1.5 二次函数的应用 课时练习 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数应用，通过基础巩固、情境应用、综合拓展三层设计，实现从概念理解到实际问题解决的能力进阶，培养数学建模与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|二次函数基本模型建立（几何面积、运动轨迹）|以长方形面积、铅球轨迹等简单情境，直接应用函数表达式，培养抽象能力与模型意识| |情境应用|二次函数性质应用（最值、交点、利润）|结合围栏面积、商品利润等复杂情境，分析数量关系列函数式，发展运算能力与推理意识| |综合拓展|多知识点综合应用（函数与几何、动态问题）|通过五边形绿地、药厂生产等跨情境整合，构建模型解决最值与方案问题，提升应用意识与创新思维|

1.5 二次函数的应用 课时练习 一、单选题 1.长方形的周长为24cm，其中一边为xcm（其中 x>0），面积为 ，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（    ） A.                     B.                     C.                     D.  2.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=- (x-4)2+3，由此可知小明这次的推铅球成绩是（   ） A. 3m                                      B. 4m                                      C. 8m                                      D. 10m 3.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2 ． 下列叙述正确是（　　） A. 小球的飞行高度不能达到15m                             B. 小球的飞行高度可以达到25m C. 小球从飞出到落地要用时4s                                D. 小球飞出1s时的飞行高度为10m 4.向上发射一枚炮弹，经 秒后的高度为 ，且时间与高度的关系式为 ，若此时炮弹在第 秒与第 秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（        ） A. 第 秒                             B. 第 秒                             C. 第 秒                             D. 第 秒 5.宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房.如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为 元时，宾馆当天的利润为10890元.则有（   ） A.                    B.  C.                   D.  6.如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为（   ） A. 1                                         B.                                          C.                                          D.    7.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长(不含门)为26m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为(    ) A. 14                                          B. 13                                          C. 9                                          D. 7 8.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值y与自变量x的四组对应值如表所示 x 6.15 6.18 6.21 6.24 y 0.02 -0.01 0.02 0.11 则方程ax2+bx+c=0的根的个数是（   ） A. 0                                       B. 1                                       C. 2                                       D. 不能确定 9.已知直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，且抛物线与x轴交于点（-1, 0）、（2,0），抛物线与直线交点的横坐标为1和 ，那么不等式mx+n ＜ax2+bx+c ＜0的解集是(     ) \ A. 1＜ x ＜2                      B. x ＜ 或 x ＞1                      C. ＜ x ＜2                      D. -1＜ x ＜2 10.设一元二次方程 的两根分别为 ，且 ，则 满足（   ） A.                    B.                    C.                    D.  且 二、填空题 11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+3x+2与y轴交于点A，点B是拋物线的顶点，点C与点A是抛物线上的两个对称点，点D在x轴上运动，则四边形ABCD的两条对角线的长度之和的最小值为________。 12.扫地机器人能够自主移动并作出反应，是因为它发射红外信号反射回接收器，机器人在打扫房间时，若碰到障碍物则发起警报．若某一房间内A、B两点之间有障碍物，现将A、B两点放置于平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A，B的坐标分别为（0，4），（6，4），机器人沿抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a运动．若机器人在运动过程中只触发一次报警，则a的取值范围是________． 13.已知二次函数 图象上部分点的横坐标 与纵坐标 的对应值如表所示： ··· -3 -2 -1 0 ··· ··· 0 -3 -4 -3 ··· 直接写出不等式 的解集是________． 14.在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地.如图，自建房占地是边长为8m的正方形ABCD，改建的绿地为矩形AEFG，其中点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG＝2BE.那么当BE＝________m时，绿地AEFG的面积最大． 15.某校九年级数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x天(1≤x≤40，且x为正整数)的售价与销量的相关信息如下表： 时间(天) 1≤x≤40 售价(元/件) x+35 每天销量(件) 150-2x 已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为w元．则w与x的函数表达式为________。 16.如图是二次函数y＝﹣x2+4x的图象，若关于x的一元二次方程﹣x2+4x﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是________． 三、解答题 17.如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AF=2，BF=1。为了合理利用这块钢板．将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。 18.疫情期间，某市制药厂需要紧急生产一批药品，要求必须在12天（含12天）内完成。为了加快生产，车间采取工人加班，机器不停的生产方式，这样每天药品的产量y（吨）是时间x（天）一次函数，且满足表中所对应的数量关系．由于机器负荷运转产生损耗，平均生产每吨药品的成本P（元）与时间x（天）的关系满足图中的函数图象。 时间x（天） 2 4 每天产量y（吨） 24 28 （1）求药品每天的产量y（吨）是时间x（天）之间的函数关系式； （2）当5≤x≤12时，直接写出P（元）与时间x（天）的函数关系式：； （3）若这批药品的价格为1400元/吨，每天的利润设为W元，求哪一天的利润最高，最高利润是多少？（利润=价格-成本） （4）为了提高工人加班的津贴，药厂决定在（3）中价格的基础上每吨药品加价a元，但必须满足从第5天到第12天期间，每吨加价a后每天的利润随时间的增大而增大，直线写出a的最小值。 19.如图一个五边形的空地 ABCDE，AB∥CD，BC∥DE，∠C=90°，已知AB=4(m)，BC=10 (m)，CD=14(m)，DE=5(m)，准备在五边形中设计一个矩形的休闲亭MNPQ，剩下部分设计绿植。设计要求NP∥CD，PQ∥BC，矩形MNPQ到五边形 ABCDE三边AB，BC，CD的距离相等，都等于x(m)，延长QM交AE于H，MH=1(m)， （1）五边形 ABCDE的面积为________(m2)； （2）设矩形MNPQ的面积为y(m2)，求y关于x的函数关系式 （3）若矩形MNPQ休闲亭的造价为每平方米0.5万元，剩下部分绿植的造价为每平方米0.1万元，求总造价的最大值。 答案解析部分 一、单选题 1. C 考点：二次函数的实际应用-几何问题 分析：解：∵长方形的周长为24cm，其中一边为xcm（其中 x>0）， ∴长方形的另一边长为：24÷2-x=(12-x)cm， ∴长方形的面积为：y=(12-x)x 故答案为：C 分析：先根据长方形的周长公式求出另一边长，再利用长方形的面积公式写出关系式即可． 2. D 考点：二次函数的实际应用-抛球问题 解：由题意得，当y=0时， ， 解得： ， （舍去） 故选D. 分析：求出铅球落地时的水平距离，将y=0代入函数关系式，求出x的值即可得到成绩. 3. C 考点：二次函数的实际应用-抛球问题 解：A、当h＝15时，15＝20t﹣5t2 ， 解得：t1＝1，t2＝3， 故小球的飞行高度能达到15m，故此选项不符合题意； B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20， 故t＝2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项不符合题意； C、∵h＝0时，0＝20t﹣5t2 ， 解得：t1＝0，t2＝4， ∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项符合题意； D、当t＝1时，h＝15， 故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项不符合题意； 故答案为：C． 分析：直接利用h＝15以及结合配方法求出二次函数最值分别分析得出答案． 4. B 考点：二次函数的实际应用-抛球问题 解：根据题意可得：函数的对称轴为直线x= ，即当x=10时函数达到最大值.故答案为：B. 分析：二次函数是一个轴对称图形，到对称轴距离相等的两个点所表示的函数值也是一样的. 5. C 考点：二次函数的实际应用-销售问题 解：房价定为 元，由题意得 ， 故答案为：C. 分析：房价定为 元，根据利润=房价的净利润×入住的房间数列方程即可. 6. D 考点：二次函数y=ax^2 bx c的图象，二次函数的实际应用-几何问题 解：y=﹣x2+4x﹣k=-（x-2）2+4-k ∴点D（2，4-k）， 当x=0时，y=-k ∴点C（0，-k） ∴OC=-（-k）=K， ∵△ABC与△ABD的面积比为1：4 ∴ ， 解之：. 故答案为：D 分析：先将二次函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点D的坐标，从而可求出△ABD的高，再由x=0求出y的值，就可得到点C的坐标，求出OC的长，然后根据△ABC与△ABD的面积比为1：4，利用三角形的面积公式 ，建立关于k的方程，解方程求出k的值。 7. A 考点：二次函数的实际应用-几何问题 解：设建成的饲养室面积为Sm2 ， 垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为26+2-3x=（28-3x）m. S=x（28-3x）=-3x2+28x， 对称轴为直线 ， ∴a=-3，抛物线的开口向下，当时，S有最大值， ∴ ∵一面靠足够长的墙体， ∴利用墙体的长度为14m. 故答案为：A 分析：由题意可知设建成的饲养室面积为Sm2 ， 垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为（28-3x）m，利用矩形的面积公式建立S与x的函数解析式，再利用二次函数的性质求出x的值及28-3x的值，然后根据一面靠足够长的墙体可得答案。 8. C 考点：利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 解：利用图表中数据可得出二次函数的大体图象，如图所示： 即图象与x轴交点个数为2个，即方程ax2+bx+c=0的根的个数是2． 故答案为：C． 分析：利用图表中数据可得出二次函数的近似图象，由图像可以看出抛物线与x轴有2个交点，即方程ax2+bx+c=0的根的个数是2．  9. A 考点：二次函数与不等式（组）的综合应用，二次函数与一次函数的综合应用 解：∵ 抛物线与x轴交于点（-1, 0）， 抛物线与直线交点的横坐标为1和 ∴ 不等式mx+n ＜ax2+bx+c ＜0的解集为：1＜x＜2 分析：根据已知条件： 抛物线与x轴交于点（-1, 0）， 抛物线与直线交点的横坐标为1和 ， 观察函数图像可得出不等式mx+n ＜ax2+bx+c ＜0的解集。 10. D 考点：二次函数图象与坐标轴的交点问题 解：如图， 令m=0， 则函数y=（x-1）（x-2）的图象与x轴的交点分别为（1，0），（2，0）， 故此函数的图象为： ∵m＞0， ∴原顶点沿抛物线对称轴向下移动，两个根沿对称轴向两边逐步增大， ∴α＜1，β＞2. 故答案为：D. 分析：先令m=0求出函数y=（x-1）（x-2）的图象与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合即可求出α，β的取值范围. 二、填空题 11. 考点：二次函数的实际应用-几何问题 解：过点B作BD垂直于x轴. ∵抛物线的对称轴为x=- 当x=时， ∴BD= 由抛物线的轴对称性可得AC= ∴AC+BD=3+=. 分析：先求出抛物线的对称轴和顶点坐标，即可得BD的长，再利用抛物线的轴对称性求出AC的长，AC+BD即为所求。 12. ﹣ ＜a＜ 考点：二次函数与一次函数的综合应用 解：由题意可知： ∵点A、B坐标分别为（0，4），（6，4）， ∴线段AB的解析式为y＝4． 机器人沿抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a运动． 抛物线对称轴方程为：x＝2， 机器人在运动过程中只触发一次报警， 所以抛物线与线段y＝4只有一个交点． 所以抛物线经过点A下方． ∴﹣5a＜4 解得a＞﹣ ． 4＝ax2﹣4ax﹣5a， △＝0 即36a2+16a＝0， 解得a1＝0（不符合题意，舍去），a2＝ ． 当抛物线恰好经过点B时， 即当x＝6，y＝4时， 36a﹣24a﹣5a＝4， 解得a＝ 综上：a的取值范围是﹣ ＜a＜ 故答案为：﹣ ＜a＜ 分析：根据A,B两点的坐标特点得出线段AB的解析式是y=4，机器人沿抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a运动，抛物线对称轴方程为：x＝2，由机器人在运动过程中只触发一次报警，所以抛物线与线段y＝4只有一个交点，所以抛物线经过点A下方，同时方程4＝ax2﹣4ax﹣5a，的△值等于0，从而列出方程求解得出a的值，当抛物线恰好经过点B时，将点B的坐标代入抛物线的解析式算出a的值，综上所述即可得出a的取值范围. 13. x＜－3或x＞1 考点：二次函数与不等式（组）的综合应用，二次函数y=ax^2+bx+c的性质 解：∵x＝－2和x＝0时，对应的函数值都是－3， ∴该二次函数的对称轴为x＝ ， ∵当x＝－1时，y＝－4， ∴函数图象开口向上， ∵函数图象与x轴的一个交点是（−3，0）， ∴函数图象与x轴得另外一个交点是（1，0）， ∴当y＞0时，x的取值范围是：x＜－3或x＞1， 即不等式 的解集是：x＜－3或x＞1， 故答案为：x＜－3或x＞1． 分析：从表格可得函数的对称轴为x＝－1，图象开口向上，与x轴的一个交点是（−3，0），然后可推出与x轴的另外一个交点为（1，0），据此即可求解． 14. 2 考点：二次函数的实际应用-几何问题 解：设BE的长为x，绿地AEFG的面积为y， S矩形AEFG＝AE•AG＝（8−x）（8＋2x）＝−2x2＋8x＋64（0＜x＜8）； 解析式变形为：y＝−2（x−2）2＋72， 所以当x＝2时，y有最大值72， 故填：2. 分析：设BE的长为x，绿地AEFG的面积为y，根据题意得出函数解析式进行解答即可． 15. W=-2x2+140x+750 考点：二次函数的实际应用-销售问题 解：W= (x+35-30)(150-2x)=-2x2+140x+750 分析：利用”一件的利润×销售量=总利润“列出 w与x的函数关系时即可。 16. ﹣5＜t≤4 考点：二次函数图象与坐标轴的交点问题 解：求－x2+4x－t=0，即求－x2+4x=t在1<x<5内的值，由图可知，当1<x<5时，最大值为4，最小值为－5，∴t的取值范围是－5<t≤4. 分析：求－x2+4x－t=0在1<x<5的范围内的解，可转化为求－x2+4x=t在1<x<5内的值. 三、解答题 17. 如图所示，为了表达矩形MDNP的面积，设DN=x， PN=y， 则面积S=xy①， ∵点P在AB上， 由△APQ~△ABF得， 即：x=10-2y， ∴代入①，得S=(10-2y)y=-2y2+10y 即S= ， 即：x=10-2y， ∴代入①，得S=(10-2y)y=-2y2+10y 即S= 因为3≤y≤4而y= ，不在自变量的取值范围内， 所以y= 不是最值点， 当y=3时，S=12；当y=4时，S=8，故面积的最大值是S=12，此时，钢板的最大利用率是80%。 考点：二次函数的实际应用-几何问题 分析：设矩形MDNP的两邻边DN=x，PN=y，易证△APQ~△ABF，利用相似三角形的对应边成比例得到x与y的关系，则可表示出矩形MDNP的面积S，然后利用二次函数的性质以及y的取值范围用比较法求出S的最大值，进而可求出钢板的最大利用率。 18. （1）解：设y=kx+b，则 解得 ∴y=2x+20 （2）P=40x+200 （3）解：当1≤x≤5时，平均生产每吨药品的成本P为400元， 此时利润W=（1400-400）y ∴W=（1400-400）（2x+20）=2000x+20000， ∵2000＞0 ∴W随x的增大而增大， ∴当x=5时，W最大值=2000×5+20000=30000； 当5＜x≤12时， ∴此时利润W=（1400-P）y ∴W=（1400-40x-200）（2x+20）=-80x2+1600x+24000 ∴W=-80（x-10）2+32000 ∵a=-80, ∴当x=10时，W最大值=32000； ∵32000＞30000 ∴第10天的利润最大，最大利润为32000. （4）解：设加价后的利润为W1 ， ∵5＜x≤12 ∴W1=（1400+a-40x-200）（2x+20） W1=-80x2+（1600+2a）x+24000+20a ∵a=-80， ∴抛物线的开口向下， ∴当x＜时，W1随x的增大而增大， ∴ 解之：a≥160 ∴a的最小值为160. 考点：二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的实际应用-销售问题 解：（2）设p与x的函数解析式为p=mx+n（5≤x≤12） ∵点（5，400），点（12，680）在此函数图像上 ∴ 解之： ∴p与的函数解析式为y=40x+200; 分析：（1）利用表中的数据，结合已知条件可知y是x的一次函数，由此利用待定系数法求出y与x的函数解析式。 （2）当5≤x≤12，设p与x的函数解析式为p=mx+n，利用点的坐标建立关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，就可得到P与x的函数解析式。 （3）当1≤x≤5时，平均生产每吨药品的成本P为400元，此时利润W=（1400-400）y，列出W与x的函数解析式，利用二次函数的性质，可求出最大利润；当5＜x≤12时，列出W与x的函数解析式，再利用二次函数的性质，就可求出最大利润，从而可求解。 （4）设加价后的利润为W1 ， 由题意可知W1=（1400+a-40x-200）（2x+20），再利用二次函数的性质，就可求出a的最小值。 19. （1）115 （2）解：过点A作AS⊥EL于点S 矩形MNPQ到五边形 ABCDE三边AB，BC，CD的距离相等，都等于x(m) ∴PQ=10-2x， 由题意得：AS=10-5=5，ES=14-4=10，AR=x，HR∥ES ∴△AHR∽△AES ∴ ∴MR=2x-1 ∴1+MQ+x=1+MR+AB ∴1+MQ+x=1+2x-1+4 ∴MQ=3+x ∴y=（10-2x）（3+x）=-2x2+4x+30. （3）解：∵矩形MNPQ休闲亭的造价为每平方米0．5万元，剩下部分绿植的造价为每平方米0．1万元，设总造价为W, W=0.5y+0.1（115-y） =0.4y+11.5 =0.4（-2x2+4x+30）+11.5 =-0.8（x-1）2+24.3 ∵-0.8＜0, ∴抛物线的开口向上，当x=1时y有最大值为24.3, ∴总造价的最大值为24.3. 考点：二次函数的实际应用-几何问题 解：（1）过点E作EL⊥BC于点L 由题意可知四边形DELC是矩形，四边形ABLE是梯形， ∴BL=BC-CL=10-5=5 ∴S五边形ABCD=S矩形DELC+S梯形ABLE =5×14+（4+14）×5÷2 =70+45=115. 故答案为：115. 分析：（1）过点E作EL⊥BC于点L，将五边形分成一个矩形和一个梯形，从而可求出BL的长，再根据S五边形ABCD=S矩形DELC+S梯形ABLE ， 然后将相关数据代入计算可求值。 （2）过点A作AS⊥EL于点S，根据已知条件用含x的代数式表示出PQ的长，再证明△AHR∽△AES，利用相似三角形的对应边成比例，可证得HR=2AR，用含x的代数式表示出MR的长，然后根据1+MQ+x=1+MR+AB，可用含x的代数式表示出MQ的长，然后利用矩形的面积公式可求出y与x的函数关系式。 （3）设总造价为W，由题意可知W=0.5y+0.1（115-y），由此可建立W与x的函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出总造价的最大值。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $