第一章 勾股定理测试题 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册勾股定理单元卷，通过基础辨析、情境应用及定理证明，全面考查勾股定理的理解与应用，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股数、最短路径、定理证明辨析|结合五根木棒摆直角三角形（动手操作）、“捷径”问题（生活情境），培养几何直观| |填空题|5/15|勾股树面积、圆柱表面最短路径|融入婴儿车安全标准（实际应用）、吸管长度问题（空间观念），发展应用意识| |解答题|8/75|定理证明（加菲尔德证法、弦图）、折叠问题、实际测量|设计放风筝高度计算（模型意识）、“数学风车”面积探究（创新思维），提升推理能力与符号意识|

第一章 勾股定理 测试题 2026-2027学年北师大版八年级数学上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列四组数据中，是勾股数的是（    ） A．9，12，15 B．1，1，2 C． D．，， 2．数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，一棵大树在离地处折断，树的顶端落在离树干底部处，那么这棵树的高度是（   ） A． B． C． D． 4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A，B，C，D的面积之和为（    ）． A．16 B．256 C．32 D．64 5．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（    ）    A． B． C． D． 6．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为4，和，和是这个台阶的两个相对的端点，点上有一只蚂蚁想到点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（   ） A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5 8．如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是（    ）． A．23 B．24 C．25 D．26 9．勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时(即水平距离)，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，求的最小值为（     ） A．5 B．4.8 C．2.4 D．4 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．在中，，则高______． 12．如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准． 13．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是11、13、12、11，则最大正方形E的面积是__________． 14．如图，一透明圆柱状玻璃杯，从内部测得底面直径为，高为，今有一根长的吸管任意放入杯中，若不计吸管粗细，则吸管露在杯口外的长度最少为________． 15．如图，已知圆柱的高为，底面圆的半径为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，那么蚂蚁沿着圆柱的侧面爬行的最短路程为________．(参考数据：) 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．求证：是直角三角形．    17．如图，在中，，，．求证：． 18．如图，长方形中，点E在边上，将长方形沿直线折叠，点A恰好落在边上的点F处，若，，求的长    四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时(D是B的对应点)，顶部边缘D处到桌面的距离为，求底部边缘A处与E之间的距离的长．    20．如图，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，观景台到马路的距离（的长）为，凉亭到马路的距离（的长）为，的长为．现计划在路段之间放置一个自动售货点，使得到、两处的距离相等，该自动售货点应该修建在离点多远处？ 21．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分） 22．1876年，美国总统加菲尔德利用下图验证了勾股定理．    (1)请用含a、b、c的代数式通过两种不同的方法表示直角梯形的面积（不需要化简）： 方法1：________；方法2：________． (2)利用“等面积法”，推导a、b、c之间满足的数量关系，完成勾股定理的验证． 23．阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页 第5页 共6页 ◎ 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B D D C D A B 11． 12．符合 13．47 14．2 15． 16． 证明：由图可知，，，， ， 是直角三角形． 【分析】先根据勾股定理的逆定理得出各边平方的值，再根据勾股定理的逆定理进行判定即可． 【详解】略 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题关键． 17．见解析 【分析】本题考查了勾股定的逆定理；根据勾股定理的逆定理即可得出． 【详解】证明：在中，，，， ， 是直角三角形，． 18．9 【分析】由折叠的性质可知，再结合勾股定理即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知． ∵四边形为长方形， ∴，， ∴， ∴． 即的长为9． 【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等． 19．底部边缘A处与E之间的距离的长为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先由勾股定理可得，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， 答：底部边缘A处与E之间的距离的长为． 20．该自动售货点应该修建在离点处 【分析】连接，设，则，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：如图，连接， 设，则， 根据勾股定理可得， ， ， ， 解得， 答：该自动售货点应该修建在离点处． 21．(1)米 (2)米 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）如图，在上取点，使米，根据勾股定理求出，再计算即可； 【详解】（1）解：根据题意得：米，米，米， 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴风筝的垂直高度为米； （2）如图，在上取点，使米，连接， ∴（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线米． 22．(1)； (2)见解析 【分析】（1）因为梯形的上底为a，下底为b，高为，则它的面积可表示为；此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和，即； （2）由（1）可得，即可． 【详解】（1）解：由题得：梯形面积为； 此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和，即； 故答案为：； （2）解：由（1）得：， 即． 【点睛】本题主要查了勾股定理的证明，熟练掌握梯形的面积公式和三角形的面积公式是解题的关键． 23．(1)、、 (2)见解析 (3)97 【分析】（1）依据题意得，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）先根据角度关系，证出，随后根据“”证明即可； （3）根据题意，先得出，设，则，根据勾股定理得，代入求出的值，最终可求出风车图案的面积． 【详解】（1）证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法）， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴； （3）解：解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：． 答案第4页，共5页 答案第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $