第12天 角的平分线-【预备新初二】2026-2027学年八年级数学预习衔接练习

》预备新初二 第2天 角的平分线 任务 作已知角的平分线 已知：∠AOB,如图. 求作：∠AOB的平分线， 作法 注意事项 图示 如图.(1)以点0为圆心，适当长为半径 以作图方便为宜，不能太长也不能 画孤，交OA于点M,交OB于点N -目的是确定OM=ON 太短 (2)分别以点，N为圆心，大于N A 第 以小于)MN的长为半径作出的两 M 的长为半径作孤，两孤在∠AOB的内部 相交于点C 孤不能形成交点，等于2MN的长为 周 -*目的是确定MC=NC 半径作孤不易操作 “作射线OC”不能叙述为“连接 (3)作射线OC.射线OC即为∠AOB的 OC”.因为角的平分线是一条射线， 平分线 而不是线段 合敲黑板 用尺规作图法作一个角的平分线，实质上就是运用“SSS”构造全等三角形，根据全等 三角形的对应角相等，从而找到平分一个角的射线。 典例1已知：∠AOB,如图1. D 图1 图2 求作：∠AOB的补角的平分线.（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】解：如图2所示，射线OD就是∠AOB的补角的平分线. 任务 2 角的平分线的性质 文字语言 角的平分线上的点到角两边的距离相等 ,指点到角的两边的垂线段的长度 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E, 符号语言 PD=PE D 图示 98 数学 白敲黑板 (1)角的平分线的性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再通过 证全等三角形得到线段相等；(2)利用角的平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是 “垂直于角两边的线段”，而不是“垂直于角的平分线的线段” 典例2如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD平分∠CAB,交BC于点D,DE⊥AB于 点E,AB=6,求△DEB的周长 【答案】解：.AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°， ∴.DC=DE, E .∴.△DEB的周长=DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE. 在Rt△ACD和Rt△AED中， [AD=AD, DC=DE, .∴.Rt△ACD≌Rt△AED(HL), 第 .∴.AC=AE. ..AC=BC, 周 .AE=BC, ∴.△DEB的周长=AE+BE=AB=6. 任务3 证明几何命题的一般步骤 般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 命题中的题设部分 (1)明确命题中的已知和求证；命题中的结论部分 (2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； >在画图时，要考虑是否存在不同情形.若存在，则要分别画出图形，再分 别进行证明 (3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程， 白敲黑板 证明一个命题的步骤不是固定不变的，要根据题目的实际情况而定，但是总体必 须是完整的，并且证明过程的每一步推理都要有依据，推理的依据可以是已知条件，也可以是学 过的定义、定理和基本事实等. 典例3写出命题“三角形的一边的两端点到这条边上的中线所在直线的距离相等”的已 知、求证和证明过程. 【答案】解：命题的已知、求证和证明过程如下. 已知：如图所示，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD交AD于点F,BE⊥AD交AD的延长线于 点E. 求证：BE=CF. 99 》预备新初二 证明：AD为△ABC的中线，.BD=CD. .BE⊥AD,CF⊥AD,∴.∠BED=∠CFD=90° 在△BED和△CFD中， '∠BED=∠CFD, ∠BDE=∠CDF, BD=CD, .△BED≌△CFD(AAS),∴.BE=CF 第 任务4 角的平分线的判定 1.角的平分线的判定定理 周 文字语言 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,且PD=PE,.点P在 符号语言 ∠AOB的平分线上 图示 B 2.角的平分线的性质与判定的关系 ①点在角的平分线上角的内部的点到角两边的距离相等 (2)角的平分线的性质及判定恰好是条件和结论的互换，性质是证明两条线段相等的 依据，判定是证明两角相等的依据，在应用时不要混淆 典例4衔接教材P51例题)如图，△ABC的角平分线BM,CN相交于点P. 求证：(1)点P到三边AB,BC,CA的距离相等； (2)△ABC的三条角平分线交于一点. N B E 【答案】证明：(1)如图，过，点P作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥CA,垂足分别为D,E,F BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， PD=PE.同理PE=PF,角平分线的性质 100 数学 ∴PD=PE=PF 即，点P到三边AB,BC,CA的距离相等 (2)由(1)得，点P到边AB,CA的距离相等， .点P在∠A的平分线上. .△ABC的三条角平分线交于一点 任务5 每日一练 1.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,垂足为E,S△4Bc=7,DE=2,AB=4,则AC的长是 () E B 第 A.6 B.5 C.4 D.3 2.如图，∠AOB=50°.点D在边OA上，请在∠AOB的内部求作点C,使∠OCD=25°.（保留作 周 图痕迹，不写作法，标明字母) D 0 B 3.如图所示，BF⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为点F,E,BF和CE相交于点D,BE=CF.求证：AD 平分∠BAC. 4.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,若点D到边AB,AC的距离相等，且∠B=70°，求 ∠CAD的度数. 101第一周第7天 解：'△ABC≌△ABD,·.∠CAB=∠DAB, LCBA=LDBA=20°，.LDAB=2LCAD= 7×90°=45，∠D=180-∠DAB- ∠DBA=115. 第二周第8天 1.证明：：∠1=∠2，∴.∠ACB=∠DCE CA=CD, 在△ABC和△DEC中， ∠ACB=∠DCE, BC=EC, ∴.△ABC≌△DEC(SAS). 2.证明：，BF=CE, .∴.BF+CF=CE+CF,即BC=EF. ∠ACB=∠DFE, 在△ABC和△DEF中，BC=EF, ∠B=∠E, ∴.△ABC≌△DEF(ASA). 第二周第9天 证明：FB=CE,∴.BC=EF. 又AC∥DF,∴.∠ACB=∠DFE. r∠A=∠D, 在△ABC和△DEF中， ∠ACB=∠DFE, BC=EF, .△ABC≌△DEF(AAS). 第二周第10天 1.解：如图所示 B D/ 2.解：如图所示，△ABC即为所求， 第二周第11天 解：添加条件：AC=DE(答案不唯一). 理由如下： AB DF, 在△ABC和△DFE中， ∠A=∠D, LAC=DE, ∴.△ABC≌△DFE(SAS). 第二周第12天 1.D如图，过点D作DF⊥AC于点F. AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,∴.DE= DF=2.Sm=ABXDE-x4x24. :5am=7,Sam=7-4=3,2AC× DF-3SwACx23AC=3. B D 2.解：如图，点C即为所求.（作法不唯一) B 提示：由作图可知，OE是∠AOB的平分线， LB0E=7LA0B=7×50°=250 ∠ADF=∠AOB,∴.DF∥OB, ∴.∠0CD=∠B0E=25. 3.证明：CE⊥AB,BF⊥AC, ∴.∠BED=∠CFD=90. ∠BDE=∠CDF, 在△BED和△CFD中， ∠BED=∠CFD, BE CF, .△BED≌△CFD(AAS),.DE=DF. 又.DE⊥AB,DF⊥AC,.AD平分∠BAC. 4.解：AD⊥BC,∴.∠ADB=90 又：点D到AB,AC的距离相等， ∴.AD是∠BAC的平分线，∴.∠BAD=∠CAD. ∠B=70°，∴∠BAD=90°-∠B=20°， .∴.∠CAD=∠BAD=20°. 4