21.1 一元二次方程（第1课时）讲义 2025--2026学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的概念、一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）及根的概念，从已学的一元一次方程、二元一次方程类比迁移，构建知识支架，为后续解法及实际应用奠定基础。 该资料通过实际问题抽象方程培养数学建模（数学眼光），定义辨析与步骤化判断发展推理意识（数学思维），典型例题、易错警示及分层练习助学生准确理解，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

21.1 一元二次方程（第1课时）讲义 · 人教版九年级数学上册 L E S S O N P L A N 21.1 一元二次方程（ 第1课时） 一元二次方程的概念 学 科：初中数学 年 级：九年级（上册） 教材版本：人教版 章 节：第二十一章 第一节 课 型：新授课 课时：1 适用学年：2026—2027学年 讲义 · 教师与学生共用 第 1 课时 / 共 2 课时 一、学习目标 本节课是人教版九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》的起始课，重点研究一元二次方程的概念、一般形式及其根的概念。通过本课时的学习，学生应从已有的整式方程（一元一次方程、二元一次方程）经验出发，类比迁移，建立对一元二次方程的整体认识，为后续学习一元二次方程的解法及其实际应用奠定坚实基础。 1. 了解一元二次方程的概念，能准确判断一个方程是否为一元二次方程，明确其三个本质特征：整式方程、一元、二次。 2. 掌握一元二次方程的一般形式 ax² + bx + c = 0（a≠0），能正确识别二次项、一次项、常数项及其系数，理解 a≠0 的必要性。 3. 理解一元二次方程的解（根）的概念，能通过代入法检验一个数是否为方程的根，并能利用根的概念求方程中的待定参数。 4. 经历从实际问题中抽象出一元二次方程的过程，体会数学建模思想，感受一元二次方程是刻画现实世界数量关系的重要模型。 学习重点：一元二次方程的概念及一般形式。学习难点：准确识别一元二次方程的一般形式中各项系数（尤其含负号、字母系数的情形）；根据实际情境列出一元二次方程。 二、知识梳理（细讲知识点） 知识点 1 一元二次方程的定义 1. 概念引入 在前面我们已经学习过一元一次方程，例如 2x + 1 = 0、3(x−1) = x + 5 等，这类方程的特征是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 1。然而在现实生活中，许多数量关系并不能用一次式来刻画。例如： • 一个正方形的面积为 9，设边长为 x，则满足 x² = 9； • 一个数比另一个数大 2，两数之积为 48，设较小的数为 x，则满足 x(x + 2) = 48，即 x² + 2x − 48 = 0； • 一个直角三角形两直角边相差 1，斜边为 5，设较短直角边为 x，则满足 x² + (x + 1)² = 25，整理得 2x² + 2x − 24 = 0。 观察上述三个方程可以发现，它们都是只含有一个未知数 x，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程。这类方程不同于我们已经学过的一元一次方程，是本章要研究的核心对象——一元二次方程。 2. 严格定义 定义（一元二次方程） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 理解这一定义需要同时抓住三个关键要素，缺一不可： ① 整式方程：等号两边必须都是整式（即多项式），不能含有分式（分母中含有未知数）或根式（根号下含有未知数）。例如 1/x + x² = 1 不是一元二次方程，因为左边含有分式 1/x。 ② 一元：方程中只允许出现一个未知数。例如 x² + y = 1 含有两个未知数 x 和 y，不属于一元二次方程。 ③ 二次：未知数的最高次数必须是 2。这里要特别注意，判断次数之前必须先化简整理，看化简后未知数的最高次数。例如 (x + 1)² = x² + 3，展开后得 2x = 2，最高次数为 1，不是一元二次方程。 3. 判断步骤 判断一个方程是否为一元二次方程，建议按以下三步进行，养成严谨的思维习惯： 第1步 看形式：先观察方程两边是否都是整式，排除分式方程和无理方程。 第2步 看元数：确认方程中只含有一个未知数。 第3步 化简判断：去括号、移项、合并同类项后，确认未知数的最高次数为 2，且二次项系数不为 0。 特别提醒：判断前一定要先化简！有些方程表面上看含有 x²，但化简后 x² 项可能被消去，从而退化为一元一次方程。这是初学者最易忽视的陷阱之一。 知识点 2 一元二次方程的一般形式 1. 一般形式 任何一个一元二次方程，经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，都可以化为如下标准形式，称为一元二次方程的一般形式： （a ≠ 0） 其中 x 是未知数，a、b、c 是已知数（常数）。这一形式是研究一元二次方程的统一基准，后续学习的求根公式、判别式、根与系数的关系等，都是建立在一般形式基础之上的。 2. 各部分名称 项 / 系数 表达式 系数 说明 二次项 ax² a 二次项系数，决定开口方向与开口大小 一次项 bx b 一次项系数 常数项 c c 常数项，不含未知数 需要特别强调：在指出各项系数时，必须连同符号一起写出。例如方程 x² − 3x + 2 = 0 中，二次项系数 a = 1，一次项系数 b = −3（不是 3），常数项 c = 2。这是学生极易出错的地方，务必养成"带符号"读系数的习惯。 3. a ≠ 0 的必要性 一般形式中为什么要强调 a ≠ 0？这是因为：若 a = 0，则二次项 ax² = 0，方程退化为 bx + c = 0，此时它已经不再是一元二次方程，而可能是一元一次方程（当 b ≠ 0 时）或一个恒等式 / 矛盾式（当 b = 0 时）。因此，a ≠ 0 是保证方程"二次"属性成立的必要条件，也是一元二次方程定义中不可省略的组成部分。 反之，对 b 和 c 没有限制：b、c 都可以为 0。例如 x² = 0（即 x² + 0·x + 0 = 0）是一元二次方程，其中 b = 0、c = 0；x² − 5 = 0 也是一元二次方程，其中 b = 0、c = −5。只要 a ≠ 0，无论 b、c 取何值，方程都是一元二次方程。 4. 化一般形式的步骤 将一个非标准形式的一元二次方程化为一般形式，通常按以下顺序操作： 第1步 去分母（若方程中含有分母，方程两边同乘各分母的最小公倍数）； 第2步 去括号（利用乘法分配律、完全平方公式、平方差公式等展开）； 第3步 移项（将所有项移到方程左边，右边化为 0）； 第4步 合并同类项，整理成 ax² + bx + c = 0 的形式； 第5步 写出 a、b、c 的值（带符号）。 知识点 3 一元二次方程的解（根） 1. 解的概念 定义（一元二次方程的解 / 根） 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 这一概念与一元一次方程的解完全一致，本质上都是"使方程成立的未知数的值"。不同的是，一元一次方程通常只有一个解，而一元二次方程最多有两个实数根（也可能只有一个，或没有实数根），这是后续学习将要深入探讨的内容。 2. 检验方法 要判断一个具体的数（如 x = 2）是否为某个一元二次方程的根，只需将该数代入方程，若方程左右两边相等，则该数是方程的根；否则不是。这一方法称为代入检验法，是判断方程根的最基本、最可靠的方法。 例如，判断 x = 2 是否为方程 x² − 3x + 2 = 0 的根：将 x = 2 代入，左边 = 2² − 3×2 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0，右边 = 0，左边 = 右边，所以 x = 2 是该方程的根。再判断 x = −1：左边 = (−1)² − 3×(−1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6 ≠ 0，所以 x = −1 不是该方程的根。 3. 由根求参数 若已知一个一元二次方程的某个根，则可以将该根代入方程，得到关于待定系数的方程（通常是一元一次方程），从而求出参数的值。这是根的概念的重要应用，也是中考常考题型之一。 解题关键：明确"根"的含义——根是使方程成立的未知数的值，因此代入后方程必然成立，由此构造关于参数的新方程。注意求出参数后，有时还需检验原方程是否仍为一元二次方程（即二次项系数是否为 0）。 三、典型例题 例 1 判断一元二次方程 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）。 ① 2x + 1 = 0 ② x² + 2x + 1 = 0 ③ 1/x + x² = 1 ④ x² + y = 1 ⑤ (x + 1)² = x² + 3 分析：逐一对照一元二次方程的三个特征进行判断。① 化简后为 2x + 1 = 0，最高次数为 1，是一元一次方程，不符合；② 含一个未知数 x，最高次数为 2，且两边均为整式，符合定义；③ 含有分式 1/x，不是整式方程，不符合；④ 含有两个未知数 x 和 y，不是"一元"，不符合；⑤ 展开得 x² + 2x + 1 = x² + 3，化简得 2x = 2，最高次数为 1，不符合。 解：填 ②。只有 x² + 2x + 1 = 0 同时满足"整式方程、一元、二次"三个条件。 方法归纳 判断一元二次方程必须"三看"：一看是否为整式方程（排除分式、根式方程）；二看是否只含一个未知数（排除多元方程）；三看化简后未知数最高次数是否为 2（必须先化简再判断）。 例 2 化一般形式并指出系数 将方程 3x(x − 1) = 2(x + 2) − 5 化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。 分析：先去括号展开，再移项使右边为 0，最后合并同类项得到一般形式 ax² + bx + c = 0，进而写出 a、b、c（带符号）。 解：去括号，得 3x² − 3x = 2x + 4 − 5。 移项，得 3x² − 3x − 2x − 4 + 5 = 0。 合并同类项，得 3x² − 5x + 1 = 0。 所以二次项为 3x²，二次项系数 a = 3；一次项为 −5x，一次项系数 b = −5；常数项 c = 1。 方法归纳 化一般形式的核心口诀："展开—移项—合并—右边归零"。指出系数时务必带符号：负号属于系数的一部分，不能遗漏。 例 3 由根求参数 已知关于 x 的方程 x² − mx + 3 = 0 的一个根是 x = 1，求 m 的值。 分析：由根的定义知，x = 1 能使方程左右两边相等，将 x = 1 代入原方程，得到关于 m 的一元一次方程，解之即可。 解：因为 x = 1 是方程 x² − mx + 3 = 0 的根，所以将 x = 1 代入方程，得 即 1 − m + 3 = 0，解得 m = 4。 所以 m 的值为 4。 方法归纳 已知根求参数的通用步骤：① 把已知根代入方程；② 得到关于参数的新方程；③ 解新方程求出参数；④ 必要时检验（如题目要求原方程必须是一元二次方程，需检验二次项系数 a ≠ 0）。 例 4 实际问题列方程 一个矩形的长比宽多 2 cm，面积为 48 cm²。求矩形的长和宽。（只列方程，化为一般形式，不求解） 分析：本题含两个未知量（长与宽），但二者相差 2，因此只需设其中一个为 x，另一个可用 x 表示。再根据"长 × 宽 = 面积"这一基本关系列方程。 解：设矩形的宽为 x cm，则长为 (x + 2) cm。根据矩形面积公式，得 整理，得 x² + 2x − 48 = 0。 这就是所列的一元二次方程（一般形式）。 方法归纳 列一元二次方程解应用题的关键：① 设未知数（直接设或间接设）；② 用含未知数的代数式表示相关量；③ 根据题中的等量关系列出方程；④ 化为一般形式。常见模型包括：面积问题、增长率问题、利润问题、传播问题等，将在后续课时深入学习。 四、易错警示 在本节学习中，以下几类错误最为常见，需要引起高度重视。建议同学们对照自查，避免重蹈覆辙。 易错点 1 忽略 a ≠ 0 的条件 在涉及字母系数的一元二次方程中，二次项系数 a 往往含有参数。若题目说"关于 x 的一元二次方程 (m−1)x² + 2x + 3 = 0"，则隐含条件 m − 1 ≠ 0，即 m ≠ 1。解题时必须将这一条件单独列出，否则会得出多余解。 警示 凡遇到"关于 x 的一元二次方程"字样，必须自动补上二次项系数不为 0 的隐含条件，并在最终答案中加以检验。 易错点 2 未化简就判断次数 如方程 (x + 1)² = x² + 3，表面含 x²，但展开化简后为 2x = 2，实际是一元一次方程。判断前必须先去括号、移项、合并同类项，看化简后未知数的最高次数。 警示 "先化简，后判断"是铁律。任何含 x² 的方程在未化简前都不能直接判定为一元二次方程。 易错点 3 系数漏写负号 在写出一般形式 ax² + bx + c = 0 的系数 a、b、c 时，学生常把 −3 写成 3，把 −c 写成 c。原因是把"项"与"系数"混淆，或把减号当作运算符号而非系数的组成部分。 警示 系数是连同它前面的符号一起构成的整体。建议先把方程化为"左边 = 0"的形式，再按"ax² + bx + c"的顺序依次读出 a、b、c，每读一个数都连同其前面的"+"或"−"号。 易错点 4 混淆整式方程与分式方程 如 1/x + x = 1、√x + 2 = 0 这类方程，虽然也只含一个未知数，但分别含有分式和根式，不属于整式方程，更不是一元二次方程。判断时第一步就要排除。 警示 一元二次方程首先必须是整式方程。看到分母含未知数、根号下含未知数，立即排除。 五、课堂练习 以下练习供课堂限时训练使用，建议用时 10–12 分钟。完成后当堂核对答案，重点关注易错点。 A 组 基础巩固 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）。 ① x² + 1/x = 2 ② x² + y² = 4 ③ 3x² − 2x = 0 ④ (x−1)² = x² − 2 2. 方程 2x² − 5x + 3 = 0 中，二次项系数为 ____，一次项系数为 ____，常数项为 ____。 3. 将方程 (x + 3)(x − 3) = 2x 化为一般形式为 ____________。 4. 判断 x = 3 是否为方程 x² − 4x + 3 = 0 的根：____（填"是"或"否"）。 B 组 能力提升 5. 已知关于 x 的方程 (k−1)x² + 2x − 3 = 0 是一元二次方程，求 k 的取值范围。 6. 已知 x = 2 是方程 x² − (m + 1)x + 4 = 0 的一个根，求 m 的值。 7. 某工厂一月份的产值为 a 万元，第一季度（一、二、三月）的总产值为 3a 万元，设每月产值的平均增长率为 x，请列出关于 x 的方程（化为一般形式）。 参考答案 1. ③ 2. a = 2，b = −5，c = 3 3. x² − 2x − 9 = 0 4. 是 5. 由 k − 1 ≠ 0，得 k ≠ 1 6. 代入 x = 2：4 − 2(m + 1) + 4 = 0，解得 m = 3 7. a + a(1 + x) + a(1 + x)² = 3a，整理得 x² + 3x = 0 六、课堂小结 本节课我们从实际问题出发，类比一元一次方程，建立了一元二次方程的概念体系。请同学们对照下表回顾本课要点，确保每个知识点都理解到位、能灵活运用。 核心知识 关键内容 注意事项 定义 整式方程 + 一元 + 二次 三个条件缺一不可，判断前先化简 一般形式 ax² + bx + c = 0（a≠0） a≠0 是必要条件；b、c 可为 0 项与系数 ax²（二次项，系数 a）；bx（一次项，系数 b）；c（常数项） 系数带符号，负号不可漏 根的概念 使方程左右两边相等的未知数的值 代入检验；由根可求参数 思想方法上，本节课体现了"从特殊到一般""从具体到抽象"的认知路径，以及"数学建模"的核心素养——把实际问题中的数量关系抽象为方程模型。这些思想将在后续学习一元二次方程的解法与应用中反复出现，请同学们用心体会。 七、课后作业 请同学们独立完成以下作业，下节课课前提交。要求书写工整、过程完整，重点题写出分析过程。 必做题 1. 教材第 4 页练习第 1、2 题。 2. 将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出 a、b、c 的值： ① 5x² − 3x = 2； ② (2x − 1)(2x + 1) = 3； ③ x(x − 4) = 2x − 5。 3. 已知关于 x 的方程 (m + 2)x² + 3x − 1 = 0 是一元二次方程，求 m 的取值范围。 4. 已知 x = −2 是方程 3x² + mx + 4 = 0 的一个根，求 m 的值。 选做题 5. 已知关于 x 的方程 (k² − 1)x² + 2(k − 1)x + 1 = 0。 ① 当 k 为何值时，它是一元二次方程？ ② 当 k 为何值时，它是一元一次方程？ 6. 一个两位数，十位数字与个位数字之和为 7，把这个两位数的十位数字与个位数字对调后，所得新数比原数大 9。若设十位数字为 x，请列出关于 x 的方程并化为一般形式。（思考：这个方程是一元二次方程吗？为什么？） 拓展思考 回顾本节开头的三个引例（x² = 9、x² + 2x − 48 = 0、2x² + 2x − 24 = 0），你能尝试猜出它们的根吗？你猜测的依据是什么？带着这个问题预习下一课时"配方法"，看看你的猜想与系统解法是否一致。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $