精品解析：山东省青岛市第三中学2025-2026学年第二学期第二学段模块考试高一数学试题

青岛三中2025-2026学年度第二学期第二学段模块考试 高一年级数学试题 答卷时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填涂在答题卡相应的答题栏内） 1. 样本数据的中位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 2. 已知是的中线，，以为基底表示，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，满足此条件的有两解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知P为空间中一点，m，n，l为互不相同的直线，α，β，γ为互不相同的平面，则下列推理中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ，， D. ，，， 6. 已知向量，满足，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 为了测量铁塔的高度，小刘同学在地面A处测得塔顶处的仰角为，从A处向正东方向走140米到地面处，测得塔顶处的仰角为，若，则铁塔的高度为( ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则下列结论错误的是（ ） A. 平面截正方体所得截面为等腰梯形 B. 三棱锥的体积为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题四个选项中，有多项是符合要求的，全部选对的得6分，部分选对的根据选对的个数得分，有错选的得0分） 9. 已知复数，则下列选项正确的是（ ） A. z的虚部为1 B. C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第一象限 10. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与C相互独立 C. D. 11. 已知正四棱台（上下底面都是正方形的四棱台）.下底面边长为2，上底面边长为1，侧棱长为，则正确的是（ ） A. 它的表面积为 B. 侧棱与下底面所成的角为 C. 它的外接球的表面积为 D. 它的体积比棱长为的正方体的体积大 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知三边长分别为，则该三角形是______三角形.（填锐角/直角/钝角） 13. 已知是关于x的实系数方程的一个根，则实数p的值为_______． 14. 已知正方形ABCD边长为2，E为线段CD的中点，若AF⊥BE于F，则_______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答过程应写在答题纸上，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. 已知某班一共有n个学生，男生比女生多9人，采用分层抽样的方法从中抽取5名学生志愿者参加植树节活动，若抽取的样本中男生有3人，女生有2人． （1）该班一共有多少人？ （2）从抽取的5名学生志愿者中再随机抽取2名同学承担浇灌任务．设M为事件“抽取的2名同学均为男生”，求事件M发生的概率． 16. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角的值； （2）若，，求的面积． 17. 2024年以来，四川省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，为进一步发展四川文旅，提升四川经济，在5月份对来川旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中． （1）求图中a的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格．四川省5月份文旅成绩合格了吗? （3）四川文旅6月份继续对来川旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差． 18. 如图，在平面四边形中，，，的平分线交于点，且． （1）求及； （2）若，求周长的最大值． 19. 如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，，E，F分别是，的中点． （1）若平面与平面的交线为l，判断直线与l的位置关系，并证明你的结论； （2）求直线和平面的距离； （3）若H为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛三中2025-2026学年度第二学期第二学段模块考试 高一年级数学试题 答卷时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填涂在答题卡相应的答题栏内） 1. 样本数据的中位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】结合中位数定义可得. 【详解】将已知数据从小到大排序为，则中位数为. 2. 已知是的中线，，以为基底表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用向量的线性运算计算即可. 【详解】因为是的中线，所以， ． 故选：B. 3. 在中，，满足此条件的有两解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形有两解，应满足，化简即可求解. 【详解】∵有两解， ∴， ∴，即 故选：C. 4. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 5. 已知P为空间中一点，m，n，l为互不相同的直线，α，β，γ为互不相同的平面，则下列推理中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ，， D. ，，， 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面基本事实判断A；利用线面平行的判定判断B；利用面面垂直的性质，线面垂直的判定判断C；利用线面垂直的判定判断D． 【详解】对于A：由，，则，两个平面相交于一条直线，而不是一个点，故A错误； 对于B：由，，则可能有，或，故B错误； 对于C：由，，，则，故C正确； 对于D：由，，，，则可能有，或，或，故D错误． 故选：C 6. 已知向量，满足，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的垂直结合向量数量积的运算公式即可求解. 【详解】由题意得，即， 且，即， ，解得，. 7. 为了测量铁塔的高度，小刘同学在地面A处测得塔顶处的仰角为，从A处向正东方向走140米到地面处，测得塔顶处的仰角为，若，则铁塔的高度为( ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】设TO=h，用h表示出AO和BO，在△AOB中利用余弦定理即可求出h． 【详解】设铁塔的高度为，在中，，， 在中，，， 在中，， 由余弦定理得，； 即， 化简得，解得． 故选：A． 8. 如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则下列结论错误的是（ ） A. 平面截正方体所得截面为等腰梯形 B. 三棱锥的体积为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，根据已知条件分析可得截面为等腰梯形，对于B，利用三棱锥的体积公式求解即可，对于C，利用异面直线的定义以及余弦定理分析求解即可，对于D，由线面垂直的判定定理和性质定理即可判断. 【详解】对于A，连接，如图所示， 在正方体中有，因为分别为中点，所以， 所以，所以平面截正方体所得截面为平面， 又因为，所以截面为等腰梯形，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，因为，所以异面直线与所成角即为直线与所成角，即， 则，故C正确； 对于D，连接，如图所示， 在正方形中，， 又平面，平面，所以， 因为，所以平面， 又平面，所以，故D正确. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题四个选项中，有多项是符合要求的，全部选对的得6分，部分选对的根据选对的个数得分，有错选的得0分） 9. 已知复数，则下列选项正确的是（ ） A. z的虚部为1 B. C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第一象限 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的运算法则进行化简后，再对选项一一验证即可. 【详解】， 则z的虚部为1，选项A正确； ，选项B错误； 为纯虚数，选项C正确； 在复平面内对应的点位于第四象限，选项D错误； 故选：AC． 10. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与C相互独立 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由互斥事件的定义分析A，由相互独立事件的定义分析B，由古典概型的计算公式分析C、D，综合可得答案． 【详解】根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则 ， ， ， 所以有， ， 对于A，，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误； 对于B，，A、C相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误． 故选：BC． 11. 已知正四棱台（上下底面都是正方形的四棱台）.下底面边长为2，上底面边长为1，侧棱长为，则正确的是（ ） A. 它的表面积为 B. 侧棱与下底面所成的角为 C. 它的外接球的表面积为 D. 它的体积比棱长为的正方体的体积大 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正四棱台的面积公式和体积公式、正方体体积公式计算即可判断AD，侧棱与下底面的所成角放到直角三角形中计算判断B，先找到正四棱台的外接球的半径，再结合球的表面积公式计算判断C. 【详解】 对于A，由题意得，上底面的面积，下底面的面积， 侧面为等腰梯形，过､分别作的垂线，垂足为､， 如图所示，所以.则，所以， 所以梯形的面积为， 所以正四棱台的表面积，故A正确； 对于B，连接，，且交于点，连接，交于点，连接， 则垂直底面，过作于，则底面，则四边形为矩形， 由题意得，所以，同理， 又，所以，在中，， 所以，即侧棱与下底面所成的角为，故B正确； 对于C，.连接，在中， ，所以点到､､､､､､､的距离相等，均为， 所以点即为正四棱台外接球的球心，且外接球半径. 所以外接球的表面积，故C错误； 对于D，正四棱台的体积为 ， 棱长为的正方体的体积，所以， 所以，所以正四棱台的体积比棱长为的正方体的体积大，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知三边长分别为，则该三角形是______三角形.（填锐角/直角/钝角） 【答案】钝角 【解析】 【分析】利用大边对大角确定最大内角，通过余弦定理计算该角的余弦值符号判断三角形类型. 【详解】根据三角形大边对大角的性质，边长为的边为最大边，其所对内角为最大内角，记为，其中， 令三角形的其余两边分别为， 由余弦定理得： 因此角为钝角，故为钝角三角形. 13. 已知是关于x的实系数方程的一个根，则实数p的值为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意分析可知也是方程的一个根，利用韦达定理运算求解即可. 【详解】因为是关于x的实系数方程的一个根， 则也是关于x的实系数方程的一个根， 由韦达定理可得，解得. 故答案为：12. 14. 已知正方形ABCD边长为2，E为线段CD的中点，若AF⊥BE于F，则_______. 【答案】## 【解析】 【分析】设，以为基底表示，根据得出值即可求出. 【详解】设， 因为E为线段CD的中点，所以， 则，， 因为AF⊥BE，所以 ， 得或（舍）， 则， 故. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答过程应写在答题纸上，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. 已知某班一共有n个学生，男生比女生多9人，采用分层抽样的方法从中抽取5名学生志愿者参加植树节活动，若抽取的样本中男生有3人，女生有2人． （1）该班一共有多少人？ （2）从抽取的5名学生志愿者中再随机抽取2名同学承担浇灌任务．设M为事件“抽取的2名同学均为男生”，求事件M发生的概率． 【答案】（1）45 （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据分层比例关系设男生人数和女生人数，再根据条件列等式，即可求解； （2）首先将3名男生和2名女生编号，利用列举法，以及古典概型概率公式，即可求解. 【小问1详解】 因为抽取5名同学中男生和女生的比例为， 根据分层抽样的方法可知：该班中男生人数为，女生人数为 因为男生比女生多9人，所以人， 解得人． 【小问2详解】 由（1）知，设抽取的3名男生分别记为A，B，C， 抽取的两名女生分别记为a，b从抽取的5名同学中抽取2名同学的所有可能结果为： 共10个． M为事件“抽取的2名同学均为男生”，则事件M包含的基本事件有： ，共3个基本事件， 事件M发生的概率． 16. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角的值； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示，结合正弦定理求解即可. （2）根据余弦定理及三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 由，得，由正弦定理得. 又，，所以，，所以， 故. 【小问2详解】 由（1）知， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得，解得或（舍去）. 所以. 即的面积为. 17. 2024年以来，四川省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，为进一步发展四川文旅，提升四川经济，在5月份对来川旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中． （1）求图中a的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格．四川省5月份文旅成绩合格了吗? （3）四川文旅6月份继续对来川旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差． 【答案】（1），79.5 （2）合格 （3）总样本平均值为86，总样本方差为96 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，可求出a的值，再利用平均数的定义求解； （2）超过的人满意度在75分及以上，即为分位数大于或等于75，利用百分位数的定义求解； （3）利用分层随机抽样的均值和方差公式求解. 【小问1详解】 由题意知，解得． 估计满意度得分的平均值为． 【小问2详解】 超过的人满意度在75分及以上，即为分位数大于等于75， 因为满意度在的频率为，满意度在的频率为， 可知分位数位于． 则，可以估计40%分位数为， 所以有超过60%的人满意度在75分及以上，河北省5月份文旅成绩合格了． 【小问3详解】 把6月1日-6月15日的样本记为，其平均数记为，方差记为， 把6月16日-6月30日的样本记为，其平均数记为，方差记为， 则总样本平均数， 则总样本方差 ， 所以总样本平均值为86，总样本方差为96. 18. 如图，在平面四边形中，，，的平分线交于点，且． （1）求及； （2）若，求周长的最大值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）在△ABE中，利用正弦定理求出sin∠AEB，从而求出∠AEB的大小，从而求出∠ABE的大小，再根据BE是∠ABD的平分线可得△BDE是等腰三角形，从而可得DE长度，在△BDE中，利用余弦定理即可求BD； （2）设，．在△BCD中，利用余弦定理得m，n的关系式，，再结合基本不等式即可求出m＋n的最大值，从而可求△BCD周长的最大值． 【小问1详解】 在中，由正弦定理得， 又，则， 于是， ∵为角平分线，∴，∴，∴， 在中，根据余弦定理得， ∴． 【小问2详解】 设，．在中， 由余弦定理得， 即有，即， ∴， 当且仅当时，“＝”成立． ∴周长的最大值为． 19. 如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，，E，F分别是，的中点． （1）若平面与平面的交线为l，判断直线与l的位置关系，并证明你的结论； （2）求直线和平面的距离； （3）若H为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值． 【答案】（1），理由如下： 因为底面为菱形，所以，又因为平面，平面， 所以平面，又平面，平面平面， 所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由为菱形，可证平面，进而可得结论； （2）利用已知可得平面，结合（1）可得的长为直线和平面的距离，进而计算即可； （3）为上任意一点，连接，则为平面所成的角，当最短时，即当时，最大，由此能求出二面角的余弦值． 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 四边形为菱形，，所以为正三角形， 又E是的中点，所以， 又因为，所以， 因为平面，平面，所以， 又平面，平面，， 所以平面，由（1）可知平面， 所以的长为直线和平面的距离， 又因为为正三角形，且， 所以， 所以直线和平面的距离为． 【小问3详解】 为上任意一点，连接， 由（2）知平面，则为与平面所成的角， 在中，，所以当最短时，即当时，最大． 此时，所以， 又因为，所以，所以， 又因为平面，平面，所以平面平面， 过作于，则平面， 过作于，连接，则为 二面角的平面角，在中，，， 又是的中点，在中，， 又， 在中，， 所以二面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $