25.2.1 解一元二次方程的方法：配方法（含直接开平方法）（讲义）2026-2027学年人教版九年级上册数学

本初中数学讲义聚焦“配方法（含直接开平方法）”核心知识点，从平方根意义切入，系统梳理直接开平方法解x²=a及(x+m)²=n型方程的原理，再过渡到配方法的定义、步骤及求代数式最值的应用，构建从基础到应用的学习支架。 资料亮点在于分层细化知识点，通过8类题型典例剖析及变式训练，强化数学眼光的抽象能力（如整体思想处理(x+m)²=n）、数学思维的推理意识（如配方步骤逻辑），课中助力教师系统授课，课后学生可通过作业与解析查漏补缺，提升运算与应用能力。

25.2.1 配方法（含直接开平方法） 讲义新知精讲 1.1 知识点1：直接开平方法的依据——平方根的意义 【概念定义】 如果 （），那么 叫做 的平方根，记作 . 利用平方根的定义直接开平方，把一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法，叫做直接开平方法. 【符号表示/公式表达】 【理解要点】 ① 正数有两个平方根，它们互为相反数，开平方后必须写出两个一元一次方程，不要漏掉负根； ② 当 时，方程有两个相等的实数根 ； ③ 直接开平方法的本质是降次——把二次方程转化为一次方程. 1.2 知识点2：形如 的方程的解 【概念定义】 对于方程 ：当 时，方程有两个不相等的实数根 ，；当 时，方程有两个相等的实数根 ；当 时，因为任何实数的平方都是非负数（），方程无实数根. 【符号表示/公式表达】 当 时，；当 时，；当 时，方程无实数根. 【理解要点】 ① 先把方程化为"左边只含 、右边为常数"的形式，再判断右边的符号； ② 右边为负数时直接判定无实数根，不必开方； ③ 二次项系数不为 1 时（如 ），先两边同除以系数，化为 再开方. 1.3 知识点3：形如 （，）的方程的解 【概念定义】 对于方程 （，），把 看成一个整体，直接开平方得 ，从而转化为两个一元一次方程求解. 【符号表示/公式表达】 【理解要点】 ① 整体思想：把 当作一个未知数来开平方； ② 右边同样必须满足 ， 时无实数根； ③ 括号外有系数时（如 ），先两边同除以系数，化为 再开方. 1.4 知识点4：配方法的定义 【概念定义】 通过把方程的一边配成完全平方式，另一边化为常数，再利用直接开平方法求解一元二次方程的方法，叫做配方法. 配方的依据是完全平方公式：. 【符号表示/公式表达】 【理解要点】 ① 配方时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ② 只有当二次项系数为 1 时才能直接配方；不为 1 时，先两边同除以二次项系数； ③ 配方的目标是把方程化为 的形式，为直接开平方做准备. 1.5 知识点5：用配方法解一元二次方程的步骤 【概念定义】 用配方法解一元二次方程 （）的一般步骤：移项 → 二次项系数化为 1 → 配方 → 直接开平方求解. 【符号表示/公式表达】 以 （）为例： 第1步　移项：； 第2步　系数化为 1：； 第3步　配方：，即 ； 第4步　直接开平方，求出方程的根. 【理解要点】 ① 配方时方程两边必须同时加同一个数，只加一边是最常见的错误； ② 二次项系数为 1 时可跳过第 2 步； ③ 配方后若右边为负数，则方程无实数根. 1.6 知识点6：配方法的应用——求代数式的最值 【概念定义】 利用配方法把二次多项式化为 的形式，根据任何实数的平方都是非负数（）：当 时，代数式有最小值 ；当 时，代数式有最大值 （均在 时取得）. 【符号表示/公式表达】 当 时， 的最小值为 ；当 时，最大值为 （均在 时取得）. 【理解要点】 ① 多项式配方是恒等变形（添项后必须减去相同的项），与方程配方（两边同加）不同； ② 利用 还可以证明"代数式的值总为正数"； ③ 含两个字母的多项式可按字母分别配方（如 拆成两组）. 典例剖析 题型一：直接开平方法解 型方程 例1 （2026·江苏南通·一模）解一元二次方程 时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为 ，则另一个方程为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【思路点拨】 正数的平方根互为相反数： 开平方后， 应等于 的两个平方根. 【规范解答】 第1步　对方程 两边开平方； 第2步　由平方根的定义，得 或 （正数 的平方根为 ）； 第3步　故另一个方程为 . 故选 B. 【方法总结】 开平方"两不忘"：一不忘正数的平方根有两个（互为相反数）；二不忘把 当整体，得 和 两个一元一次方程. 【变式训练1】 方程 的解是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】∵，∴，直接开平方得 . 故选 A. 题型二：直接开平方法解 型方程 例2 方程 的根为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【思路点拨】 左边已是完全平方式，右边为 0，直接开平方；注意 0 的平方根只有一个 0，得到的是两个相等的根. 【规范解答】 第1步　方程 左边为完全平方式，直接开平方； 第2步　得 ； 第3步　解得 ，即 （两个相等的实数根）. 故选 B. 【方法总结】 解 型方程三步：第1步开平方得 ；第2步拆成两个一元一次方程；第3步分别求解. 当 时两根相等，应写成 的形式. 【变式训练2】（25-26九年级上·江苏南京·期末）解方程 ． 【答案】， 【解析】移项得 ；两边同除以 3 得 ；直接开平方得 ；解得 ，. 题型三：直接开平方法判断根的个数 例3 一元二次方程 的根是（　　） A．，　　B．　　C．无实数根　　D．以上均不正确 【思路点拨】 先把含未知数的项移到左边、常数项移到右边，化为 的形式；关键看右边 的符号. 【规范解答】 第1步　移项：； 第2步　两边同除以 2：； 第3步　判断：∵任何实数的平方都是非负数，即 ，而 ； 第4步　∴该一元二次方程无实数根. 故选 C. 【方法总结】 根的个数速判（ 型）： → 两个不相等实数根； → 两个相等实数根； → 无实数根. 口诀："正两异、零两同、负无根". 【变式训练3】 下列方程中，有两个相等实数根的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】A：右边为负数，无实数根；B：，解得 ，即两个相等的实数根，符合题意；C：解得 ，，有两个不等实根；D：解得 ，有两个不等实根. 故选 B. 题型四：直接开平方法的应用 例4 若 ， 是方程 （， 为常数）的两个实数根，若 ，则 的值为 ______． 【思路点拨】 先用直接开平方法把两个根用含 、 的式子表示出来，再代入 建立关于 的方程. 【规范解答】 第1步　开平方：； 第2步　得两根：，； 第3步　计算两根之差的绝对值：； 第4步　由已知得 ； 第5步　解得 . 【答案】 【方法总结】 含参数的 型方程：第1步开平方用参数表示两根；第2步按题设条件列关于参数的方程；第3步求解并注意 与 等价的情形. 【变式训练4】 若方程 的根为整数，则 的值可以是 ______．（只填符合条件的一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【解析】原方程移项得 ，开平方得 . 因为方程的根为整数，所以 为整数，即 为非负完全平方数. 取 ，此时方程的根为 ，均为整数，符合要求. 题型五：配方——把方程化为 的形式 例5 用配方法解方程 ，下列变形正确的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【思路点拨】 先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方 ，左边即得完全平方式. 【规范解答】 第1步　移项：； 第2步　等式两边同时加上一次项系数一半的平方 ，得 ； 第3步　整理得 . 故选 B. 【方法总结】 配方两步曲：第1步常数项移到右边；第2步两边同加"一次项系数一半的平方". 口诀："一移二加，左平方右常数". 【变式训练5】 若将一元二次方程 转化为 的形式，则 的值为（　　） A．1　　B．8　　C．9　　D．10 【答案】D 【解析】，移项得 ；两边加 9，得 ；整理得 ，即 的值为 10. 故选 D. 题型六：用配方法解一元二次方程（二次项系数为 1） 例6 解方程：． 【思路点拨】 二次项系数已为 1，直接按"移项→配方→开方"的步骤求解；一次项系数一半的平方是 . 【规范解答】 第1步　移项：； 第2步　配方：两边加 ，得 ； 第3步　整理：； 第4步　直接开平方：； 第5步　解得 ，. 【方法总结】 系数为 1 的配方法三步：第1步移项（常数项归右）；第2步两边同加一次项系数一半的平方，左边写成完全平方；第3步直接开平方，拆成两个一元一次方程求解. 【变式训练6】 解一元二次方程：． 【答案】 或 【解析】，配方得 ，即 ，；开平方得 ，所以 或 . 题型七：用配方法解一元二次方程（二次项系数不为 1） 例7 （25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）某同学解一元二次方程 的解题步骤如下： 解： ① ② ③ ④ 该方程没有实数根 ⑤ (1) 问：这位同学解方程过程中从第 ______ 步开始出现错误，错误原因是 ______； (2) 请写出用配方法解方程 的正确过程． 【思路点拨】 对照配方法的步骤逐条检查：第③步只在方程左边加了 ，右边没有加，等式不再成立. 【规范解答】 (1) 从第 ③ 步开始出现错误，错误原因是方程两边未同时加上 . (2) 正确过程： 第1步　移项：； 第2步　系数化为 1：； 第3步　配方：； 第4步　整理：； 第5步　开平方：； 第6步　解得 ，. 【方法总结】 系数不为 1 的配方法关键两步：先把二次项系数化为 1（两边同除），再两边同时加一次项系数一半的平方. 检验配方是否正确的方法：展开完全平方看是否还原. 【变式训练7】 解方程： (1) ； (2) （用配方法解方程）． 【答案】(1) ，；(2) ， 【解析】(1) 移项得 ，开平方得 ，即 或 ，解得 ，； (2) 系数化为 1 并移项：；配方：，即 ；开平方得 ，∴，. 题型八：配方法的应用——求代数式的最值 例8 多项式 的最小值为（　　） A．　　B．1　　C．3　　D．2 【思路点拨】 按字母拆成两组分别配方： 的三项一组、 的三项一组，利用完全平方式的非负性求最小值. 【规范解答】 第1步　分组：原式 ； 第2步　分别配方：； 第3步　合并常数：； 第4步　由非负性 ，； 第5步　∴当 ， 时，多项式取最小值 3. 故选 C. 【方法总结】 求最值三步：第1步配方（多元则分组配方），化为"完全平方式+常数"；第2步用非负性 ；第3步得最值，并指出取到最值时字母的值. 【变式训练8】（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）已知代数式 的最小值是 ______． 【答案】5 【解析】. ∵，∴，∴原代数式的最小值为 5. 课后作业 A组 基础巩固 1. 方程 的根是（　　） A．，　　B．，　　C．，　　D． 2. 若用配方法解一元二次方程 ，则下列配方正确的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3. 方程 的解为（　　） A．1　　B．　　C．0 或 1　　D．1 或 4. 用配方法解一元二次方程 ，下列变形正确的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5. 方程 的解为 ______． 6. 将方程 用配方法化为 的形式，则 ， 的值为（　　） A．，　　B．，　　C．，　　D．， 7. 用配方法解方程：． 8. 利用直接开平方法解下列方程： (1) ； (2) ． B组 能力提升 1. 若方程 是关于 的一元二次方程，则 的值是（　　） A．　　B．1　　C．　　D． 2. 定义：关于 的一元二次方程 与 称为"同形二次方程"（）．现有关于 的方程 与方程 是"同形二次方程"．则代数式 的最大值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3. 若 ，则 的值为（　　） A．4　　B．4 或 　　C．　　D． 4. 不论 为何实数，多项式 的值一定是（　　） A．正数　　B．负数　　C．0　　D．不能确定 5.（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知直角 △ 两条边长分别是方程 的两根，则 △ 的周长为 ______． 附：课后作业参考答案与解析 A组 1. A　∵，∴ 或 ；当 时，；当 时，. ∴方程的根为 ，. 故选 A. 2. D　，移项得 ；配方得 ；整理得 . 故选 D. 3. D　∵，∴，∴ 的值是 1 或 . 故选 D. 4. A　，移项得 ；配方得 ，即 . 故选 A. 5. ，　，移项得 ，即 ，直接开平方解得 ，. 6. B　，移项得 ；等式两边同时加上一次项系数一半的平方 ，得 ；整理得 ，对比 可得 ，. 故选 B. 7. 解：，移项得 ；配方得 ，即 ；开平方得 ，∴，. 8. (1) ，直接开平方得 ，∴，； (2) 移项得 ，直接开平方得 ，∴，. B组 1. A　∵方程 是关于 的一元二次方程，∴，且 . 解 得 ；解 得 . 综上所述 . 故选 A. 2. A　∵方程 与方程 是"同形二次方程"， ∴将第二个方程变形为 ，即 . ∵，∴，两边同时除以 得 ， ∴ ①， ②；由②得 ，代入①得 . ∴代数式 ， ∴代数式的最大值为 . 故选 A. 3. A　∵，∴，解得 或 . ∵，∴. 故选 A. 4. A　∵，对于所有实数 ，都有 ， ∴，因此多项式的值总是正数. 故选 A. 5. 或 24　解方程 ，整理得 ，即 ，解得 ，. 当两个根是两条直角边时，斜边长为 ，∴此时 的周长为 ； 当两个根是直角边和斜边时，另一条直角边为 ，∴此时 的周长为 . 综上所述， 的周长为 或 24. 学科网（北京）股份有限公司 $