山东省青岛第一中学2025-2026学年第二学期第二次模块考试高一数学试题

青岛一中2025-2026学年度第二学期第二次模块考试高一数学试题 2026.7 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共计40分．每小题只有一个选项符合要求） 1. 已知平面向量，不共线，且，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 若，则实数a等于（ ） A. B. C. 2 D. 3 3. 已知样本数据8，12，13，a，17的第80百分位数为16，则（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 4. 已知向量，满足，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 已知棱台的上、下底面均是有一个内角为的菱形，上、下底面的边长分别为2，3，该棱台的高为，则其体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知事件和事件独立，若，则（    ） A. 0.56 B. 0.76 C. 0.80 D. 0.96 7. 在中，，分别为线段，上的点，直线，交于点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 记的内角，，的对边分别为，，，若，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每小题满分6分，共计18分．每个小题给出的选项中有多个选项符合题意，全对得6分，对但不全得部分分，选错或不答得0分） 9. 已知复数，是方程的两个异根，则（ ） A. B. 的实部为2 C. D. 10. 如图，△ABC是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的大等边三角形，若，则（ ） A. B. C. D. 与夹角的余弦值为 11. 如图，已知正三棱锥的棱长均为6，点为点在底面上的射影，，分别为线段，的中点，过点作平面与平面平行，点为侧面上一动点（含边界），且，则（ ） A. 平面截三棱锥所得截面的面积为 B. 三棱锥的内切球的表面积为 C. 点的轨迹长度为 D. 过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共计15分） 12. 某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男、女人数之比为，则估计全体单位职工体重的方差为___________． 13. 甲和乙进行一个游戏：初始时每人各持有2枚徽章．根据游戏规则，每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子，出现奇数点则甲胜，出现偶数点则乙胜，胜负概率均为．输的一方需将自己的1枚徽章交给赢的一方．游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止，且各局结果相互独立．则游戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为_____. 14. 设点是三边的垂直平分线的交点，且，点满足，则的最小值是_____________________． 四、解答题（本题共5个小题，15题13分，16—17题每小题15分，18—19题每小题17分） 15. 已知在中，N是边AB的中点，且，设AM与CN交于点P．记，． （1）若，且，求证：； （2）设，，求x，y的值． 16. 为优化假期安排，调整学生学习节奏，提升综合素养，贵州省九个市州于2026年4月1号至3号首次实施春假制度.某中学为了解春假期间学生外出体验的情况，随机选取了该校高一及高二共100名同学并对其进行了问卷调查，将外出时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图算出的值并估计该校学生春假外出时间的平均数（每组数据取区间的中点值作代表）、众数与中位数； （2）若外出时间在内的男女比例为3∶2，现利用分层随机抽样的方法选取5名同学进行访谈，然后再从这5名同学中随机选取2人在访谈会中发言，求发言的同学为一男一女的概率. 17. 已知的内角所对的边分别为，且，． （1）求； （2）若的面积为，求的周长； （3）求的取值范围． 18. 如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点. （1）证明：平面平面. （2）若线段上存在点，使得平面平面， （i）猜想的值，并说明理由； （ii）求二面角的正弦值. 19. 如图，已知是边长为的等边三角形，分别是的中点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥． （1）设平面平面，证明：平面； （2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若点在平面的射影在四边形的内部，四棱锥的体积，求直线被四棱锥外接球球截得的弦长的取值范围． 青岛一中2025-2026学年度第二学期第二次模块考试高一数学试题 2026.7 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共计40分．每小题只有一个选项符合要求） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、多选题（本题共3个小题，每小题满分6分，共计18分．每个小题给出的选项中有多个选项符合题意，全对得6分，对但不全得部分分，选错或不答得0分） 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共计15分） 【12题答案】 【答案】169 【13题答案】 【答案】##0.125 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本题共5个小题，15题13分，16—17题每小题15分，18—19题每小题17分） 【15题答案】 【答案】（1）因为，且， 所以，，，所以， 所以， 所以，即； （2），. 【16题答案】 【答案】（1），平均数为，众数为8，中位数为 （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）（i），理由见解析；（ii） 【19题答案】 【答案】（1）因为，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面平面平面，所以， 又平面，平面，所以平面． （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $