第一章 勾股定理单元复习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 勾股定理单元复习卷，含选择、填空、解答题，覆盖定理应用与综合探究，适配初中数学单元复习，强化几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股定理计算（第1题）、实际应用（第3题楼梯地毯）|结合赵爽弦图（第5题），渗透文化传承| |填空题|5/15|逆定理应用（第11题方位角）、最短路径（第12题皮筋拉伸）|设置生活情境，培养空间观念| |解答题|8/55|综合应用（第21题村庄取水）、定理证明（第23题双求法）|分层设计，从基础到创新，发展推理能力与应用意识|

第一章 勾股定理 单元复习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边长为（    ） A．3 B．5 C．8 D．9 2．如图，在中，，分别以、为边作正方形，若，则正方形和正方形的面积和为（    ） A．144 B．120 C．100 D．无法计算 3．如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（   ） A．6m B．7m C．8m D．9m 4．如图，原来从A村到B村，需要沿路绕过村庄间的一座大山．打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，那么打通隧道后从A村到B村比原来少走的路程为（   ） A． B． C． D． 5．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．8 B．13 C．15 D．15.5 6．如果梯子的底端离建筑物，那么长的梯子可以达到该建筑物的高度是（） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，则点C到的距离为（   ） A． B．5 C．3 D．4 8．如图所示，有一个长、宽各米，高为米且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点要爬到顶点，那么这只昆虫爬行的最短路程为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 9．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 10．在中，，，，为边上一动点，于．于，为中点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．某日早晨甲渔船以12海里/时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以10海里/时的速度离开港口沿某一方向航行．上午两渔船相距26海里．则乙渔船航行的方向是________． 12．如图，长为的弹性皮筋绷直放置在直线上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升到D点，则弹性皮筋被拉长了_____． 13．如图，为修筑铁路需凿通隧道，现测量出，，．若每天凿隧道，则需要________天才能把隧道凿通． 14．如图，以直角的三边向外作正方形，其面积分别为、、，且，，则______．    15．如图，在中，，，，AD是的平分线，若M，N分别是和上的动点，则的最小值是_____． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．已知等腰的底边，D是腰上一点，且，，求的长． 17．如图，四边形中，且．求证：． 18．如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点处向围墙上的点处拉彩旗．已知点和教学楼的水平距离为，教学楼高，围墙高，问至少需要多长的彩旗带？ 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，BD＝9， （1）求AB的长； （2）求△ABC的面积． 20．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好落在斜边上，且点C与点E重合． (1)求的长， (2)求的长． 21．如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得千米，千米，千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来的路线AC的长． 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分） 22．学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，小欣（身高米）进行了如下操作： ①测得水平距离的长为7米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米． (1)求风筝的垂直高度； (2)若小欣沿方向再走8米使得风筝沿方向下降，风筝线的长度不变，则风筝下降了多少米？ 23．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即    ，从而得到等式，化简便得结论．这里用 两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． (1)请用a，b，c，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，则面积为______． (3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页 第5页 共6页 ◎ 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B B B B A C A D 1．B 【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和是解题的关键． 根据勾股定理，直接计算斜边即可． 【详解】∵ 直角边分别为3和4， ∴ 斜边满足， ∴， 则斜边长为5． 故选：B． 2．A 【分析】根据勾股定理即可进行解答． 【详解】解：∵四边形和四边形为正方形， ∴， ， ∵在中，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 3．B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度 ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是（m）． 故选B． 4．B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，再和以前的路程作比较即可得出答案． 【详解】解：由勾股定理得， ∴建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为， 故选B． 5．B 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式在几何图形中得到应用，熟练掌握勾股定理和完全平方公式是解题关键．设直角三角形的两条直角边长分别为m，，则大正方形的面积为，由小正方形的面积可得，再结合，利用完全平方公式的结构特征求出的值，即可得解． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为m，． 大正方形的边长直角三角形的斜边长， 大正方形的面积为， 小正方形面积为5， ， ， ， ， ， 即大正方形面积为， 故选：B． 6．B 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理的问题是解题的关键． 由梯子、地面和建筑物构成直角三角形，梯子为斜边，底端距离为一条直角边，高度为另一条直角边，再利用勾股定理计算高度即可． 【详解】解：设梯子可以达到建筑物的高度为米． ∵梯子长，底端离建筑物， ∴由勾股定理，得，即， 解得：． 故选B． 7．A 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先求出，然后利用算得答案即可． 【详解】解：在中，，，， 那么 ， ， ． 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确画出三个路径的示意图是解题关键． 分别画出三个路径的示意图，利用勾股定理求出路程，再从中找出最短路程即可． 【详解】解：由题意得， 沿正面和下面的对角线时： 米； 沿正面和左面的对角线时： 米； 沿左面和下面的对角线时： 米； 米米， 米为最短路径． 故选：C． 9．A 【分析】本题考查勾股定理的应用；由题意可得：，再由勾股定理可得，结合，可求出，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：由题意可得：， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为． 10．D 【分析】题考查了矩形的判定与性质，勾股定理逆定理，以及垂线段最短； 根据题意可证是直角三角形，则可以证四边形是矩形，可得，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半，可得，则值最小时，值最小，根据垂线段最短，可求最小值，即可得的最小值． 【详解】解：连接， ，， ， ，且，， 四边形是矩形， ，， 又是的中点， ， 当值最小时，值最小，即当值最小时，值最小． 根据垂线段最短，即当时值最小， 此时， ， ， ， 故选：D． 11．东南方向或西北方向 【分析】本题考查方位角，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理的应用是解题的关键．设甲渔船离开港口O向东北方向航行到A，乙渔船离开港口O航行到B，则(海里)，(海里)，海里，由勾股定理的逆定理，判定出，再由表示东北方向，即可得出表示的方向． 【详解】解：设甲渔船离开港口O向东北方向航行到A，乙渔船离开港口O航行到B， 由题意，得 (海里)， (海里)，海里， ， ， ， 表示东北方向， 表示东南方向或西北方向．如图， 故答案为：东南方向或西北方向． 12． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，能从实际问题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题的关键． 根据是的中点，得到，确定，形成直角三角形和，利用勾股定理进行求解计算和的和即可． 【详解】解：是的中点 弹性皮筋被拉长了：． 故答案为：． 13．18 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：，，， ， （天)， 即需要18天才能将隧道凿通， 故答案为：18． 14．15 【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理，得，根据正方形的面积公式，得、、，从而得到+=，代入计算即可． 【详解】解：∵中，，      ∴， ∵以的三边向外作正方形，其面积分别为、、， ∴、、， ∴+=， ∵，， ∴， 故答案为：15． 15． 【分析】本题考查了最短距离问题，勾股定理，全等三角形的判定及性质；在上截取，过作，由可判定，由全等三角形的性质得，当时，取得最小值，结合勾股定理，即可求解；找出取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，在上截取，过作， 平分， ， 在和中 ， ， ， ， 当时，取得最小值， ，，， ， ， ， 解得：； 故答案：． 16． 【分析】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理及其逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理判断出，再利用勾股定理和等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵等腰的底边，，， ∴，， ∴是直角三角形，且， 在中，，， 由勾股定理得， 解得． 17．见详解 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握其相关知识点是解题的关键．先利用勾股定理求出，进而得到，即可证明为直角三角形，且，即可得出结论． 【详解】证明：在中， ， ∵ ∴， ∵在中，，， ， ∴为直角三角形，， ∴． 18． 【分析】过点B作于点E，根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，过点B作于点E， 根据题意得，，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 答：至少需要长的彩旗带． 19．（1）AB＝25；（2）S△ABC＝150． 【分析】（1）两次用勾股定理，在直角三角形CDB与直角三角形ADC中，把CD计算出来，然后再把AD计算出来，再计算AD+DB= AB. （2）找准三角形的高为CD，底为AB，再计算面积. 【详解】（1）∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°， ∴CD＝＝＝12， ∴AD＝＝＝16， ∴AB＝AD+BD＝16+9＝25． （2）S△ABC＝•AB•CD＝×25×12＝150． 【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形以及三角形的面积计算，需要注意的是，直角三角形中辆直角边的平方和等于斜边的平方，三角形的面积为底乘以高除以2. 20．(1) (2) 【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求得的长即可； （2）由翻折的性质求得，得，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴； （2）解：由折叠的性质得：， ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， ∴． 21．（1）是，见解析；（2）千米 【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答； （2）设，则，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）是； 理由是：在中， ∵， ∴， ∴， ∴CH是从村庄C到河边的最近路； （2）设，则， 在中， ， ∴， 解得：， 答：原来的路线AC的长为千米 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，点到直线的最短距离，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解题的关键． 22．(1)25.65米 (2)4米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键． （1）利用勾股定理求出米，由题意知米，即可求出垂直高度； （2）设小欣沿方向走8米至点，此时风筝下降到点，连接．由题意得米，米，则（米），再利用勾股定理求出米，从而求出米，即可得解． 【详解】（1）解：在中，米，米， 由勾股定理得， 即， 解得米（负值舍去）． 由题意知米， （米）． 答：风筝的垂直高度为25.65米． （2）解：如图，设小欣沿方向走8米至点，此时风筝下降到点，连接． 由题意得米，米， （米）． 在中，由勾股定理得 （米）， （米）． 答：风筝下降了4米． 23．(1) 证明：∵，，， ， ∴， ∴， ∴； (2)6 (3) 【分析】此题主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）利用割补法即可求解； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； 【详解】（1）略 （2）； （3）解：在中，由勾股定理得： ∵， ∴ 在中，由勾股定理得 ∴， ∴． 答案第12页，共13页 答案第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $