北京市第二中学2025-2026学年高二下学期第六学段考试（期末）数学试卷

北京二中2025-2026学年度第六学段高二年级学段考试试卷 数学选择性必修第三册 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ） A. B. C. D. 7. “里氏震级”反映的地震释放出来的能量大小的一种度量．里氏震级M地震释放的能量（单位：焦耳）之间的关系为：年云南澜沧发生地震为里氏级，2008年四川汶川发生的地震为里氏8级．若云南澜沧地震与四川地震释放的能量分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，若是函数的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为(　　) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题纸上） 11. 函数的图象在点处的切线方程是_______． 12. 有60人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部．则其报乒乓球俱乐部的概率为___________． 13. 已知定义在实数集上的函数满足，且当时，，若，则的最小值为________． 14. 若不等式对恒成立，则的最大值为___________． 15. 已知是定义在上的奇函数，当时，有下列结论： ①函数在上单调递增； ②函数的图象与直线有且仅有个不同的交点； ③若关于的方程恰有个不相等的实数根，则这个实数根之和为； ④记函数在上的最大值为，则数列的前项和为. 其中所有正确结论的编号是___________. 五、解答题：（本大题共85分，请将答案在答题纸上） 16. 在中，角的对边分别为，且. （1）求的值； （2）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：；条件②：；条件③：的周长为9. 17. 某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为组：、、、加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于的种子定为“级”，发芽率低于但不低于的种子定为“级”，发芽率低于的种子定为“级”． （Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“级”种子的概率； （Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“级”、“级”、“级”康乃馨种子的售价分别为元、元、元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费元，以频率为概率，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 19. 已知椭圆的焦点在x轴上，且经过点，左顶点为D，右焦点为F． （1）求椭圆C的离心率和的面积； （2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，过点B作直线的垂线，垂足为G，判断是否存在常数t，使得直线经过y轴上的定点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 20. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若对恒成立，求a的取值范围； （3）证明：若在区间上存在唯一零点，则． 21. 已知数列A：的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为． （1）若数列A：1，2，4，3，求集合T，并写出的值； （2）若A是递增数列，求证：“”的充要条件是“A为等差数列”； （3）若，数列A由这个数组成，且这个数在数列A中每个至少出现一次，求的取值个数． 北京二中2025-2026学年度第六学段高二年级学段考试试卷 数学选择性必修第三册 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】A 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题纸上） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】## 【15题答案】 【答案】①④ 五、解答题：（本大题共85分，请将答案在答题纸上） 【16题答案】 【答案】（1）2 （2） 由（1）得，由正弦定理得， 若选条件①：由余弦定理得，即， 又由，解得，则，此时存在且唯一确定， 因为，则，可得， 所以； 若选条件②：由，因为，即， 若为锐角，则， 由余弦定理，即， 整理得，且，解得，则； 若为钝角，则， 由余弦定理得，即， 整理得，且，解得，则； 综上所述，此时存在但不唯一确定，不合题意； 若条件③：因为，即，解得，则， 所以此时存在且唯一确定， 由余弦定理得， 因为，可得， 所以． 【17题答案】 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列详见解析，数学期望为；（Ⅲ）方差变大了． 【18题答案】 【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在， 【19题答案】 【答案】（1），的面积；（2）存在；． 【20题答案】 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【21题答案】 【答案】（1）； （2）充分性：若A是等差数列，设公差为d． 因为数列A是递增数列，所以． 则当时，， 所以，． 必要性：若． 因为A是递增数列，所以， 所以，且互不相等， 所以． 又， 所以，且互不相等． 所以， 所以， 所以A为等差数列． （3）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $