能利用“抛物线与x轴交点横坐标就是对应一元二次方程实数根”的对应关系，完成基础判断题、简单求值类习题。 新课探究 分组合作探究 观察二次函数 的图象，思考：二次函数与一元二次方程有什么关系？ 合作学习 小组讨论 根据以上画出的三个图形，填写下表 二次函数解析式 判别式Δ=b2−4ac计算 抛物线与x轴交点情况 y=x2−4x+3 Δ=(−4)2−4×1×3=4 0 与x轴交于 、 ，共 2 个交点 y=−x2+2x−1 Δ=22−4×(−1)×(−1) 0 与x轴仅有 个交点（顶点落在 轴上） y=x2−2x+ Δ=(−2)2−4×1×=−2 0 与x轴 交点 ＞ （1，0） （3，0） = 1 x ＜ 无 分别说出x2−4x+3=0，−x2+2x−1=0和x2−2x+=0的根的情况，与上表对比 4 合作学习 小组讨论 一元二次方程 判别式Δ=b2−4ac计算 一元二次方程根的情况 x2−4x+3=0 Δ=(−4)2−4×1×3=4>0 有两个不相等的实数根 x1​=1，x2​=3 −x2+2x−1=0 Δ=22−4×(−1)×(−1)=0 有两个相等的实数根x1​=x2​=1 x2−2x+=0 Δ=(−2)2−4×1×=−2<0 没有实数根 x2−4x+3=0，−x2+2x−1=0和x2−2x+=0的根的情况 小组谈论，二次函数与x轴的交点与一元二次方程的根有什么关系？ 5 新知探究 做一做 利用函数的图象求下列方程的根： (1)x2+x-6=0；(2)2x²-x-3=0. 抛物线与x轴的交点坐标为(-3，0)，(2，0) ∴方程x2+x-6=0的解为x1=-3，x2=2； 抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0)，(,0), ∴方程y=2x2-x-3的解为x1=-1，x2=. 新知探究 合作学习 一般地,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)之间有如下关系: 判别式b2−4ac的值 b2−4ac>0 b2−4ac=0 b2−4ac<0 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点情况 图象与x轴有两个交点(x1​,0)，(x2​,0) 图象与x轴有一个交点 图象与x轴没有交点 一元二次ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况 有两个不相等的实数根x1​，x2​ 有两个相等的实数根x1​=x2​ 没有实数根 典例1 已知二次函数y=x2+5x-3中，函数y与自变量x的部分对应值如下表 所示，则方程x2+5x-3=0的一个解x的取值范围是____. 典例分析 解：方程x2+5x-3=0的解即为函数y=x²+5x-3的零点。由表格数据可知，当x=0.5时，y=-0.25<0；当x=0.75时，y=1.31>0。由于函数连续，故在x=0.5与x=0.75之间必然存在一点使y=0，因此方程的一个解x的取值范围是0.5<x<0.75. 练一练 根据下表信息,估计一元二次方程ax2+bx+c=6(a≠0)的一个解的 范围是 。 典例分析 解：5.9996<6<6.0225, ∴由表格可知，使y=ax2+bx+c=6的一个x的值满足1.645<x<1.65， ∴一元二次方程ax2+bx+c=6(a≠0)的一个解的范围是1.645<x<1.65， 故答案为:1.645<x<1.65. 典例分析 抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,则关于x的方程-x2+bx+c=0的解是 。 典例2 解：∵抛物线的对称轴为直线x=-1，与x轴的交点为(1，0)，设另一个交点为(a，0)，=-1，解得：a=-3，故另一个交点为(-3，0)，∴关于x的方程-x2+bx+c=0的解是：x₁=1，x2=-3； x₁=1，x2=-3 典例分析 已知二次函数y=x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+2x+m=0的根为 。 练一练 解：由题意可知：抛物线的对称轴为x=-1，(1，0)关于直线x=-1的对称点为(-3，0)，∴一元二次方程x2+2x+m=0的根为1与-3；即x₁=1，x₂=-3. x₁=1，x₂=-3. 典例分析 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出抛物线形的水柱。如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 水柱高度 y(单位：m)与水平距离 x (单位：m)之间具有函数关系 典例3 (1)解：y=-x²+x+配方得y=-(x-1)²+3, ∴顶点A(1，3) 答：抛物线形水柱的最高点A到地面的距离为3m； (1)求抛物线形水柱的最高点A到地面的距离； 典例分析 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出抛物线形的水柱。如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 水柱高度 y(单位：m)与水平距离 x (单位：m)之间具有函数关系 典例3 (2)当y=0时，=0， 解得x₁=3，x₂=-1(不符合题意，故舍去)，∴B(3，0)，即OB=3， 答：抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离为3m. (2)求抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离 典例分析 如图，碎碟(chēquí)是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的碎碟样本进行分析，得到某碎碟样本平均日生长速率y(单位:μm/天)与年龄x(单位:岁)近似满足关系：.现测得某碎碟样本的平均日生长速率为35.6μm/天，求它的年龄. 练一练 解：将=35.6代入， 得35.6=x²x+26 解得x₁=64，x₂=-6(不符合题意，舍去) 答：该碎碟样本的年龄为64岁. 设二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)，对应一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，判别式：△=b²-4ac 1.△>0：抛物线和x轴产生2个交点(x1，0)、(x2，0)；方程存在两个不相等的实数根x1，x2，交点横坐标就是方程的两根。 2.△=0：抛物线仅和x轴相切，只有1处交点(顶点落在x轴上)；方程有两个相等的实数根x1=x2。 3.△<0：抛物线全程不和x轴相交；一元二次方程不存在实数根。 知识与技能 课堂小结 课堂练习 1.二次函数的图象ax2+bx+c=0(a≠0)如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法准确判断 课堂练习 2. 如图，二次函数y=ax2-3ax+c(c为常数)的图象与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，则关于x的一元二次方程ax2-3ax+c=0(c为常数)的实数根是（ ） A.x1=-1，x2=5 B.x1=-1，x2=4 C.x1=-1，x2=3 D.x1=1，x2=-4 课堂练习 3.如表中列出了二次函数y=ax2+bx+c的x、y的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x1的范围是（ ） A. -3<x₁<-2 B. -2<x₁<-1 C. -1<x₁<0 D. 0<x₁<1 课堂练习 4.二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图，根据图象解答下列问题： (1)直接写出方程ax2+bx+c=0的两个根； (2)直接写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围； (3)直接写出关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集. (1)解：由图象看， 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(1，0)，(3，0) ∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=1，x2=3； 课堂练习 4.二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图，根据图象解答下列问题： (1)直接写出方程ax2+bx+c=0的两个根； (2)直接写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围； (3)直接写出关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集. (2)解：从图象看，当x≥2时，y随x的增大而增大； (3)解：从图象看，∵当x<1或x>3时，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象在x轴∴不等式ax2+bx+c<0的解集是：x<1或x>3. 课堂练习 5. 如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=-5x2+30x，请根据要求解答下列问题: (1)解:在y=-5x2+30x中，当x=2时，y=-5×22+30×2=40， 答:当小球的飞行2s时,飞行高度是40m; (1)在飞行过程中，当小球的飞行2s时，飞行高度是多少? 课堂练习 5. 如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=-5x2+30x，请根据要求解答下列问题: (2)解:在y=-5x2+30x中，当y=-5x2+30x=25时， 解得x=1或x=5， 答:当小球的飞行高度为25m时，飞行时间是1s或5s； (2)在飞行过程中，当小球的飞行高度为25m时，飞行时间是多少? 课堂练习 5. 如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=-5x2+30x，请根据要求解答下列问题: (3)解:在y=-5x2+30x中，当y=-5x2+30x=0时，解得x=0或x=6， 答:小球从飞出到落地所用时间是6s； (3)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少? 课堂练习 5. 如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=-5x2+30x，请根据要求解答下列问题: (4)解：y=-5x2+30x=-5(x-3)2+45, ∴小球飞行高度在飞行时间是3s时最大，最大高度为45m. (4)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少? $